Chapter 4 導數的應用

4.1 遞增與遞減函數 4.2 極值與一階導數檢定法 4.3 凹性與二階導數檢定法 4.4 最佳化問題 4.5 商業與經濟學的應用 4.1　遞增與遞減函數 4.2　極值與一階導數檢定法 4.3　凹性與二階導數檢定法 4.4　最佳化問題 4.5　商業與經濟學的應用 4.6　漸近線 4.7　總結：曲線繪圖 4.8　微分量與邊際分析 第四章　導數的應用 P.4-1

4.1 遞增與遞減函數 學習目標 函數為遞增與遞減的檢定法。 求函數的臨界數，與此函數為遞增或遞減的開區間。 利用遞增與遞減的函數作為現實生活的模型並解之。 第四章　導數的應用 P.4-2

遞增與遞減函數 當變數 x 右移時，函數的圖形走勢往上移，則此函數是遞增(increasing)；當變數 x 右移，圖形走勢往下移，則此函數是遞減(decreasing)，以下為正式的定義。 第四章　導數的應用 P.4-2

遞增與遞減函數 圖 4.1 的函數 f 在區間 (－, a)是遞減，在 (a, b) 為常數，在(b, )是遞增。事實上，根據遞增與遞減函數的定義，在圖 4.1 中，函數 f 在區間 (－ , a] 為遞減，在 [b, ) 為遞增。但是，本文只討論如何找出函數是遞增或遞減的開區間。 第四章　導數的應用 P.4-2

遞增與遞減函數 第四章　導數的應用 P.4-2 圖4.1

遞增與遞減函數 函數的導數可用來決定函數在區間是否為遞增或遞減。 第四章　導數的應用 P.4-2

學習提示 即使在區間 (a, b) 上仍然有非無窮多個 x 值使得f (x) ＝ 0，但此檢定法之前兩個結論依舊是正確的。 第四章　導數的應用 P.4-2

範例 1 判斷函數遞增或是遞減 證明函數 f(x) ＝ x2 在開區間 (－, 0) 為遞減，在開區間 (0, ) 為遞增。 範例 1　判斷函數遞增或是遞減 證明函數 f(x) ＝ x2 在開區間 (－, 0) 為遞減，在開區間 (0, ) 為遞增。 第四章　導數的應用 P.4-3

範例 1 判斷函數遞增或是遞減 （解） f 的導數為 f (x) ＝ 2x 範例 1　判斷函數遞增或是遞減 （解） f 的導數為 f (x) ＝ 2x 在開區間 (－, 0) 上，因為 x 值為負，則 f (x) ＝ 2x 也為負值。 因此，根據遞減的檢定，可以說 f 在此區間為遞減。同理，在開區間(0, )上，因為 x 值為正，則 f (x) ＝ 2x 也為正值。 因此 f 在此區間為遞增，如圖 4.2 所示。 第四章　導數的應用 P.4-3

範例 1　判斷函數遞增或是遞減 （解） 第四章　導數的應用 P.4-3 圖4.2

檢查站 1 證明函數 f(x) ＝ x4 在開區間 (－, 0) 為遞減，在開區間 (0, ) 為遞增。 第四章　導數的應用 P.4-3

範例 2 消費量的模型 美國在 2000 到 2008 年全脂牛奶的消費量 M (每人的加侖數) 可描述為 範例 2　消費量的模型 美國在 2000 到 2008 年全脂牛奶的消費量 M (每人的加侖數) 可描述為 M ＝ －0.015t2 ＋ 0.13t ＋ 8.0,　0 ≤ t ≤ 8 其中 t ＝ 0 代表 2000 年 (見圖 4.3)，證明全脂牛奶的消費量在2000 到 2008 年是遞減。(資料來源：美國農業部) 第四章　導數的應用 P.4-3

範例 2　消費量的模型 （解） 第四章　導數的應用 P.4-3 圖4.3

範例 2　消費量的模型 （解） 模型的導數為 dM/dt ＝ －0.030t ＋ 0.13，在 (0, 8) 開區間上，導數值為負，因此函數為遞減；顯示全脂牛奶的消費量在此段時間是遞減。 第四章　導數的應用 P.4-3

檢查站 2 美國從 2003 到 2008 年的新鮮水果消耗量(每人每英鎊計) 可表示為 F ＝ －0.7674t2 ＋ 2.872t ＋ 277.87, 3 ≤ t ≤ 8 其中 t ＝ 3 代表 2003 年。試說明從 2003 到2008 年的新鮮水果消耗量是遞減的。(資料來源：美國農業部) 第四章　導數的應用 P.4-3

臨界數與其用法 範例 1 提到的兩個區間，函數在其中一區間是遞減，在另一區間則是遞增。若要檢定這樣的區間，可利用以下的事實，對連續函數來說， f  (x) 只有在使 f (x) ＝ 0 或 f (x) 不存在的 x 值時才會改變符號，如圖 4.4 所示。這兩類的實數值稱為 f 的臨界數 (critical numbers)。 第四章　導數的應用 P.4-4

臨界數與其用法 第四章　導數的應用 P.4-4 圖4.4

學習提示 此定義要求臨界數須在函數的定義域上。以 f (x) ＝ 1/x 為例，x ＝ 0 並不是臨界數。 第四章　導數的應用 P.4-4

範例3 求臨界數 求函數 f (x) ＝ 2x3 － 9x2 的臨界數。 第四章　導數的應用 P.4-4

範例3 求臨界數（解） 首先對函數微分 f (x) ＝ 2x3 － 9x2 寫出原式 f ′(x) ＝ 6x2 － 18x 微分 範例3 求臨界數（解） 首先對函數微分 f (x) ＝ 2x3 － 9x2 寫出原式 　　　 f ′(x) ＝ 6x2 － 18x 微分 為了要求 f 的臨界值，必先找出所有使得 f ′(x) ＝ 0 與 f ′(x) 不存在的 x 值。 　6x3 － 18x＝ 0 　令f′ (x)等於 0 　6x (x－3) ＝ 0 　因式分解 　 x ＝ 0, x ＝ 3 臨界數 第四章　導數的應用 P.4-4

範例3 求臨界數（解） 因為沒有 x 值使得 f ' 不存在，所以可以說 x ＝ 0 與 x ＝ 3 就是 f 的臨界數。 範例3 求臨界數（解） 因為沒有 x 值使得 f ' 不存在，所以可以說 x ＝ 0　與　x ＝ 3 就是 f 的臨界數。 第四章　導數的應用 P.4-4

檢查站3 求函數 f (x) ＝ x2 － x 的臨界數。 第四章　導數的應用 P.4-4

臨界數與其用法 要檢定函數遞增或遞減的區間，可以使用以下的準則。 第四章　導數的應用 P.4-5

範例 4　求遞增與遞減的區間 求函數 為遞增或遞減的開區間。 第四章　導數的應用 P.4-5

範例 4 求遞增與遞減的區間 （解） 首先計算 f 的導數，然後令導數為零，再解出臨界數。 f (x) = 3x2 － 3x 對原函數微分 範例 4　求遞增與遞減的區間 （解） 首先計算 f 的導數，然後令導數為零，再解出臨界數。 f (x) = 3x2 － 3x 對原函數微分 3x2 － 3x = 0 令導數為 0 3x(x －1) = 0 因式分解 x = 0, x = 1 臨界數 因為 f 在每個 x 值都有定義，所以只有 x ＝ 0 與 x ＝ 1 為臨界數。因此，需要判斷的區間為 (－, 0)、(0, 1) 和 (1, )。 第四章　導數的應用 P.4-5

範例 4 求遞增與遞減的區間 （解） 下表列出這三個區間的檢定結果。 範例 4　求遞增與遞減的區間 （解） 下表列出這三個區間的檢定結果。 函數 f 的圖形如圖 4.5 所示。注意，區間的檢定值是基於計算方便而選取；當然別的 x 值也行。 第四章　導數的應用 P.4-5

範例 4　求遞增與遞減的區間 （解） 第四章　導數的應用 P.4-5 圖4.5

檢查站 4 求函數 f(x) ＝ x3 － 12x 為遞增或遞減的開區間。 第四章　導數的應用 P.4-5

臨界數與其用法 範例 4 的函數在整個實數線上不僅是連續而且可微分，這樣的函數的臨界數只發生在 f (x) ＝ 0 之處。下個例子中的函數 f 同時有兩類的臨界數；一種是 f (x) ＝ 0，另一種是 f (x)不存在。 第四章　導數的應用 P.4-5

代數技巧 範例 5 的計算過程可參考本章代數複習範例 2 (d)。 第四章　導數的應用 P.4-5

範例 5　求遞增與遞減的區間 求函數 f(x) ＝ (x2－4)2/3 為遞增或遞減的開區間。 第四章　導數的應用 P.4-5

範例 5 求遞增與遞減的區間 （解） 首先計算函數的導數。 由上式可知，當 x ＝ 0 時導數為零；當 x ＝ ±2 時，導數不存在。 範例 5　求遞增與遞減的區間 （解） 首先計算函數的導數。 由上式可知，當 x ＝ 0 時導數為零；當 x ＝ ±2 時，導數不存在。 第四章　導數的應用 P.4-6

範例 5 求遞增與遞減的區間 （解） 所以，臨界數為 x ＝ －2, x ＝ 0 及 x ＝ 2 臨界數 這表示須檢定的區間為 範例 5　求遞增與遞減的區間 （解） 所以，臨界數為 x ＝ －2,　x ＝ 0 及 x ＝ 2 臨界數 這表示須檢定的區間為 (－, －2),　(－2, 0),　(0, 2) 及 (2, ) 檢定的區間 第四章　導數的應用 P.4-6

範例 5　求遞增與遞減的區間 （解） 下表列出檢定四個區間的檢定結果，函數圖形見圖 4.6。 第四章　導數的應用 P.4-6

範例 5　求遞增與遞減的區間 （解） 第四章　導數的應用 P.4-6 圖4.6

檢查站 5 求函數 f(x) ＝ x2/3 為遞增或遞減的開區間。 第四章　導數的應用 P.4-6

學習提示 在檢定上面表格中的區間時，並不一定要算出檢定值的 f (x)正確值，只要知道它的正負性即可，譬如 f (－3) 的正負性可如下決定： 第四章　導數的應用 P.4-6

臨界數與其用法 範例 1 到 5 的函數在整個實數線上皆為連續。若函數有不連續的孤立點，則這些 x 值應與臨界數一起來做區間檢定。 第四章　導數的應用 P.4-6

範例 6　檢定不連續函數 函數 在 x ＝ 0 是不連續的。另外，f 的導數 第四章　導數的應用 P.4-6

範例 6 檢定不連續函數 在 x ＝ ±1 時其值為零，所以要用下列的 x 值做區間檢定。 x ＝ －1, x ＝ 1 臨界數 範例 6　檢定不連續函數 在 x ＝ ±1 時其值為零，所以要用下列的 x 值做區間檢定。 x ＝ －1, x ＝ 1 臨界數 x ＝ 0 中斷點 判斷 f (x) 的正負性後可知，函數在區間 (－ , －1) 和 (0, 1)為遞減，在區間 (－1, 0) 和 (1, ) 為遞增，如圖 4.7 所示。 第四章　導數的應用 P.4-6~4-7

範例 6　檢定不連續函數 第四章　導數的應用 P.4-7 圖4.7

檢查站 6 求函數　　　　　　為遞增或遞減的開區間。 第四章　導數的應用 P.4-7

臨界數與其用法 然而遞增與遞減函數檢定法的逆命題並不為真。譬如，函數的導數值在某區間未必都大於零，但是此函數仍有可能在該區間為遞增。 第四章　導數的應用 P.4-7

範例 7　遞增函數的檢定 證明 f(x) ＝ x3 － 3x2 ＋ 3x 在整個實數線上為遞增。 第四章　導數的應用 P.4-7

範例 7 遞增函數的檢定 （解） 由 f 的導數 f (x)＝3x2 － 6x ＋ 3 ＝ 3(x － 1)2 範例 7　遞增函數的檢定 （解） 由 f 的導數 f (x)＝3x2 － 6x ＋ 3 ＝ 3(x － 1)2 求得 x ＝ 1 為唯一的臨界數，則檢定區間為 (－, 1) 和 (1, )。下表列出這兩個區間的計算值。由圖 4.8 可知，即使 f (1) ＝0，函數 f在整個實數線上為遞增。不信的話，可回頭看看遞增函數的定義。 第四章　導數的應用 P.4-7

範例 7　遞增函數的檢定 （解） 第四章　導數的應用 P.4-7

範例 7　遞增函數的檢定 （解） 第四章　導數的應用 P.4-7 圖4.8

檢查站 7 證明 f(x) ＝ －x3 ＋ 2 在整個實數線上為遞減。 第四章　導數的應用 P.4-7

應用 範例 8 利潤分析 某全國性玩具經銷商對其中一種電玩遊戲之成本與收入的模型描述如下： 應用　範例 8　利潤分析 某全國性玩具經銷商對其中一種電玩遊戲之成本與收入的模型描述如下： C = 2.4x － 0.0002x2, 0 ≤ x ≤ 6000 R = 7.2x － 0.001x2, 0 ≤ x ≤ 6000 試求利潤函數為遞增的區間。 第四章　導數的應用 P.4-7

範例 8 利潤分析 （解） 生產 x 個電玩遊戲的利潤為 P = R － C 範例 8　利潤分析 （解） 生產 x 個電玩遊戲的利潤為 P = R － C = (7.2x － 0.001x2) － (2.4x － 0.0002x2) = 4.8x － 0.0008x2 要找出利潤為遞增的區間，令邊際利潤 P等於零，再解出 x。 第四章　導數的應用 P.4-8

範例 8　利潤分析 （解） 在區間 (0, 3000)， P 值為正，因此利潤為遞增。在區間 (3000, 6000)， P 值為負，因此利潤為遞減。成本、收入與利潤函數的圖形如圖 4.9所示。 第四章　導數的應用 P.4-8

範例 8　利潤分析 （解） 第四章　導數的應用 P.4-8 圖4.9

檢查站 8 某全國性寵物玩具經銷商對其中一種玩具之成本與收入的模型描述如下： C ＝ 1.2x － 0.0001x2,　0 ≤ x ≤ 6000 R ＝ 3.6x － 0.0005x2,　0 ≤ x ≤ 6000 試求利潤函數為遞增的區間。 第四章　導數的應用 P.4-8

總結（4.1節） 寫出函數為遞增與遞減的檢定法，參考範例 1。 寫出臨界數的定義，參考範例 3。 寫出遞增或遞減函數檢定法的準則，譬如求函數為遞增或遞減的開區間，參考範例 4、5 及 7。 描述如何在現實生活的實例，利用遞增與遞減的函數來分析公司的利潤 (範例 8) 。 第四章　導數的應用 P.4-8