二十章‧風險值(VaR) 商三 95320011藍文君 95320012張文馨 95320005魏嘉瑩 95320013廖盈捷 95320014謝沛君 95320033劉欣宜 95320031宋雨璇 95320028吳佳臻 95320001柯宜廷

前言 風險值(VaR)將金融資產組合所面對的全部風險，彙總簡化成為一個單一數值，做為高階管理者參考之用。時至今日，風險值早已成為公司財務長、基金經理人和金融機構所普遍採用的一個數值。 本章將介紹風險值之意涵，並描述兩種不同的計算方式：一種是歷史模擬法，一種是模型建立法。

20.1風險值的衡量 由金融工具所組成的投資組合，其經理人在使用風險值時，常做如下之聲明： “我們百分之X的確定，在未來的N天裡，我們的最大損失不會超過V元。” V：投資組合的風險值 N：時間長度 X：信心水準

為了計算銀行的適足資本，主管機構通常要求N=10，X=99。 此即意謂，主管機構要求銀行在未來10天的損失水準，最多只有1%的機會將會超過風險值，而銀行所必須準備的資金則至少是此風險值的3倍。 當N=5和X=97時，投資組合在未來5天內所可能有的價值變化為一變數，風險值即為其機率分配的第3%。

圖20.1和圖20.2這兩個投資組合擁有相同的風險值，但圖20.2的投資組合卻有較高的風險，此乃因為其潛在損失遠比20.1大了許多。

風險值 ：事情可能糟糕到什麼程度？ 條件風險值 (C-VaR )：如果情況真的很糟，我們的預期損失將會是多少？ 例如，當N=10和X=99時，C-VaR是指只有1%機率的最糟情形已經發生，而我們在10天內所可能有的平均損失。

時間長度(The Time Horizon) 理論上，VaR的決定因素有兩個參數值，一個是N，代表時間長度的天數；另一個是X，代表信心水準。但實務上，分析師們在一開始的時候，總是會將N值設定為1。 N天期的風險值 = 1天期的風險值 主管機構對銀行適足資本的要求至少是10天期99%風險值的3倍。根據前述10天其風險值的計算方式，則此銀行的最低持有資本金額應等於 3X =9.49乘以1天期99%的風險值。

20.2歷史模擬法 (Historical Simulation) 歷史模擬法是一種常見的風險值估計法。此法是先大量蒐集過去的資料，然後以這些歷史資料做為基礎，用非常直接的方法來預測未來。 假設我們希望利用1天的時間長度，99%的信心水準，和501天的資料，來計算一個投資組合的風險值。 1.我們必須找出會影響組合價值的一些市場變數。 2.接著我們必須蒐集過去501天來，這些市場變數的相關變動資料。 這樣一來，我們在預測今天和明天之間的可能變數時，就會有500種可能發生的情境。

表20.1將過去501天的市場變數資料表列出來，這些觀察值的發生時點都是每天的固定時點。我們將資料的第一天叫做第0日；資料的第二天叫做第1日；其餘依此類推。今天是第500日，而明天則是第501日。

表20.2列出市場變數的明天可能數值，表中我們假設今天和明天之間的百分比變化，將會與i－1日和第i日之間的百分比變化完全相同，其中1≦i≦500。

νi：市場變數在第i日時的數值 M： 資料使用的天數 第i種情境假設市場變數的明日值會等於 υm 25.85× ＝26.42

20.3 模型建立法 (Model-Building Approach) 日波動率(Daily Volatilities) 選擇權定價方式中的時間單位通常是年，且資產波動率的報價方式是”年波動率”。但以模型建立法來計算風險值時，時間單位通常是天，此時資產波動率的報價方式就變成”日波動率”。 今以σyear表特定資產的年波動率，σday表與該資產對等的日波動率。

假設1年有252個交易日。根據公式(13.2)，特定資產的連續複利報酬率在一年內的標準差是等於σyear或σday。於是， σday＝σyear / 因此，日波動率差不多是年波動率的6%。

單一資產個案 (Single-Aasset Case) 我們所考慮的投資組合是一個只有單一股票的組合。 這個組合只有價值等於$1,000萬的Microsoft股票。今假設N＝10，X＝99，此時我們會希望知道未來10天內，在99%的信心水準下，最大損失不會超過的金額。一開始的時候，我們先考慮1天的時間長度。 我們假設Microsoft的波動率是每天2%(亦即每年32%)，由於我們的部位規模是$1,000萬，因此組合價值每日改變量的標準差是等於$1,000萬的2%，或$200,000。

假設Microsoft的期望報酬率是每年20%，則1天期的期望報酬率是0. 20/252，或是0 今假設這是一個常態變數。N(-2.33)＝0.01，也就是說，一個常態變數會下跌2.33個標準差以上的機率只有1%。 換言之，我們是99%的確定，常態變數是不可能下跌超過2.33個標準差。因此，這個價值為$1,000萬的Microsoft股票組合，其1天期99%的風險值是等於 2.33×200,000＝$466,000

Microsoft組合的10天期99%風險值是等於 466,000 × ＝$1,473,621 今另外考慮一個價值達$500萬的AT&T股票投資組合，並假設AT&T的日波動率是1。我們知道AT&T組合的每日價值改變量有一個標準差是等於 5,000,000×0.01＝50,000 假設價值改變量是常態分配，則1天期99%的風險值是等於 50,000×2.33＝116,500 而10天期99%的風險值是等於 116,500 × ＝$368,405

雙資產個案 (Two-Asset Case) 現在我們將$1000萬美元的Microsoft股票和$500萬美元的AT&T股票組成為一個投資組合。今假設這兩種股票的報酬率屬一種二維常態分配，且兩者之間的相關係數為0.3，基本統計告訴我們，如果兩個變數X和Y的標準差是和，且這兩個變數的相關係數是ρ，則X+Y的標準差是等於： =

今設定X為Microsoft組合的每日價值改變量，Y為AT&T組合的每日價值改變量，因此： = 200,000 = 50,000 對包括這兩種股票的投資組合而言，每日價值改變量的標準差為： 我們假設每日價值改變量的期望值是等於零，因此，1天期99%的風險值為： 220,227 2.33=$513,129 10天期99%的風險值是等於 乘以上面的數值，或 $1,622,657。

多角化的利益 (The Benefits of Diversification) 前面所述的例子中： 由Microsoft股票所組成的投資組合，其10天期99%的風險值是等於 $1,473,621。 由AT&T股票所組成的投資組合，其10天期99%的風險值是等於 $368,405。 由Microsoft和AT&T股票所共同組成的投資組合，其10天期99%的風險值是等於 $1,622,657。 多角化所獲得的利益可以如下的方式計算之： (1,473,621+368,405) – 1,622,657 = $219,369

20.4 線性模型 假設我們有一個由n種資產所組成的投資組合，該組合的總價值是等於P，個別資產i的投資金額則是等於αi=(1≦i≦n)。如以Δxi表資產i的日報酬率，則資產i的投資價值每日會有αiΔxi的金額變化，於是

第一種資產(Mircosoft)的投資金額是$1000萬，第二種資產(AT&T)的投資金額是$500萬。因此α1=10，α2=5(以百萬元為單位) ΔP=10Δx1+5Δx2 我們假設公式(20.1)中的Δxi屬多維常態分配，則ΔP會是一個常態變數。 我們假設每一個Δxi的期望值都等於零，因此，ΔP的期望值也是等於零。

我們以σi表資產i的日波動率，ρij表資產i和j報酬率的相關標準差。換言之，σi是Δxi的標準差，ρij是Δxi和Δxj的相關係數，於是ΔP的變異數(以σ2p表示之)等於 前例中，σ1 =0.02，σ2=0.01，ρ12=0.13，且已知α1=10，α2=5因此 σ2p=102*0.022+52*0.012+2*10*0.3*0.02*0.01 =0.0485

σp=0.220，這個數字即代表投資組合每日價值變動的標準差。 未來N天中，組合價值改變金額的標準差是 因此，N天期99%的風險值是等於2.33 。 10天期99%的風險值即等於2.33*0.220*=$1.623(百萬) 此數值與前節的計算結果相符合。

利率的處理 我們常用的方法是挑選一些零息債券的價格來做為市場變數的依據。 這些債券的到期時間必須符合下例之標準期間：1個月、3個月、6個月、1年、2年、5年、7年、10年和30年。 當我們想要計算風險值時，投資組合中的現金流量就會被轉化成標準到期日所發生的現金流量。

今考慮一個面額為$100萬美元的政府公債部位，這些公債的到期時間為1. 2年，票面利率為6%，且每半年付息一次。因此，利息的支付時點為0 今考慮一個面額為$100萬美元的政府公債部位，這些公債的到期時間為1. 2年，票面利率為6%，且每半年付息一次。因此，利息的支付時點為0. 2、0.7和1.2年；而本金的支付時點則是1.2年 第一種零息債券的到期時間為0.2年，面額為$30,000 第二種零息債券到期時間為0.7年，面額為$30,000 第三種零息債券的到期時間為1.2年，面額為$1,030,000

上面第一種債券的部位就可以由對等的1月期與3月期零息債券所取代 第二種債券的部位可以由對等的6月期與1年期零息債券所取代 第三種債券的部位則可以由對等的1年期與2年期零息債券所取代 因此，從計算風險值的觀點來看，這個到期時間為1.2年的附息債券可視為是一個零息債券的部位組合，這些零息債券則具有1個月、3個月、6個月、1年和2年的標準到期時間 上述程序即所謂的現金流量轉化(cash-flow mapping)

線性模型的應用 最簡單的線性模型可應用在一些不包括衍生性商品的投資組合中，這些組合完全是由股票、債券、外匯和其它商品所組成。 此時，組合價值的改變量與資產價格的百分比變化成線性關係。 我們在計算風險值時，一個可以購買外幣的遠期合約是等於一個外國債券的長部位再加上一個本國債券短部位，而且每一個債券都可用現金流量轉化的程序予以處理。

線性模型與選擇權 δ＝△P /△S 今考慮一個完全由單一股票選擇權所組成的投資組合，而且目前的股價是S。 此組合的delta係數δ。δ代表股價發生變動時，投資組合的改變率 或△P ＝δ△S

今定義△ｘ為股票價格在每日的百分比變化 △ｘ＝△S/ S Δs表股價的每日變動金額 △P表投資組合的每日變動金額。

當我們的部位涉及多個不同的市場時，我們可以推導出類似的線性關係式 Si表第i個市場變數的數值 δi表第i個市場變數發生變動時，投資組合的delta係數

例子20.1 今考慮一個包括Microsoft和AT&T二種股票選擇權的投資組合。Microsoft選擇權delta係數是1,000，AT&T選擇權的delta係數是20,000。Microsoft的股價是$120，AT&T的股價是$30。根據公式(20.4)，下面的關係式大約成立 △P ＝120*1,000*△ｘ1+30*20,000*△ｘ2 或 △P ＝ 120,000△ｘ1+60,000△ｘ2 △ｘ1和△ｘ2分別代表Microsoft和AT&T的日報酬率 △P則表組合價值的相對改變金額

今考慮一個包括Microsoft和AT&T二種股票選擇權的投資組合。Microsoft選擇權delta係數是1,000，AT&T選擇權的delta係數是20,000。Microsoft的股價是$120，AT&T的股價是$30。根據公式(20.4)，下面的關係式大約成立 假設，Microsoft的日波動率是2%，AT&T的日波動率是1%，且這兩者之間的相關係數是0.3，於是△P的標準差是等於(以千元為單位) N(-1.65)=0.05，所以5天期95%的風險值是等於 1.65* *7.099=26,193

20.5二次模型 delta係數是代表市場變數發生變動時，組合價值所產生的改變率； gamma係數則是描述市場變數發生變動時，delta係數的改變率。 換言之，gamma係數是在衡量組合價值與市場變數二者之間所存關係

圖20.3-gamma係數不等於零時ΔP(投資組合的每日變動金額)的機率分配有何種變化。 (a) (b) 當gamma係數為正時，ΔP的機率分配傾向正偏(圖20.3的a部分)；但當gamma係數為負時，ΔP的機率分配傾向負偏(圖20.3的b部分)。

圖20.4－資產價格與長部位買權價值之間的關係 買權買方是一個gamma係數為正的例子。 當資產價格的機率分配是常態分配時，選擇權價格的機率分配即屬正偏。

圖20.5－資產價格與短部位買權價值之間的關係 買權賣方的gamma係數為負值。 當資產價格的機率分配是常態分配時，選擇權價格的機率分配即屬負偏。

Ｐ４５４ 第三段 投資組合的風險值與ΔP機率分配的左尾有著非常密切的關聯性。 Ｐ４５４　第三段 投資組合的風險值與ΔP機率分配的左尾有著非常密切的關聯性。 例如：在99%的信心水準下，所謂的風險值(VaR)即是機率分配左尾中的一個數值，且小於該數值的機率只有1%。 如圖20.3(a)和20.4所示，當gamma係數為正時，投資組合的機率分配有一個較常態分配來得更薄的左尾。 因此，如果我們假設投資組合是常態分配時，此時我們所計算出來的風險值就會偏高。 圖20.3(b)和20.5，當gamma係數為負時，投資組合的機率分配有一個較常態分配來得更厚的左尾。 因此，如果我們假設投資組合是常態分配時，我們所計算出來的風險值就會偏低。

同時利用delta和gamma係數以建構ΔP和Δxi 之間的關係式。下面考慮一個投資組合，其組合價值完全取決於價格為S的單一資產。 ΔP＝δΔS＋ γ(ΔS)2

將它改良成接近20.3的式子。假設 Δx＝ΔS/S 將它帶入ΔP＝δΔS＋ γ(ΔS)2，會得到20.6 ΔP＝SδΔx＋ S2γ(Δx)2 (20.6)

ΔP＝SiδiΔxi＋ Si2γi (Δxi) 2 假設市場上有n個變數，如果要得到市場上全部投資組合的每日變動金額，需將20.6個別加總，將會得到 ΔP＝SiδiΔxi＋ Si2γi (Δxi) 2

ΔP＝ SiδiΔxi＋ SiSjγij ΔxiΔxj (20.7) 因為gamma係數是在衡量組合價值與市場變數二者之間的關係，當市場變數不只一個時，式子將會變成20.7 ΔP＝ SiδiΔxi＋ SiSjγij ΔxiΔxj (20.7)

20.6蒙的卡羅模擬法 1.投資組合目前的價值，通常是用市場變數衡量。 2.隨機抽取一個樣本值假設為多維常態分配。 3.或是從歷史資料也就是由結束一天交易時的市場變數決定。 4.在最後一天用一般的方法，去評估投資組合的價值。 5.利用步驟四的值減掉步驟一的值，用以決定ΔP。 6.重複步驟2-5多次，藉以定出一個ΔP的完整機率分配。 蒙的卡羅模擬法的缺點，就是在於它的趨勢過於緩慢，因為一家公司的投資組合會不斷的重複評估。

20.7方法的比較 計算風險值的方法: 一是歷史模擬法，一是模型建立法。 模型建立法的優點是計算結果快速 缺點則是模型假設市場變數會呈多維常態分配。