第二章 牛顿运动定律 动力学：研究作用于物体上的力和物体机械运动状态变化之间的关系。 本章主要内容： 1、牛顿运动三定律 2、常见力和基本力 第二章 牛顿运动定律 动力学：研究作用于物体上的力和物体机械运动状态变化之间的关系。 本章主要内容： 1、牛顿运动三定律 2、常见力和基本力 3、牛顿运动定律的应用 4、牛顿运动定律的适用范围

伽利略 Galileo (1564―1642) 著名意大利数学家、天文学家、物理学 家、哲学家，是首先在科学实验的基础上融 合贯通了数学、天文学、物理学三门科学的 科学巨人。加利略是科学革命的先驱，毕生把哥白尼、开普勒开创的新世界观加以证明和广泛宣传，并以自己在教会迫害下的牺牲唤起人们对日心说的公认，在人类思想解放和文明发展的过程中作出了划时代的贡献。 300多年后的1979年11月10日，罗马教皇才公开承认对加利略审判的不公正，1980年十月，世界主教会再一次声明，为科学巨人加利略沉冤昭雪。

的基本体系，促成了物理学史上第一 次大综合； 光的本性的 研究，作出了重大贡献； 经典力学的创始人 物理学上主要成就是创立了经典力学 的基本体系，促成了物理学史上第一 次大综合； 对于光学，牛顿致力于光的颜色和 光的本性的 研究，作出了重大贡献； 在数学方面，总结和发展了前人的工作， 建立了二项式定理，创立了微积分； 经典力学的创始人 Isaac Newton 1642~1727 在天文学方面，发现了万有引力定律，创制反射望远镜，初步 观察到了行星运动的规律。 在1687年发表著作《自然哲学的数学原理》，标志着经典力学 体系的确立。

§2.1 牛顿定律 一、牛顿第一定律 1、牛顿第一定律 （惯性定律 ） §2.1 牛顿定律 一、牛顿第一定律 1、牛顿第一定律 （惯性定律 ） 表述1： 任何质点都将保持静止或匀速直线运动状态，直到其它物体对它作用的力迫使它改变这种状态； 表述2： 任何质点，只要其它物体作用于它的所有力的合力为零，则该质点就保持静止或匀速直线运动状态不变。

数学形式： 时， 恒矢量 定义了物体的惯性 任何物体都有保持其运动状态不变的性质, 这一性质叫惯性. 定义了力 力是物体运动状态发生变化的原因. 定义了惯性参照系 物体在某参考系中, 不受其他物体作用而保持静止或匀速直线运动状态 , 这个参考系称为惯性系 . 相对惯性系静止或匀速直线运动的参照系也是惯性系 .

二、牛顿第三定律 1、牛顿第三定律的陈述 作用力与反作用力是作用在两个不同的物体上，大小相等，方向相反，且在同一直线上，同时出现同时消失，属于同种类型的力。 2、牛顿第三定律的数学表达式

三、牛顿第二定律(微分形式) 3、问题 运动的变化与所加的动力成正比，并且发生在这力所沿直线的方向上． 1 、动量的定义 运动： 2、牛顿第二定律的微分形式 3、问题 （1）右边两式有何不同？ （后者是质量可视为常量时的表达式，前者是普遍适用的。） （2）在哪两类问题中质量是不能视为常量的？ （一是在运动过程中，其质量有所增减的，如：飞行的火箭；二是质点的运动速度接近光速时）

牛顿第二定律(m是恒量) 1、数学表达式 2、力的叠加原理 3、瞬时性、矢量性 4、分量式

四、力学相对性原理 为常量 结论 1）凡相对于惯性系作匀速直线运动的一切参考系都是惯性系 . 2）对于不同惯性系，牛顿力学的规律都具有相同的形式，与惯性系的运动无关 . 伽利略相对性原理

不可能在惯性系的内部进行任何力学实验，来确定该系统的物理状态。即对于力学规律来说，一切惯性系都是等价的。也称为伽利略相对性原理。 力学相对性原理 不可能在惯性系的内部进行任何力学实验，来确定该系统的物理状态。即对于力学规律来说，一切惯性系都是等价的。也称为伽利略相对性原理。 “只要运动是匀速的，你无法从其中任何一个现象来确定船是在运动还是停着不动．你跳向船尾也不会比跳向船头来得远,虽然你跳在空中时,脚下的船底板向着你跳的反方向移动．你把不论什么东西扔给你的同伴时,如果你的同伴在船头而你在船尾, 你所用的力并不比你们两个站在相反位置时所用的力更大．水滴将象先前一样,滴进下面的罐子,一滴也不会滴向船尾,虽然水滴在空中时,船已行驶了相当距离."

三、几种实用的惯性系 2、地心参考系 地心参考系相对地面参考系严格些，地球绕太阳公转的角速度： 1、地面参考系 由于我们生活在地面上，地面是一个最常用的惯性系。但只能说地面是一个近似的惯性系，而不是一个严格的惯性系，因为地球有自转角速度： 由于地球的自转，地球上的物体有法向加速度。 2、地心参考系 地心参考系相对地面参考系严格些，地球绕太阳公转的角速度：

3、日心参考系 4、FK4参考系 日心参考系相对地心参考系更严格些，但太阳还绕银河中心旋转：

4、问题： （1）在运动学中，参考系是否可以任意选取？ （可以） （2）应用牛顿定律研究动力学问题时，参考系是否可以任意选取？ （不可以） （3）平衡力与作用力和反作用力有何不同？ （平衡力是作用在同一物体上的两个力，而作用力和反作用力是作用在两个不同的物体上。）

五 、 非惯性系和惯性力 m 光滑桌面 1 非惯性系 地面参考系：小球保持匀速直线运动. 车厢参考系：小球加速度为 . 定义：对某一特定物体惯性定律成立的参考系叫做惯性参考系.相对惯性系作加速运动的参考系为非惯性参考系 . 问: 此现象无法用牛顿定律说明, 应如何解决 ?

§2.1物理量的单位和量纲 1984年2月27日，我国国务院颁布实行以国际单位制（SI）为基础的法定单位制 . 物理量 单位名称 符号 长度 米 质量 千克 时间 秒 力学的 基本单位 1m 是光在真空中在（1/299792458 s ）内所经过的距离 . 1s 是铯的一种同位素133 Cs 原子发出的一个特征频率光波周期的9192631770倍 . “千克标准原器” 是用铂铱合金制造的一个金属圆柱体，保存在巴黎度量衡局中 .

导出量 速率 力 功

量 纲 定义：表示一个物理量如何由基本量的组合所形成的式子 . 某一物理量 的量纲 量纲作用 1）可定出同一物理量不同单位间的换算关系 . 某一物理量 的量纲 量纲作用 1）可定出同一物理量不同单位间的换算关系 . 2）量纲可检验文字结果的正误 .

§2.3 几种常见力 “从运动的现象去研究自然界中的力，然后从这些力去说明其他现象”. 牛顿定律是以力的概念为核心的. 一 万有引力 §2.3 几种常见力 “从运动的现象去研究自然界中的力，然后从这些力去说明其他现象”. 牛顿定律是以力的概念为核心的. 一 万有引力 物体间的万有引力： 万有引力常数： 万有引力定律适用于两个质点. 重力: 地球对地面附近物体的万有引力.

二 弹性力:（压力、支持力、张力、弹簧弹性力等） 物体在受力形变时,有恢复原状的趋势, 这种抵抗外力, 力图恢复原状的的力就是弹性力. 在弹性限度内弹性力遵从胡克定律 P 绳静止时 绳加速时 若线密度 绳各处张力相等.

三 摩擦力 当相互接触的物体作相对运动或有相对运动的趋势时, 它们中间所产生的阻碍相对运动的力称为摩擦力. 湿摩擦: 液体内部或液体和固体表面的摩擦. 干摩擦: 固体表面之间的摩擦. （滑动摩擦、静摩擦、滚动摩擦） 接触面间正压力 滑动摩擦力 静摩擦力 最大静摩擦 一般情况 滑动摩擦系数 静摩擦系数

摩擦在实际中的意义 害处: 消耗大量有用的能量, 使机器运转部分发热等. 减少摩擦的主要方法: 化滑动摩擦为滚动摩擦, 化干摩擦为湿摩擦. 摩擦的必要性: 人行走, 车辆启动与制动, 机器转动（皮带轮）, 弦乐器演奏等. 失重状态下悬浮在飞船舱内的宇航员, 因几乎受不到摩擦力将遇到许多问题. 若他去拧紧螺丝钉, 自己会向相反的方向旋转, 所以必须先将自己固定才行.

讨论：胖子和瘦子拔河,两人彼此之间施与的力是一对作用力和反作用力（绳子质量可略），大小相等，方向相反，那么他们的输赢与什么有关？ 50kg 胜负的关键在于脚下的摩擦力.

＊ ＊ 以距源 处强相互作用的力强度为 1 四种基本相互作用 力的种类 相互作用的粒子 力的强度 力程 万有引力 一切质点 无限远 弱力 大多数粒子 小于 电磁力 电荷 强力 核子、介子等 ＊ ＊ 以距源 处强相互作用的力强度为 1

温伯格 萨拉姆 格拉肖 弱相互作用 电磁相互作用 电弱相互 作用理论 三人于1979年荣获诺贝尔物理学奖 . 鲁比亚, 范德米尔实验证明电弱相互作用， 1984年获诺贝尔奖 . 电弱相互作用 强相互作用 万有引力作用 “大统一”（尚待实现）

一端系质量为M的物体, 另一端施加一水平拉力F。 求 (1) 细绳作用于物体上的力, (2) 绳上各处的张力。 例1:光滑桌上有一均匀细绳, 质量m、长度 l, 一端系质量为M的物体, 另一端施加一水平拉力F。 求 (1) 细绳作用于物体上的力, (2) 绳上各处的张力。 解: (1) 根据题意, 取物体和绳子为隔离体,分析其 受力情况并画出受力图： T0 =  T0，作用力和反作用力 ；绳子不可伸长, 物体的加速度a 必定等于绳子的加速度a 。 N T0 F a  mg Ns a M T0 Mg 25

y x 物体和绳子的加速度为 绳作用于物体拉力为 建立坐标系, 取绳子与物体的接触点为坐标原点O, x轴沿绳子水平向右, y轴竖直向上。在x方向和y方向分别列出物体和绳子的运动方程 O x y x方向：T0=Ma , FT0=ma y方向：NMg=0 , Nsmg=0 物体和绳子的加速度为 绳作用于物体拉力为 一般物体所受绳子的拉力T0 总小于外力F, 只有当绳子的质量 可以忽略时, 它们才近似相等。

x方向上： (2) 在 x 处取绳元 dx (质量dm)作为隔离体, 分析受力， 列运动方程 x y dm y方向上： x x+dx O x y dm x方向上： y方向上： x x+dx 将 和 代入得 a dNs T T+dT dmg 27

解: 取坐标如图, 取一小段绕圆柱上的绳 ds. 两端的张力 ， 圆柱对 的摩擦力 圆柱对 的支持力 例2 如图绳索绕圆柱上，绳绕圆柱张角为 ，绳与圆柱间的静摩擦因数为 ， 求绳处于滑动边缘时 , 绳两端的张力 和 间关系 .（绳的质量忽略） 解: 取坐标如图, 取一小段绕圆柱上的绳 ds. 两端的张力 ， 圆柱对 的摩擦力 圆柱对 的支持力

若 0.46 0.21 0.00039

重的船在下水，它正沿着坡度为1：20的轨道下滑，万一由于 某种意外紧急原因，需要制止船在轨道上运动，单凭体力是没 有可能阻止船下滑的。 设有2000 重的船在下水，它正沿着坡度为1：20的轨道下滑，万一由于 某种意外紧急原因，需要制止船在轨道上运动，单凭体力是没 有可能阻止船下滑的。

§2.4 牛顿运动定律的应用 一、牛顿运动定律的适用范围 二、应用牛顿定律求解质点动力学问题的一般步骤 §2.4 牛顿运动定律的应用 一、牛顿运动定律的适用范围 1、牛顿力学只适用于在惯性系内，解决低速运动问题 （何谓高速？ ） （ 可与光速相比， 相对论） 2、牛顿力学只适用于宏观问题 （何谓微观？） （ 分子、原子、电子、原子核等，量子力学） 二、应用牛顿定律求解质点动力学问题的一般步骤 1、选取研究对象（学会用隔离体法） 2、分析受力情况画出受力图（找出全部力） 3、选取坐标系 4、列方程求解 5、讨论

动力学两类问题 二、 已知 求 质量为 的 质点运动学方程 m r ( ) t 所受合外力 a 求导 2 a t r 质量为 的 m 牛顿运动定律将质点运动规律进一步与力联系起来， 属动力学问题。质点动力学中也有两类基本问题 已知 求 质量为 的 质点运动学方程 m r ( ) t 所受合外力 F a 第一类 求导 2 a d t r 一般方法 质量为 的 m 质点受力情况 及初始条件 质点的运动规律 v ( ) r 等 t , 或 第二类 积分 按具体情况 分离变量求积 已知 或 及 t 时的 r 和 v F ( a 例如 v ( r 求 m d t v F ( 求得 v ( t d r

例3 如图长为 的轻绳，一端系质量为 的小球,另一端系于定点 ， 时小球位于最低位置，并具有水平速度 ，求小球在任意位置的速率及绳的张力. 解

例4 如图所示（圆锥摆），长为 的细绳一端固定在天花板上，另一端悬挂质量为 的小球，小球经推动后，在水平面内绕通过圆心 O 的铅直轴作角速度为 的匀速率圆周运动 . 问绳和铅直方向所成的角度 为多少？空气阻力不计. 解:

越大， 也越大 利用此原理，可制成蒸汽机的调速器（如图所示）.

例 5 一质量m ,半径 r 的球体在水中静止释放沉入水底.已知阻力Fr = -6πrηv,η为粘滞系数, 求 v(t) . 解 取坐标如图 为浮力 令

（极限速度） 当 时 一般认为

例6 高台跳水游泳池的深度. 为保证跳水运动员从10m 高台跳入游泳池中的安全 , 规范要求水深必须在4. 50 ~ 5. 50m 之间 解：1）运动员自由落体入水，速度 2） 设所受阻力： 水中安全速度 ；人体质量 .

已知： 令: 入水后 y 由 得

已知： 解：

随堂练习一 三、 四、 解法 提要 已知 平面上运动 运动规律 质点质量 m y x t A w sin cos 为常数 练习一 在 x a 常用的分析方法与步骤 定对象 看运动 查受力 列方程 四、 随堂练习 解法 提要 已知 平面上运动 运动规律 质点质量 m X Y y x B t A w sin cos 为常数 练习一 在 x a 2 d t ( ) A w sin y cos B m x a A t w sin 2 y F B cos 求 作用于质点的力 F ( r ) x F y i j + ( m w 2 t sin A cos B r

续练习一 已知 平面上运动 运动规律 质点质量 m y x t A w sin cos 为常数 练习一 在 三、 四、 a 2 ( ) 求 B t A w sin cos 为常数 练习一 在 三、 常用的分析方法与步骤 定对象 看运动 查受力 列方程 四、 随堂练习 a 2 d ( ) F 求 作用于质点的力 r 解法 提要 i j + 续练习一 F x i + 结果图示 y j ) ( m w 2 A t cos B sin r X Y O B A m w 匀角速椭圆运动 r F F 恒与 r 反向

停机后船沿X正向运动，阻力与船速方向相反。 随堂练习二 练习二 m v X 已知 停机时船速 ， 阻力 k F r 问 船还能走多远？ 停机后船沿X正向运动，阻力与船速方向相反。 关键是要找到船速 与位置 的关系， v x 即 从 时 止 解法 提要 x d t m v F r k x 止 v X m k x d m v k 得 止

行进中的电气列车，每千克受阻力 与车速 的关系为 行进中的电气列车，每千克受阻力 与车速 的关系为 F X v 已知 ( ) + 1 2 5 N 当车速达 25 m/s 时 运行多远，车速减至 10 m/s 求 关电门， 练习三 随堂练习三 解法 提要 m dv dt 设 列车质量为 F 总 则总阻力 单位质量受总阻力 ( ) + v 1 2 5 t v = 25 m/s ； 关电门时 x = 0， v = 10 m/s 时 x = ？ ， 需要将速度是时间的函数转换成速度是坐标的函数去求解 d ( 0. 5 v ) 2 dx dv dt v d (2. 5 + 0. 5 v ) 即 ( ) + v 1 2 5 d (2. 5 + 0. 5 v ) dx x 25 10 积分得 x 102×ln(2.5+0.5v2) 179 (m)

随堂练习四 某电车启动过程 牵引力 t m 启动时间 及 均为常数 时 v x 求 ( ) , 练习四 t 由 m v 有 2 解法 提要 F m 启动时间 及 均为常数 时 v x 求 ( ) , 练习四 随堂练习四 d t F 由 m v 有 2 解法 提要 x v d t F m 2 6 3 F t m 2 x 6 v

随堂小议 系中，若物体 受到的合外力 为零，则物体 （1）一定处于静 止状态，因为其加 随堂小议 速度为零； （2）不一定处于 在惯性参考 系中，若物体 受到的合外力 为零，则物体 随堂小议 （请点击你要选择的项目） （1）一定处于静 止状态，因为其加 速度为零； 结束选择 （2）不一定处于 静止状态，因为加 速度为零只说明其 速度不变。

选项1链接答案 系中，若物体 受到的合外力 为零，则物体 （1）一定处于静 止状态，因为其加 随堂小议 速度为零； （2）不一定处于 在惯性参考 系中，若物体 受到的合外力 为零，则物体 随堂小议 （请点击你要选择的项目） 选项1链接答案 （1）一定处于静 止状态，因为其加 速度为零； 结束选择 （2）不一定处于 静止状态，因为加 速度为零只说明其 速度不变。

选项2链接答案 系中，若物体 受到的合外力 为零，则物体 （1）一定处于静 止状态，因为其加 随堂小议 速度为零； （2）不一定处于 在惯性参考 系中，若物体 受到的合外力 为零，则物体 随堂小议 （请点击你要选择的项目） 选项2链接答案 （1）一定处于静 止状态，因为其加 速度为零； 结束选择 （2）不一定处于 静止状态，因为加 速度为零只说明其 速度不变。

例 质量为 m 的物体自空中落下，它除受重力外，还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用。比例系数为 k ， k 为正常数。该下落物体的收尾速度(即最后物体做匀速直线的速度)将是： [ A ]

例：在倾角为 的固定光滑的斜面上，放一质量为 的小球，球被竖直的木板挡住，当竖直木板被迅速拿开的瞬间，小球获得的加速度 （A） （B） （C） （D）

（A）θ=π/2 （B）θ=arccos(g/Rω2) （C）θ=arctg(Rω2/g) （D）需由小珠质量决定 解：对小环受力分析，有： R 从以上二式可得到：

三、矢量性、瞬时性问题 例题2-1一重物m用绳子悬起，绳子的另一端系在天花板上，绳长l=0.5m, 重物经推动后，在一水平面内作匀速率圆周运动，转速 n = 1 r/s, 求这时绳和竖直方向所成的角度。 解：分别在x、y方向应用牛II定律 在竖直方向： 在水平方向： 由(1)、(2)得： 向心加速度： 由(4)和(3)得：

例2-2：质量为m的小球，在水中受的浮力为常力F，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f=kv(k为常数），证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间t的关系为 mg a x 式中t为从沉降开始计算的时间  证明：取坐标，作受力图。 根据牛顿第二定律，有

初始条件：t=0 时 v=0

变力问题 例题2-3： 有一密度为 的细棒，长度为l, 其上端用细线悬着，下端紧贴着密度为 的液体表面，现将悬线剪断，求细棒在恰好全部没入液体中时的沉降速度，设液体没有粘性。 解：浮力B是个变力： 细棒的重力： 棒所受合外力： 由牛顿第二定律： 利用： 则上式为： 积分： 得：

例题2-4：摩托快艇以速率v0行驶，它受到的阻力与速度平方成正比，F = - k v2 ,设快艇质量为m ，求关闭发动机后， （1）速度对时间的变化规律， （2）路程对时间的变化规律， （3）证明速度与路程之间有如下关系：

解：（1）由牛II定律 当 t = 0 时 v = v0 两边积分 即：

（2）由速度定义 当 t = 0 时 x = 0 两边积分

（3）由牛II定律 即： 积分： 得： （证毕）

练习2-5 质量为 的质点，在力 的作用下，沿 方向作直线运动，在 时，质点位于 处，其速度为 ，求质点在任意时刻 解 由牛顿第二定律 练习2-5  质量为 的质点，在力 的作用下，沿 方向作直线运动，在 时，质点位于 处，其速度为 ，求质点在任意时刻 的位置。 解  由牛顿第二定律

ò 例6 质量 ，长为 的匀质链条，一部分置与桌面，另一部分下垂，下垂长度为b， 开始时系统静止，如图所示，链条由静止开始运动，已知链条 例6  质量 ，长为 的匀质链条，一部分置与桌面，另一部分下垂，下垂长度为b， 开始时系统静止，如图所示，链条由静止开始运动，已知链条 与桌面间的滑动摩擦因数为 , 求链条在滑离桌面时的速度大小。 解  取图示坐标系 轴竖直向下 在桌面上链条受重力 支持力 和桌面的摩擦力 下垂链条受重力 g m y l dy v mv - + = ) 1 ( d y g l vdv v d ] ) 1 [( b m - + = ò

§2.6非惯性系中的动力学问题 牛顿定律仅适用于惯性系。 例如： 为何还要在非惯性系中研究问题呢？ 理由： 如： 静止 静止 静止 m m 光滑 静止 静止 m 光滑 a a a （对S ） S S S ： 牛顿定律成立 S ：牛顿定律不成立 为何还要在非惯性系中研究问题呢？ 理由： ▲有些问题需要在非惯性系中研究， 如： （赤道） 地面参考系， 地球自转加速度 地心参考系， 地球绕太阳公转加速度 太阳参考系， 太阳绕银河系转加速度 ▲有些问题在非惯性系中研究较为方便。

· 一. 平动非惯性系中的惯性力 S ： S′ ： 故 修改牛顿第二定律，使之于适用平动非惯性系： 由 得 定义惯性力— — 非惯性系中的 m F a 惯性系 S′ ： a a0 a0 故 修改牛顿第二定律，使之于适用平动非惯性系： 由 得 定义惯性力— 则有 — 非惯性系中的 牛顿第二定律

二.匀速转动非惯性系中的惯性力 设 S＇系相对惯性系 S 匀速转动。 1. 物体 m 在 S＇中静止 S： ω r S′ 即： m o ： fS ● o S： 即： S＇ ： 令 则 ─ 惯性离心力 中向心力与惯性离心力平衡， m 静止。

力的时间累积作用——动量定理 力的空间累积作用——动能定理 上面介绍的是牛顿第二定律的微分形式，它是力与加速度的瞬时关系，用起来有时不够方便，经常是要通过积分才能求得最终结果，为使牛顿运动定律应用起来更方便，下面介绍两种牛顿第二定律的积分形式 力的时间累积作用——动量定理 力的空间累积作用——动能定理

第二章完