数学教学的有效性问题 扬州大学数学科学学院：季素月

现实背景——可喜的一面 1、我国的“双基”教学取得世人瞻目的成绩. 3、新课程的教学理念已逐渐为广大教师所接受。 4、力图将现代教学理念贯穿于教学实践活动之中。 5、教学改革的实践推进了教学研究的开展,相当多的数学教师不仅是教学行为的执行者,也是教学行为的研究者.

令人担扰的一些现象 教师与学生仍然十分辛苦，所取得的成绩与所付出的辛劳不成正比。 课堂教学:出现有其形，无其神的现象——表面热热闹闹，实质效率不高 教学内容选择余地增大,难以把握教学的”量”与”度” 高难度、大题量的操作性、重复性训练 “习题演练”与”理解感悟”难以协调——感叹：学生怎么学得这么死！——正六边形面积不会求的启示 认知与情感两者畸形发展——过早地消耗成长成本 ……

提高教学的有效性已成当务之急！！！

有效教学的含义 基本观点：教学是否有效不取决于教师打算教给学生什么，而在于学生实际获得了什么，获得了多少。 有效教学的两维标准 从过程来看——教学时间的有效利用 不仅是行为参与，还应有积极的认知参与与情感参与 从结果来看——单位时间内的综合效果 不仅体现于知识的“吸收”、技能的“熟练”上，还要体现于学生的意识、理解与能力的发展上。

一、关于课堂教学目标 如何提高教学的有效性??? 二、关于问题情境 三、关于合作学习与探究学习 四、关于技能训练 五、关于教师的观念与知识结构

一、关于教学目标 理想的目标 现实的目标 达成的目标 要求：缩短理想目标与达成目标的差距 关键：现实目标是否科学、合理、准确 课程标准所制定的目标，包括总体目标与具体目标 现实的目标 教师所理解的、根据现实情况所确定的教学目标 取决于教师、取决于教学环境 达成的目标 学生学习之后取得的实际效果 取决于教师的教学实施、学生的认知水平与情感因素 要求：缩短理想目标与达成目标的差距 关键：现实目标是否科学、合理、准确

制定一节课教学目标的依据 课程标准与教材——教学目标科学 学生的水平——教学目标合理、准确 （1）结果性目标：主要用于知识与技能领域，即学习行为结果的表述； （2）过程性目标：主要用于过程与方法、情感、态度、价值观领域，即体验、感受的表述； 通过经历知识与技能的学习过程实现过程性目标。 学生的水平——教学目标合理、准确 不同基础水平的学生的层次要求 同一个学生在不同的时期应有不同的学习要求。 不同的教学内容应有不同的层次要求

设计教学目标的注意事项 全面性：知识与技能、过程与方法、情感态度 具体性：贴切教学内容，反映学生的学习行为，切忌泛泛而谈。 （1）把内容进行分解，找出能代表教学内容的关键词； （2）把过程进行分解，确定子过程要学习的内容及每一个子过程的学习活动方式； （3）运用恰当的行为动词表述本节课的学习目标。 适宜性：情境问题、例、习题等的难易程度符合学生的认知水平

二、关于问题情境 近几年来，“问题情境”在数学教学领域成为出现率较高的一个名词。 什么是问题情境: 将原教材中无冲突、无矛盾的教学内容进行教学法加工,通过揭示人的认识与科学知识的矛盾,借助矛盾的发现、产生、分析、解决等一系列活动,使学生的思维处于最佳状态的过程(激趣、铺垫、探究、立障) 存在问题: 形式化——做给别人看 带着镣铐跳舞——将问题复杂化 弱智化——简单的操作代替深层次的思维

原则：复杂问题简单化；枯燥问题趣味化，抽象问题生活化——使学生的学习更容易 目标： 找准切入点——生活经验、已有知识； 境的创设，情的激发——能激起学生情感上的共鸣，产生解决问题的欲望 问题的难度适宜——提高学生的参与度。 教的思路、学的思路与知识产生、发展思路统一。 必要时，也可以开门见山

案例1 三角诱导公式 情境创设1 情境创设2 求出满足cosα=1/2的角 案例1 三角诱导公式 情境创设1 求出满足cosα=1/2的角 60º与－ 60º都满足，说明cos 60º =cos （－ 60º） ，那么一般情况是否也成立呢？ 评析：从复习旧知引入课题；从特殊到一般，但教的思路、学的思路与知识的发生与发展思路不融洽。 注意点：情境的创设必须遵循学生的思维活动规律。 情境创设2 第一组公式的作用是什么？ 我们如何把0到360的三角函数转化为0到90的三角函数呢？ 评析：以公式的作用为线索串起所有的三角诱导公式，使知识发生与发展的思路、教的思路、学的思路成为一体。

三、关于合作学习与探究学习 新课程的理念之一——提倡积极主动的学习方式 积极主动的学习方式的内涵 自主学习 合作学习 探究学习

教学实践中的偏差 合作学习：重形式，轻实质 探究学习： 只“作”不“合”，只“议”不思，只“说”不“听” 合作时间太短 议题太难或太容易 “操作式”探究——单纯地剪一剪、量一量、做一做，没有数学思考活动 “搀扶式”探究——在老师一系列“铺垫”性问题的指引下得到某个结论，但学生不明白学习目标、不明白“铺垫”的意图，没有探究动机。 “标签式”探究——探究问题与学生已有知识相比，难度过小或过大，徒有探究之名，无探究之实。

合作学习的特征 是一种学习的组织形式，相对的是“个体学习模式”“竞争学习模式”。 特征： 以小组活动为主体的一种学习活动； 强调小组成员之间的相互依赖与支持； 强调个体目标与群体目标的统一性，以各个小组在达成目标过程中的总体成绩为主要奖励依据的； 由教师分配学习任务和控制教学过程。 合作学习5个要素：积极互赖、面对面的相互性促进作用、个人责任、社交技能、自评。

合作学习的策略 分组应该合理 合作时机恰当——是传递接受教学的一种补充， 组间同质，组内异质，便于组内合作，组间竞争 课堂教学 具有不同的看法与策略时 开放性问题的解决 独立思考有困难时 研究性课题的解决——延伸到课外

教师角色的正确定位 组织者：提出议题、组织活动、引领知识，排除障碍、捕捉思维火花、组织全班交流、对合作学习的结果与过程的评价等 伙伴：参与讨论、探索 注重过程的评价 以小组集体的学习效果，作为评价依据 评价内容：过程与结果，以过程为主

探究学习 学生学习的两种基本形式 探究学习的标志： 接受学习——吸取信息、消化理解、巩固记忆、运用迁移 探究学习——提出问题、自己寻找解决问题的途径，包括收集资料、提出假设、验证假设、归纳规律、得出结论等 两者同等重要，互为补充， 探究学习的标志： 深层次的思维活动——在解决问题的过程中掌握思维方、形成思维策略

探究学习的时机 课堂知识学习过程中的探究 课外的探究学习——体验微型科研的过程 概念的形成， 公式、性质、定理的发现、推导 解决问题的途径的探究 课外的探究学习——体验微型科研的过程 数学建模 课题研究

课堂开展探究学习的要求 有情境：包括实例、问题等。 有活动：包括观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、建立模型、提出方法等个体活动，也包括讨论、合作、交流、互动等小组活动——经历过程 有深层次思维：与已有知识建立联系，形成概念、归纳结论、发现规律等。 有知识的运用：包括辨别、举例、解释、解决问题等 有进一步探究：深入研究具有一定挑战性的问题——学有余力的学生 有回顾与反思 ：总结、评价、联系、拓广、创新——使认识深化

课堂开展探究学习的注意点 明确探究学习的目的与重点，一般一节课安排一段高效率的自主探究活动， 探究问题的难度与学生水平相宜 注意探究氛围的创设 探究问题应具有层次性

层次性探究问题的设计 “5何”问题设计方法 由何（where）——问题从何而来，说明情境的导入与任务的布置 是何（what）——通过知识的回忆与再现来回答的问题 为何（why）——需要加以解释或推理的问题 如何（how）——需要将知识应用于具体情境的问题 若何（if……then）——诸如“如果情境发生变化，其结果如何？”的问题。

课例2 幂函数 1、引入课题（由何）： 思考：由等式8=23，可以改写成哪几种形式？（引导学生欣赏数学和谐美）

一般地，在N=ab中， 如果固定a，N随着b的变化而变化，则建立了指数函数y=ax； 如果a固定，b随着N的变化而变化，则建立了对数函数y=lga x。 思考：如果b固定，N随着a的变化而变化，那么，我们可以建立什么样的函数呢？ （学生思考、讨论）

2、给出幂函数定义（是何） 我们把形如y=xα的函数叫做幂函数，其中α是实数，为了方便起见，我们仅研究α是有理数的情况。

3、研究几个特殊幂函数的图象与性质（是何，如何） 求下列函数的定义域，并判断其奇偶性,然后作出它们的图象. 因为函数的奇偶性能够帮助我们完成左半平面内的图象，所以在知道函数的奇偶性之后，只需要研究它们在第一象限内的图象

4、指数变化后幂函数的性质发生什么变化（若何） 从以下几方面研究幂函数的图象与性质： 指数是正整数， 指数是正分数； 指数是负有理数。

5、总结、概括 在上述观察的基础上,归纳出一般情况下幂函数的性质，包括 当指数是正整数时，图象的位置、形状、增长速度； 当指数是正分数时，图象的变化情况； 当指数是负有理数时，图象的变化情况。等等

四、关于数学技能的训练 课标要求：单一的技能训练转变为关注对数学本质的理解与感悟 一位学生对函数单调性的理解的启发 不要过分地在细枝末节上花费精力 不要无限制地加大某一技能训练的难度 重在对数学知识联系的把握 注重数学知识的应用 注重数学思想方法的渗透 一位学生对函数单调性的理解的启发 过多的技能演练代替了对数学的理解 过多的方法展示掩盖了数学的本质

案例 一个例题的教学 已知函数f（x）=（m-2）x 2-4mx+2m-6的图象与x轴的负半轴有交点，求实数m的取值范围。 展示问题之后，老师提问：分类讨论的着眼点是什么？ 学生的回答： 讨论二次函数的判别式 讨论f（x）=0的根的情况 运用韦达定理进行讨论， 讨论最小根的位置 等等

对解题教学中一题多解的认识 一题多解是从不同的角度探索解题的思路，有助于发散思维的训练与培养 过多的注重于细节不同的多种方法容易掩盖对数学本质的理解， 上一例题的不同的方法的数学本质： 思路1：画出函数图象，根据开口、对称轴的位置或者根的位置进行讨论 思路2：主元变换——f（x）=m（x 2-4x+2）-2x 2-6，发现图象过两个定点，由此确定函数图象的可能情况。 思路3：正难则反：当函数图象仅与x轴的正半轴有交点，求m的取值范围，然后求其补集。

技能的含义 一种合乎某种法则的操作方式 两种类型： 操作技能：比如，写字、游泳、电脑绘画等 心智技能：智力技能，是一种控制、调节心智活动的经验。 数学技能多数属于心智技能 如运算、计算、推理、画图、作图、收集数据、运用计算器、测量、观察、交流等

数学技能的特点 必须按照某种法则进行； 操作有一定的理论依据； 心智动作结构成分可以简缩、合并、逐步实现自动化。 比如，移项的法则 比如，移项的依据：等式的性质 心智动作结构成分可以简缩、合并、逐步实现自动化。

数学技能形成的过程 学习法则、了解动作结构 练习阶段： 实现自动化：动作方式由感性水平上升到理性水平，实现自动化。 理解法则的依据：说明“为什么”可以这么做。 记忆法则：知道“怎么样”做的步骤； 练习阶段： 模仿练习：在头脑中初步形成动力定型。 变式练习：变更活动的对象，使操作方式在直觉水平上得以概括。 综合练习： 实现自动化：动作方式由感性水平上升到理性水平，实现自动化。

对数学技能训练的启示 练习题的选择与配制——量与度 练习的阶梯性——循序渐进 处理好操作与理解、感悟的关系， 两者的区别：写字与练书法的比喻 写字——一种简单操作； 练书法——把写字本身当作研究对

五、关于教学的观念与知识结构

1、建立崭新的教师观、教学观、学生观 教师观: 传统的水桶论 当今水桶论面临挑战，学生碗里的水不一定全部来自于教师 教师是支架 是为学生的学习提供方便的人，使学生的学习更容易的人

学习观 学习不是简单复制和印入信息，而是主动解释信息、建构知识的意义 知识不是现成的、贯输的，而是生成的、解释的、建构的，有一千个观众，就有一千个哈姆雷特。 小学生体验“父母的艰辛”的故事

教学观 教学只能传递信息，而不是知识的意义； 教学的最佳境界是创设理想的环境与空间促进学生自主建构知识。包括 创设问题情境 提供学习资源 提供教学支架 组织交往形式 设计学习活动 进行激励性的评价，等等

2、对课程结构的把握 传统的课程结构——直线式处理： 现代的课程结构 要求：整体性地了解新课程的知识结构，准确把握各层次的教学要求。 模块式呈现——松散的知识结构 选修1、2是必修的延伸与拓广； 选修3、4与选修1、2相对独立。 螺旋式处理 各数学分支分层次、递进设计； 要求：整体性地了解新课程的知识结构，准确把握各层次的教学要求。

3、知识结构的更新 传统： 现在： 要求：更新知识结构 函数、立体几何、解析几何、方程与不等式，排列组合与二项式定理等 必修——函数、几何、算法、概率统计 选修——四个领域内容的延伸与拓广、数学的应用与数学最新发展等 信息技术与课程的整合 要求：更新知识结构 算法与框图 向量、概率统计 选修专题

4、对学生发展的全方位的要求 掌握基础知识与技能；根据自己的兴趣与需要选择进一步学习的数学 数学地思考的能力：掌握数学思维的方法与策略 数学探究能力的发展：动手、探索、合作、交流等 数学思维能力的发展：提出问题、解决问题、回顾与反思 数学文化的理解与体验

5、创造条件让学生全身心地参与学习活动 全身心地参与： 行为投入——积极参与的外部表现； 认知投入——反映思考的深度，并掌握一定的思维方法与策略，是有效参与的表现； 情感投入——积极参与的内部表现。 参与的活动类型： 观察实例，形成概念， 发现结论、性质； 探索解决问题的途径； 举例，质疑、评价、交流，等等。

6、做个反思型教师 反思型教师的特质 （1）行动的研究者：做中学、做中思，行动——反思——思想、观念——行动 （2）具有较强的教学监控能力——对教学活动的自我意识与调控 课前的计划与准备； 课堂的反馈与评价； 课堂的控制与调节； 课后的反省 教学目标与教学效果 学生的需要与教学实践 教学资源的运用是否恰当，教学行为是否有效

反思的内容 对自身专业成长的反思： 对教学行为的反思： 我的教学理念是什么？过去的经验我学到了什么？自己进步和不足的原因是什么？等等。 课堂教学行为是否围绕教学目标来进行？学生积极性是否调动？教学过程是否得到优化？教学方法是否动用得当？教学效果是否良好？等等。

对学生学习情况的反思： 对课前教学计划的反思： 学生学到了什么？提出了什么新的问题？解决了什么问题？等等。 教学内容是否符合学生的实际？是否有利于学生的发展？存在哪些问题？如何改进？等等。

反思的方式 （1）教育叙事与案例 （2）反思随笔：随时随地记下自己的所思、所见、所闻、所想，从教材的分析、教学方法 、学法指导、师生互动、多媒体使用、作业设计等方面挖掘亮点，寻找斑点。 （3）理论学习：反思的基础不是内隐性理论，而是倡导性理论，倡导性理论是反思的基础。将学与思、学与教、学与研结合起来。 （4）同事之间的相互对话、观摩与研讨 （5）进行课题研究或专题研究

谢 谢！