风险管理 寻求套利 金融创新 定价 现金流 贴现率

第四讲 债券的利率风险及度量 投资回报率分析与风险概述 利率风险度量 久期 凸性

4.1 投资回报率分析与风险概述 投资回报率分析与风险概述 利率风险度量 久期 凸性

(1) 投资回报率分析 到期收益率 问题： 持有到到期日、再投资收益率等于YTM 只是价格指标，判定定价是否合理 能否给出某个债券的投资参考 如何做债券投资，买长期还是短期？ 买进债券之后，如何分析投资回报？

持有收益率和投资回报率 持有收益率 HPR holding period return, horizon return, total return, realized compound yield. HPR is 债券持有期间的投资收益率 其大小取决于债券资本利得与再投资收益。

投资债券收益的来源 1.利息支付 2.利息收入的再投资收益 (再投资风险) 3.资本利得或者资本损失 (价格风险)

例子： 投资$1000于 7年期票面利率 9%（半年付息），面值交易的债券。 则到期收益率 9% (bond equiv. basis), 半年4.5%。 假设收到利息的再投资年收益率也为9%(b.e.y) 问题： 7年后的总收入为多少？这7年的投资收益率为多少呢？

由于票面利率等于到期收益率，也等于再投资收益率 另外，持有到到期日 所以 在到期日的累积收入相当于： 这七年的投资回报率等于： 年均投资回报率为：

总收入分解 (1) 利息及其再投资收入： 到期日 …… 45 45 45

持有到结束，所以最后价格为本金1000，等于期初的投资额1000，所以，资本利得为0 (3) 总回报： 利息及其再投资收入 852 中： 纯利息收入：45*14 = 630 利息的利息：852 – 630 = 222 (2) 资本利得： 持有到结束，所以最后价格为本金1000，等于期初的投资额1000，所以，资本利得为0 (3) 总回报： 纯利息 630 + 利息再投资收入 222 + 资本利得0 = 852

Example 2: 假设现有$816，投资于期限 20年，票面利率7% （半年支付），价格$816 ($1,000 面值) ，到期收益率 9%. 假设利息的再投资收益率等于9%(b.e.y) 问题： (1) 20年末到期日时的总收入为多少呢？ (2) 20年的总投资回报率？ (3) 年平均投资回报率？

总回报的分解 1、利息及其再投资收入： 2、利息的利息 $3,746 - 40($35) = $2,346 3、资本利得 $1,000-$816 = $184 4、总结： 总利息 = $1,400 利息的利息= $2,346 资本利得 = $ 184 总收入 = $4,746

Example 3(在到期日之前出售): 投资于 3年期，票面利率7%（半年付息）的债券，价格为 $960.33 ($1,000面值) ，该债券的到期收益率为 8.53% (b.e.y.)。 投资者打算2年后卖掉该债券。 问题：期望年均投资回报率为多少呢？

t(期限) 即期收益率 单期远期利率f(t-1,t) 0.5年 3.25%*2 3.25%*2=6.50％ 1年 3.50%*2 3.75%*2 1.5年 3.70%*2 4.10%*2 2年 4.00%*2 4.91%*2 2.5年 4.20%*2 5.00%*2 3年 4.30%*2 4.80%*2

1. 求2年后债券的卖出价格: 所以投资者预期资本利得为: $973.90 - $960.33 = $13.57 2. 求累积利息: $35(1.0375)(1.0410)(1.0491) + $35(1.0410)(1.0491) +35(1.0491) + $35 = $149.60 3. 总预期回报金额 =$13.57 + $149.60 = $163.17

年均投资回报率： 问题： 为什么会比到期收益率8.53%小呢？

Example 4: 投资者作1年期投资，准备购买20年期6%票面利率的公司债券，发行价格为86.4365，到期收益率7.3%，1年后出售。 假设发行在外的20年国债的到期收益率为6.5%，而且即期收益率曲线是平坦的(Flat) 假设持有期内的利息的再投资收益率为6.0% 而投资者预期即期收益率曲线在1年后会下移35bp，而且保持平坦，公司债券与国债之间的利差则增加10bp 问题： 预期的投资回报率为多少呢？

(1) 利息及其再投资收入： 3*(1+6%/2) +3 = 6.09 (2) 1年末的债券价格： 19年期的到期收益率变为：6.50% - 0.35%+(7.3%-6.50%+0.1%) = 7.05% 19年期债券按照7.05%贴现，价格为：89.0992 (3) 投资回报率： (6.09 + 89.0992 – 86.4365)/86.4365 = 10.13%

投资回报率分析总结： (1) 确定利息收入的未来收入 C = 利息支付（半年） n = 至偿还期或者出售债券时利息支付次数 r =半年基础上的再投资收益率

其中一部分为纯利息收入： nC. (2) 所以，利息的利息为： (3) 最后计算资本利得：

(2) 债券投资风险概述 利息再投资收入 Reinvestment* Interest rate* 纯利息收入 Yield Curve* 债券投资收入 纯利息收入 Yield Curve* Credit Spread Liquidity 资本利得Pn – P0 Call, Prepayment Event Inflation Exchange rate Political

Reinvestment Risk • This risk is greater for those investors who depend on a bond’s coupon for most of their return • Minimized with low or zero-coupon bond issues or when time horizons are short 例外： 如果刚好需要拿利息另有所用的，就不用考虑这个风险

再投资收益率风险分析 假设一个投资者正在考虑选择一个合适的债券期限。 如果他选择的期限过长，他会担心市场利率上升引起债券价格的过大幅度的下降，这对他当然是不利的。 但是，期限过短，同样存在问题，一是一般来说期限较短的债券收益率较低，二是到期后，他还面临再投资风险。

例子：有一零息票国债投资者，投资期为2年。该投资者有多种投资选择： 在理论上，再投资收益率风险比较复杂。下面以零息债券为例分析再投资收益率风险。 例子：有一零息票国债投资者，投资期为2年。该投资者有多种投资选择： (1) 连续投资两个1年期零息债券 (2) 直接购买2年期零息债券 (3) 购买3年或3年以上的零息债券，在第二年年底出售（以5年期为例）。 问题： 他应作何种选择？

零息票国债的到期收益率 考虑两种情况： （1）不对未来收益率曲线做预测，计算各个选择的预期收益率 期限 即期利率 折现因子 0.5 8.42% 0.9604 1 8.51% 0.9216 1.5 8.59% 0.8837 2 8.68% 0.8467 2.5 8.76% 0.8107 3 8.84% 0.7756 4 8.99% 0.7086 5 9.14% 0.6458 6 9.28% 0.5871 7 9.41% 0.5327 8 9.54% 0.4824 9 9.66% 0.4362 10 9.77% 0.3938 11 9.87% 0.3551 12 9.97% 0.3198 13 10.05% 0.2878 14 10.13% 0.2589 15 10.21% 0.2327 考虑两种情况： （1）不对未来收益率曲线做预测，计算各个选择的预期收益率 （2）假设收益率曲线2年内不发生变化，应如何选择

如果收益率曲线不发生变化，三种选择的投资回报率： (1) 1.08512 –1 ＝17.74% (2) 1.08682 –1＝18.11% (3) 第三种选择机会有很多，结果也各不相同。以选择5年期债券，2年后出售为例，其回报率为 1.09145/1.08843 –1 ＝ 20.05%

推论1： 在收益曲线向右上方倾斜时，如果再投资收益率不上升，即按照现在收益曲线所对应的收益率获得收益，那么，投资于长期零息债券更为有利。

预期未来实际利率 未来实际利率 < 远期利率，则应该投资长期债券 原因：卖出长期债券时候价格大于远期利率算出的价格，所以回报率也要大 未来实际利率 > 远期利率，则应该投资短期

简单总结： 到底是投资长期还是短期债券 常见情况： 利率期限结构 利率期限结构的未来变化 如果利率期限结构向上倾斜，且未来不变化，则投资长期债券要优于短期债券，但也不是越长越好。

Interest rates Risk Interest rates and bond prices show inverse relationship Bondholders lose when the interest rates rise Bondholders gain when interest rates fall 例子： 隔夜风险都很大 在美联储开会前的交易平淡

Yield Curve Risk Interest rates risk measures when yield curve has a parallel shift The risks investors face when yield curve changes non-parallelly means yield curve risk. 几个问题： 从风险源看，跟利率风险类似 但主要是针对认为已经消除利率风险的投资者 现金的长短期分配

Credit Risk 1. Default risk 2. Credit spread risk 3. Downgrade risk Recovery rate 2. Credit spread risk Yield on risky bond = yield on default-free bond + risk premium 3. Downgrade risk Higher rating (upgrade), lower rating (downgrade) Yields rise for downgrades and fall for upgrades 例子： 公司债要着重分析这种风险 评级机构的影响

Liquidity Risk Likelihood that an investor will be unable to sell security quickly and at a fair price Estimated by using the bid-ask spread Marking positions to market—liquidity risk is important even if instruments issues are held to maturity

买卖价差（价格的百分比） 类别 一般 陷入危机时 国债 0.002 0.005 0.003 0.006 0.009 公司债 0.12 新发行短期国债 0.002 0.005 新发行中长期国债 0.003 0.006 已发行国债 0.009 公司债 A级金融公司债 0.12 0.50 B级工业公司债 5.00 MBS 固定利率类别 0.06 0.25 市政债 Aa级/Aaa级 0.75

Call and Prepayment Risk • Unpredictable cash flows • Reinvestment risk • Price compression

Prepayable Amortizing Securities Reinvestment risk is compounded for lenders when borrowers prepay their principal obligations If a borrower prepays, the investor gets their money back sooner than they expected in a low interest rates in a market 银行对按揭贷款的提前还款是要罚款的

Price Volatility Risk • The greater the volatility of the underlying price, the greater the value of an embedded option • When expected yield volatility increases, the value of the call option increases and the value of the callable bond decreases • Value of callable = value of noncallable –value of embedded option

Exchange Rate Risk The investor bears the risk of receiving an uncertain amount when these payments are converted into the home currency If home currency appreciates against foreign currency of the bond payments, each foreign currency unit will be worth less If home currency depreciates against foreign currency of the bond payments, each foreign currency unit will be worth more

几个例子： 国家外汇储备中很多是买了美国国债，人民币升值的影响 航空企业的外债受人民币升值的影响 绍兴纺织企业购买欧洲设备，对方只要欧元，不要美元，宁愿给你无息延期付款

Inflation Risk Possibility that prices of goods and services will increase Purchasing power goes down with fixed coupon bonds and increasing inflation 投资者如何避免？

Event Risk • Disasters • Corporate takeovers and restructurings • Regulatory issues • Political risk

两个例子 巴林银行的倒闭 做空日本利率期货 做多日本股指期货 日本地震 LTCM的破产 俄罗斯主权债，做空德国债券 俄罗斯金融危机

4.2 利率风险度量 投资回报率分析与风险概述 利率风险度量 久期 凸性

基本问题： (1) 如果央行加息，对各债券的价格是如何影响的呢？ (2) 哪些债券的价格变动小，哪些债券的价格变动大？ (1) 如果央行加息，对各债券的价格是如何影响的呢？ (2) 哪些债券的价格变动小，哪些债券的价格变动大？ (3)如何避免债券价格受到利率变化的影响？

定价 现金流 贴现率 利率

利率风险： 利率变化包括两种： 指由于利率变化所引起的债券价格的变化。 利率与价格之间的反向变动关系 水平变化 风险(level risk) 收益率曲线变化风险(yield curve risk)

如果利率(YTM)上涨50bp，问这些债券的价格变化水平？价格变化百分比孰大孰小？如果利率下降50bp呢？ 例子：有四种债券（年付息），分别为： 5年期，票面利率5%，YTM为5% 5年期，票面利率9%，YTM为5% 20年期，票面利率5%，YTM为5% 20年期，票面利率5%，YTM为4.5% 问题： 如果利率(YTM)上涨50bp，问这些债券的价格变化水平？价格变化百分比孰大孰小？如果利率下降50bp呢？

Price1: 5年，息票率5% Price2: 20年，息票率5% Price3: 20年，息票率9%

Price1: 5年，息票率5% Price2: 20年，息票率5% Price3: 20年，息票率9%，除以息票率为5%的价格

不同债券的利率风险特征 期限： 息票率： 到期收益率： 期限越长，利率变化引起的价格变化百分比（以下称为利率风险）也越大。 息票率越小，利率风险越大。 到期收益率： 到期收益率越小，利率风险越大。

上涨与下跌的方向： 结论： 到期收益率变化较大时，YTM增加引起的价格下跌幅度要小于YTM减少引起的价格上涨幅度。 这种特征称为凸性。 不含期权的债券的价格与利率之间的变动为非线性关系，呈现出正凸性。

嵌入期权时的利率风险特征 可赎回债券 到期收益率下降到一定水平时，由于价格上涨到一定程度，当超过赎回价格时，发行人有赎回权利 利率风险呈现出负凸性特征。

投资回报率分析与风险概述 利率风险度量 久期 凸性

基本问题：利率风险如何度量呢？ 基点价值 价格波动的收益率价值 久期

(1) 基点价值 Price Value of a Basis Point 基点价值指到期收益率变动一个基点所对应的债券价格的变化额。 Example: 期限5年，票面利率9%（半年支付），价格为100。求该债券的基点价值。

解答： 目前的到期收益率为9%。到期收益率增加1个基点，为9.01% ,债券的新价格： 所以： 基点价值 = $100 - $99.9604 = $0.0396

不同债券的PVBP 考虑4个债券，每个债券的到期收益率为9% (b.e.b)，半年支付。息票率、期限和价格分别： 问题： 息票率9%，期限5年，价格$100 息票率9%，期限20年，价格$100 息票率5%，期限5年，价格$84.175 息票率5%，期限20年，价格 $63.197 问题： 它们的PVBP孰大孰小？

new yld BP change 9%,5yr 9%,20yr 5%,5yr 5%,20yr 6 -300 12.7953 34.6722 11.5603 25.2458 8 -100 4.0554 9.8964 3.6591 7.114 8.9 -10 -0.3947 -0.9135 -0.3558 -0.6523 9.01 1 -0.0396 -0.0919 -0.0357 -0.0657 9.5 50 -1.9541 -4.4408 -1.7613 -3.1636 10 100 -3.8609 -8.5795 -3.4789 -6.0945 12 300 -11.0401 -22.5694 -9.9349 -15.8589

(2) 价格波动的收益率价值 Yield Value of a Price Change Example: 期限5年，票面利率9%（半年支付）， 收益率为9% (b.e.b.)，对应价格为$100。求价格波动的到期收益率价值？

解答： 所以： 价格波动的收益率价值 = 9% - 8.992% = 0.008%

4.3 久期 投资回报率分析与风险概述 利率风险度量 久期 凸性

(1) 什么是久期 Duration 久期是市场利率变化1个百分点（100个基点）导致债券价格变化的百分比。 计算公式： 其中：V-是利率减少 后的债券价值， V+是利率增加 后的债券价值， V0是债券的原价值。

Example: 例子： 问：久期为多少？ 两年期债券，年付息，6%息票率，当前价格为96.43 当到期收益率下降50bp时，价格上涨至97.31 当到期收益率上升50bp时，价格下跌至95.57 问：久期为多少？

解答：

Exercise: 票面利率为9%，期限 20 的非含权债券，价格 134.67，到期收益率6%。让到期收益率上升或下降 20 个基点，债券价格将分别为 131.84 和137.59 问题： 它的久期多少？

两点说明 下面这个公式表示久期可以吗？ 其中： V-是利率减少 后的债券价值 (2) 取多少合适？

久期的经济含义 上述例子中，久期为1.804，什么意思？ 指利率变化1个百分点时，债券价格变化的百分比 例子中，当利率上升1％时，则债券价格下降1.804%，则债券新价格为： 96.43*(1-1.804%) = 94.69

金额久期 Dollar Duration 把利率变化100bp所引起的价格变化金额称为金额久期。 计算公式：

例子： 问：金额久期为多少？ 两年期债券，年付息，6%息票率，当前价格为96.43 当到期收益率下降50bp时，价格上涨至97.31

(2) 为什么叫 Duration？ 下表为零息券的久期 期限 到期收益率 久期 1年 5％ 0.952 2年 5％ 1.901 期限 到期收益率 久期 1年 5％ 0.952 2年 5％ 1.901 3年 5％ 2.856 4年 5％ 3.801 5年 5% 4.763

久期的连续形式

其中：dt为t时刻的贴现因子，PVt为t时刻的现值。

Macaulay 久期 Macaulay 久期 (DM) 就是：期限的加权平均，权重为现值。

Example: 20年债券, 面值100, 票面利率10%, 年付息1次。根据下面提供的各年的现值 问： Macaulay 久期是多少？

term spot rate% df PV t*PV 1 8.5056 0.9216 9.2161 9.2161 2 8.6753 0.8467 8.4672 16.9343 3 8.8377 0.7756 7.7564 23.2693 4 8.9927 0.7086 7.0862 28.3446 5 9.1404 0.6458 6.4576 32.2881 6 9.2807 0.5871 5.8714 35.2282 7 9.4136 0.5327 5.3272 37.2906 8 9.5391 0.4824 4.8244 38.5955 9 9.657 0.4362 4.3619 39.2568 10 9.7675 0.3938 3.9379 39.3788 11 9.8705 0.3551 3.5507 39.0572 12 9.9659 0.3198 3.1982 38.3782 13 10.0537 0.2878 2.8783 37.4182 14 10.134 0.2589 2.5888 36.2433 15 10.2067 0.2327 2.3274 34.9117 16 10.2718 0.2092 2.0920 33.4725 17 10.3292 0.1880 1.8805 31.9677 18 10.379 0.1691 1.6906 30.4310 19 10.4212 0.1521 1.5206 28.8906 20 10.4557 0.1368 15.0532 301.0648 total 100.0866 911.63

Exercise 5年期附息债券，息票率为6％，半年付息一次 根据下表提供的贴现因子，试计算其Macaulay Duration？

period cash flow discount factor PV t(PV) 1 3 0.9569 2.871 2.871 2 3 0.9157 2.747 5.494 3 3 0.8763 2.629 7.887 4 3 0.8386 2.561 10.063 5 3 0.8025 2.407 12.037 6 3 0.7679 2.304 13.822 7 3 0.7348 2.204 15.431 8 3 0.7032 2.109 16.876 9 3 0.6729 2.019 18.168 10 103 0.6439 66.325 663.246 Total 88.131 765.895

(3) 久期的影响因素 零息债券的Macaulay 久期等于期限本身 附息债券的Macaulay 久期小于期限本身 期限越长，久期也越大。

时间对久期的影响 随着到期日的临近，久期在变小 付息对久期的影响 付息后瞬时的久期会比付息前瞬时的久期增加

修正久期与Macaulay 久期 其中：y 为YTM / k，k为一年付息的次数 比如，一年付息一次，则y = YTM

修正久期和有效久期 修正久期(modified durattion) 有效久期(effective duration) 假设到期收益率的变化不会引起现金流的变化 适用于不含期权的债券 有效久期(effective duration) 到期收益率的变化会引起现金流的变化 适用于嵌入期权的债券

不含期权的债券 嵌入期权的债券 修正久期和有效久期相等 修正久期不一定等于有效久期 比如，可赎回债券， 修正久期 ? 有效久期 修正久期 ? 有效久期 A. 不大于 B.不小于

(4) 债券组合的久期 久期可以按照市值(现值)加权 组合久期 久期：单个债券久期的加权平均 金额久期：加和 如果各个债券的到期收益率不同，这意味着组合中每个债券的久期计算所依据的到期收益率是不同的。

Example: 由两个债券构成的组合 问： P(1) = $8,000， D (1) = 4.3 这个债券组合的久期和金额久期各为多少？

实际公司债和嵌入期权债券的久期计算 前面我们都是简单的假设： 实际中： 以到期收益率发生变动，来计算久期 债券价格的计算牵涉到利率期限结构 公司债价格的计算牵涉到利差 嵌入期权的债券价格的计算牵涉到利率模型

久期计算的步骤 1、根据当时的利率期限结构，计算相关债券的价格 2、小幅度变动短期利率水平，比如10bp 3、根据利率期限结构与所假定的短期利率变动，重新设定利率期限结构 4、新的期限结构下，重新计算债券新价格（包括增加10bp与减少10bp） 5、利用久期公式，计算久期

第3步骤： 如何设定新的利率期限结构或者利率模型是关键？ 简单一点，假设水平移动，就象Z-利差或者OAS利差一样

请参见Litterman and Scheikman (1991) (5) 久期指标的缺陷与关键利率久期 假定水平的到期收益曲线并且平行移动 到期收益曲线变化的种类 水平移动：85% 的国债收益曲线变动 收益曲线变陡：5%的国债收益曲线变动 蝴蝶状变化：3-4%的国债收益曲线变动 请参见Litterman and Scheikman (1991)

如果利率曲线不是平行移动的，即发生利率曲线风险 (yield curve risk) 时 会发生什么情况？

Example: 考虑下面两个组合，假设都是由零息券组成 三种零息券的久期分别为：1.90，15.24，28.57 这两个组合的久期分别为： 组合 2年债券 16年债券 30年债券 A 50 0 50 B 0 100 0 三种零息券的久期分别为：1.90，15.24，28.57 这两个组合的久期分别为： A：0.5×(1.90+28.57)＝15.24 B：15.24

问下面三种情况下，两个组合的价值如何变化？ (1) 每一个即期利率都下降10基点，考虑两个组合的价格变化百分比 (2) 2年即期利率上升10bp，30年期下降10bp，16年期没有变化 (3) 2年即期利率下降10 bp，30年上升10bp，16年期没有变化

考虑第一种情况 每一个即期利率都下降10基点，运用久期公式计算： 两个组合的价值都上升1.524% 组合 A: 0.10%×15.24 ＝ 1.524% 组合 B: 0.10%×15.24 ＝ 1.524% 两个组合的价值都上升1.524%

考虑第二种情况 2年即期利率上升10bp，30年期下降10bp，16年期没有变化 组合 A 组合 B 2年期利率上升10 个基点，组合价值下降 0.095% 30年期利率下降10个基点，组合价值上升 1.429% 总共上升 -0.095%+ 1.429% =1.334% 组合 B 没有变化!

Exercise: 考虑第三种情况： 2年即期利率下降10 bp，30年上升10bp，16年期没有变化 问题： 组合A和组合B的价格变化百分比？

久期只能针对利率曲线发生水平变动的情况，而无法衡量利率曲线变动引起的利率风险 前面的例子说明： 久期只能针对利率曲线发生水平变动的情况，而无法衡量利率曲线变动引起的利率风险 怎么办？ 考虑不同期限利率的不同变动

关键利率久期（不做要求） 1992 by Thomas Ho 考虑所有期限的变动很复杂 Thomas Ho集中考虑11种关键利率久期 3 个月, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 15, 20, 25, 30 年。其他利率久期可以用线性估计。

(6)利用久期估计债券价格的变化 例子： 20 年期， 5%票面利率(半年支付），到期收益率9% (b.e.b.)， P=63.1968，Macaulay D = 10.87年 问题： (1) 如果到期收益率从9%增加到9.10%，预测债券价格如何变化？ (2)如果到期收益率从9%增加到11%?

解答： (1) D = 10.87/(1+0.045) = 10.40 价格变化： -10.40(.0010) = -1.04% 实际变化： -1.03% (2) 价格变化： -10.40(.020) = -20.80% 实际变化： -17.94%

在市场利率变化较小时，久期可以相对准确地估计债券价格的变化。 但如果市场利率变化较大，则有偏差：

4.4 凸性 投资回报率分析与风险概述 利率风险度量 久期 凸性

凸性的定义与特征 Convexity 凸性衡量的是收益率-价格曲线弯曲的程度。 不含期权债券都有正的凸性，它会给投资者带来额外的收益。 凸性会随着到期收益率的增加而降低。

凸性的计算 计算公式：

Example: yield=6%,V0 =134.67, yield=6.2%,V+ =131.84, 则：

凸性的数学定义 凸性，价格与到期收益率之间的二阶导数 即久期对到期收益率的一阶导数

凸性的影响因素 期限越长，凸性越大 息票率越小，凸性越大 到期收益率越小，凸性越大

一点说明 (1) 有些定义凸性为： 没有除以2 没有关系，主要看应用的时候

(2) 凸性的计算，也可以通过久期：

利用凸性计算债券价格的变化 计算公式： 当市场利率变化很小时，利用久期可以相对准确地估计出债券价格的变化。 当市场利率变化幅度很大时，用久期估计债券价格会产生一定的误差。 如果使用久期和凸性，那么债券价格估计精度会有所提高。

Example: 有一个20年期的附息债券，现价为10000.03，久期为9，凸性为61.2 如果到期收益率曲线平行上升200bp，问债券价格如何变化？

解答： Exercise: 根据久期计算：-9*2% = -18% 根据凸性计算：61.2*(2%)2= 2.45% 根据久期计算：-9*2% = -18% 根据凸性计算：61.2*(2%)2= 2.45% 所以价格变化：10000.03*(-18%+2.45%) = -1555 Exercise: 如果到期收益率曲线平行下降200bp？

金额凸性 金额凸性 上面例子中：有一个20年期的附息债券，现价为10000.03，久期为9，凸性为61.2

组合的凸性 与久期类似 组合凸性： 单个债券的加权平均 组合的金额凸性 单个债券的总和