6-1 克卜勒行星運動定律 科學家對太陽系的了解： 西元二世紀時，托勒密認為地球是宇宙的中心，提出「地心說」。 西元十六世紀哥白尼提出「日心說」，認為太陽才是宇宙的中心，建構了我們現在所認識的太陽系。 克卜勒利用第谷所遺留給他的大量有關行星運動的精確數據，發現了行星運動的規律，稱為克卜勒定律。 牛頓發現了萬有引力定律，從理論上直接的導出了克卜勒定律。牛頓證明了天體運動和地面物體的運動都遵守同樣的力學定律。

y a. 近日點和遠日點 b b. 近日距和遠日距 c. 平均軌道半徑 x c a 平均軌道半徑也就是橢圓的平長軸a。 行星 近日點 遠日點 太陽 b b. 近日距和遠日距 c. 平均軌道半徑 x c a 平均軌道半徑也就是橢圓的平長軸a。

什麼是橢圓

橢圓常用性質 2a 橢圓形的基本定義：橢圓上任一點到兩焦點間的距離合為一定值 2a =2a 半長軸：a 半短軸：b 2a 面積：abπ a b a c

t2 t1

a b A2 c A1= A1 - A2= +

r vΔt vΔt．sinθ θ

不可亂用

θc a c θa θb b θb

(a) (b) (c)

(1) (2) 25 v2 7 v1 24 1AU 49AU

例題：已知月繞地一周圍 27.3天，則連續兩月圓時間為何？ θ θ 地 月 日

例題：設行星繞日之軌道均為圓，由地球觀察某行星與太陽之最大夾角為 30o，則 (A) 地球軌道半徑為 R，該行星之軌道半徑為何？ (B)該行星繞日之週期約為何？ (C)每天地上觀測到該行星之最晚時刻是幾點？最早時刻呢？設日出為6點日落為18點 解： (A) 如右圖所示，行星軌道半徑為 0.5R。 行 地 日 30o

因最大角度差30°，故該行星的可領先太陽30°或落後太陽30° 最早看到該行星的視線 (C)每天地上觀測到該行星之最晚時刻是幾點？最早時刻呢？設日出為6點日落為18點 因最大角度差30°，故該行星的可領先太陽30°或落後太陽30° 最早看到該行星的視線 日出 因一天24小時轉360°，故每小時轉15°，因此差30°等於差二小時 星星出現 太陽光 若日出為6點日落為18點則 最早可在4點出現，最晚為20點落下 (此兩條件不會同時發生) 星星消失 日落 最晚看到該行星的視線 水星、金星均為內行星，因此只有在日出前或日落後一段時間可見

m M F r

証明距離平方反比： 等速率圓周運動的向心加速度ac為：

証明質量乘積成正比： 設地球固定，而月繞地而行時，月球受力為F月則： F月 月 地 m M 設月球固定，而地繞月而行時，地球受力為F地則： F地 地 月 M m

57頁7-1 太空中有兩個星球，其質量分別為M與9M，其間距離為d。今有一艘質量為m的太空船，在兩星球連心線上航行，若不計其他天體的影響，則 (1)太空船在兩星球中點處所受總重力量值為何？ (2)太空船所受總重力為零時，太空船與星球M的距離為何？

77頁13 有一正三角形，邊長為r，在三個頂點上各固定一個質點，質量均為m，如圖。在此三角形中心處，放置第四個質點，其質量亦為m，則(1)第四個質點受到其他質點引力之合力量值為何？(2)將右下方質點質量改成2m，中心處的第四個質點受到其他質點引力之合力量值為何？ 三引力大小相等，各夾120°，故三力合力為0

77頁14 直角坐標平面上，兩質量均為M的A、B質點固定於坐標(0,d)及(0,－d)上，另一質量為m，可自由移動的質點C置於坐標(x,0)上，由靜止釋放，如圖。則(1)最初質點C加速度量值為何？(2)若x << d，則質點C的運動近似於簡諧運動，求其運動週期為何？(3)承(2)，質點C經過坐標平面原點時，其速度量值為何？

原點為平衡點，速度為最大速度

1.m所受的萬有引力大小 ΔFx ΔFx ΔF ΔF θ θ ΔFy ΔFy ΔM ΔM

2. m位於環中心所受的萬有引力 位於環中心時因為對稱故合力為0 3. d>>R萬有引力大小 代表離圓環很遠時，可將圓環的質量視為集中在中心

合力和平衡點距離d成正比，故為S.H.M，振幅A=d 4.d<<R時SHM週期 合力和平衡點距離d成正比，故為S.H.M，振幅A=d

A2 r2 F2 m r1 F1 A1

M m R x M’

R F R x

例題：獨立系統中，密度均勻，質量 M、半徑 R 之實心球，挖掉切過球面且半徑為 R∕2 的球體，如右圖所示，則在下列條件下，質量 m 之質點在空球心 C 點所受之引力若干？ <field><classify>1</classify><mode type='1'>1</mode><options>2</options><answer choice='0100000000'></answer><points>10</points><time>90</time><difficulty>1</difficulty><hint></hint><remark></remark></field> C

58頁7-2 m所受萬有引力為大球減小球 另外可求x為： 非球不可將質量視為集中在質心

例題：假如我們可以由地球一端沿徑向挖地道，通過地球中心而到達另一端。忽略摩擦力並假設地球為均勻球體。則將物體由地道的一端釋放，試求物體到達另一端的時間。 <field><classify>1</classify><mode type='1'>1</mode><options>2</options><answer choice='1000000000'></answer><points>10</points><time>600</time><difficulty>1</difficulty><hint></hint><remark></remark></field>

卡文迪西的萬有引力實驗

m m 2θ r M M θ m

重力場g A m 要找出質量為M的質點在距離為r處的A點所產生的重力場大小g時，先在A放入輕質點m F r M 如此可見M在A點所產生的重力場g只和M有關，且g的方向和F同方向 地表附近的重力場 h M Re 因已知g、G、Re故可得地球質量

62頁7-4 有A、B兩個星球，其半徑比為1：2，質量比為4：1，則(1) A、B兩星球表面的重力加速度之比值為何？(2)A、B兩星球表面上各有一塊岩石甲與乙，已知甲、乙的重量相等，則甲、乙的質量比值為何？ A B R 1 : 2 M 4 : 1 g : = 16 : 1 m 1 : 16

77頁11 有一星球其平均密度為地球的一半，其半徑為地球的4倍，則 (1)此星球表面重力加速度為地球的多少倍？(2)同一單擺在該星球表面的單擺週期為地球的多少倍？(3)在該星球表面，以相同的初速鉛直向上拋出一石塊，石塊上升的最大高度是地球的多少倍？ 某星 地球 d 1 : 2 R 4 : 1 M : = 32 : 1 g : = 2 : 1 T h

78頁15

人造衛星的 r = R

衛星運動解題方法 以萬有引力作物圓週運動的向心力 旋轉半徑(曲率半徑) M、m間距 常見的r有三種 計算萬有引力 兩間距離r 在單星圓周運動中r=R 計算向心力 旋轉半徑R 計算星球質量、表面重力場 、表面衛星軌道半徑 星球半徑R0

70頁7-6 繞同中心可用克三 A B T 8 : 1 r : = 4 : 1 = 1 : 2 v : a : = 1 : 16 : A、B兩枚人造衛星環繞地球運行，其週期比為8：1。若衛星軌道為圓周，則A、B兩枚人造衛星的(1)軌道半徑的比值為何？(2)軌道速率的比值為何？(3)加速度比？(4)面積速率比 繞同中心可用克三 A B T 8 : 1 r : = 4 : 1 v : = 1 : 2 a : = 1 : 16 : = 2 : 1 另外也可利用萬有引力作為向心力解圓周

71頁7-7(地表衛星)

78頁18 表面衛星的軌道半徑和星球半徑相同 由此可見對表面衛星而言

(非圓軌道) A B C r 1 : 2 : 3 a : : at = 36 : 9 : 4 an an : : a ２ １ = : : = 36 : 9 : 4 an an : : a ２ １ = : : = : :

A B C r 1 : 2 : 3 a : : 36 9 4 an : : V : : R : : ２ １ = : : = : : 36 9 4 an : : V : : = : : = : : R : : = : : = : :

M m ｄ

1 2m m 2

例題：三個質量同為 M 的質點，位於邊長為 L 的等邊三角形的頂點。在萬有引力影響下，這三質點在外接此等邊三角形的圓形軌道運轉，且仍保持彼此間的距離。求(1)各質點所受的萬有引力的大小(2)運轉的角速度的大小。 1. M 2. M M