2013年MBA数学联考 排列组合技巧分析

排列组合技巧分析 一、特殊元素“优先安排法” 二、总体淘汰法 三、合理分类与准确分布法 四、相邻问题“捆绑法” 五、不相邻问题“插空法” 六、等价转化法 七、顺序固定问题用“除法” 八、混合应用问题“先选后排法” 九、“小团体”问题“先整体后局部法” 十、构造“隔板”模型法 十一、分排问题“直排法”

一、特殊元素“优先安排法” 对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其他元素。 例1.用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）个 A.24 B.30 C.36 D.40 E.60 解析：由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为０不能排在首位，故０就是其中的特殊元素，应优先安排．按０排在末尾和０不排在末尾分为两类：①０排在末尾时，有 个，②0不排在末尾时，则有 个，由分类计数原理，共有偶数30个，选B．

二、总体淘汰法 对于含有否定字眼的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减。 例⒉　100件产品中有3件是次品，从中任取三件，其中不全是正品的选法有多少种？ 解析：从100件产品中选3件产品的选法有 种，选好后发现3件产品都是正品的选法不符合题意，因此把这种排法除去，故共有

三、合理分类与准确分布法 　　 解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清晰，不重不漏。 例⒊　将5列火车停放在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b不停在第二条轨道上，那么不同的停放方法有多少种？ 解析：由题意，可先安排a列车，并按其进行分类讨论： ⑴若a列车在第二轨道上，则剩下4辆列车可自由停放，有种 方法； ⑵若a列车停第三或第四或第五轨道上，则根据分布计数原理有 种停法； 再用分类计数原理，不同的停放方法共有78种。

四、相邻问题“捆绑法” 　　 对于某几个元素要求相邻的排列问题，可以先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个大的元素与其他的元素排列，然后再对相邻的元素内部之间在进行排列。 例4.7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种不同的排法？ 解析：把甲，乙，丙三人“捆绑”起来看成一个元素，与其他的4人共5个元素作全排列，有 种排法，而甲，乙，丙三人之间又有 种排法，根据分步计数原理，共有 =7200种排法。

五、不相邻问题“插空法” 对某几个元素不相邻的排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素已排好的元素之间及两端的空隙中插入即可。 例5.7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种不同的排法？ 解析：先让其余4人站好有 种排法，再在这4人之间及两端的5个“间隙”中选3个位置让甲，乙，丙插入，则有 种方法，这样共有 =1440种不同的排法。

六、等价转化法 　　　一些常见类型方法为自己熟知之后，对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难的问题，后者有些问题从正面入手情况较多，不易解决，这是可考虑能否进行等价转化，从反面入手，或构造模型，将其转化为一个较简单的问题来处理。 例6.马路上有12只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？ 解析：关第一只灯的方法有10种，关第二只、第三只灯时要分类讨论，情况较复杂。若换一个角度，从反面入手考虑，因每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件亮灯与暗灯的排列，于是问题就转化为等价的“在9只亮灯产生的8个空档中插入3只暗灯”问题，故所求方法种数为 。

七、顺序固定问题用“除法” 　　 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可以先把这几个元素与其它元素一同进行排列，然后又总排列数除以这几个元素的全排列数。 例7.　由数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数，其中个位数小于十位数的共有多少个？ 解析：若不考虑附加条件，组成的六位数字共有 个，而其中个位数与十位数的 种排法中只有一种符合条件，故符合条件的六位数共有 个。

八、混合应用问题“先选后排法” 对于排列与组合的混合问题，可采用先选出元素，然后再进行排列的方法。 例8.4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，恰好有一个空盒的放法有多少种？ 解析：因有一个空盒，故必有一个盒子放2个球，第一步先选：从4个小球中选出2个小球的方法有 种，从4个盒子中选3个盒子的方法有 种，第二步排列，把选出的2个小球看成一个元素与其余的2个小球共3个元素，对选出的3个盒子作全排列有 种排法，故所求的放法共有 种。

九、“小团体”问题“先整体后局部法” 　　 对于“小团体”排列问题，与“相邻问题”相似，可先将小团体看作一个元素与其它元素排列，最后再进行小团体内部的排列。 例9.7个人站成一排照相，要求甲、乙之间恰好相隔2人的站法有多少种? 解析: 甲、乙及间隔的2人组成一个“小团体”,这2人可从其余5人中任选出来,有 种不同选法,这个小团体与其余3人共4个元素全排列有 种方法,它的内部甲、乙2人有 种不同排法,中间的2人也有 种不同排法,因而符合要求的不同站法共有 种。

十、构造“隔板”模型法 对较复杂的排列问题，可通过设计另外一情景，构造一个“隔板”模型来帮助解决问题。 对较复杂的排列问题，可通过设计另外一情景，构造一个“隔板”模型来帮助解决问题。　　 例10.方程ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝１２有多少组正整数解？ 解析：建立“隔板”模型法：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，而每一种分法所得4堆球的各堆球的数目，即为的一组正整数解，故原方程的正整数的组数共有 组。

十一、分排问题“直排法” 例11.7个人坐两排座位，第一排坐3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？ 解析：7个人可以在前后两排任意就坐，再无其他条件，故可看成7个人在7个位置上的全排列问题，所以，不同的坐法有 种。