正數與負數 數線 數的大小 相反數 絕對值 自我評量

氣象預報指出，合歡山週末氣溫為－4°C∼－2°C，其中「－」號表示溫度「低於零度」，因此週末合歡山的最低氣溫與最高氣溫介於攝氏零下 4 度與攝氏零下 2 度之間。

在日常生活中，有一些彼此相對的量，可以用「＋」（讀作正） 號與 「－」（讀作負）號來表示。 例如：以攝氏 0 度為基準，高於攝氏 0 度為正，低於攝氏 0 度為負。如果玉山氣溫為攝氏零下 3 度，可記為－3 °C；如果日月潭氣溫為攝氏 23 度，可記為＋23 °C，通常省略 「＋」 號，直接記為 23 °C。 －3°C

其他例如：賺錢與賠錢、成績進步與退步、上升與下降等，也可以用「＋」與「－」來表示。

相對的量 1.以海平面為基準點，如果海平面上方 5 公尺記為＋5公尺，則海平面下方 3 公尺該如何表示？ 2.以目前的氣溫為基準點，如果氣溫下降 20 ℃ 記為－20 ℃，則氣溫上升15 ℃ 該如何表示？ 1.海平面下方 3 公尺可記為－3 公尺。 2.氣溫上升 15 ℃ 可記為＋15 ℃。

－2 +6 1.賺錢與賠錢是相對的，如果金鋒貿易公司去年賺錢3千萬元，記為＋3 千萬元，那麼今年賠錢2千萬元，可記為_____千萬元。 2.東方與西方是相對的，小新以車站為基準 點，如果向西走 8 公里記為－8 公里，那麼小新向東走 6 公里可記為_____公里。 －2 +6

在前面的敘述中，＋23、＋5、＋15 等數稱為正數，－2、－3、－20 等數稱為負數。 當「＋」、「－」表示「加」、「減」運算時，稱為運算符號。 此時「＋」、「－」是用來表示「正」、「負」的特性，稱為性質符號。

性質符號相同的兩數稱為同號數， 例如：＋5 與＋23 是同號數、－2 與－4 是同號數。 性質符號相異的兩數稱為異號數， 例如：＋5 與－3 是異號數、－4 與＋15 是異號數。

判別下列各小題中的兩數是同號數或異號數，並且在適當的空格內打 ： □同號數 □異號數  (1) ＋7 和－2   (2)－15 和－9

前頁所提到的＋23、＋5、＋15 等，都是正整數，也稱為自然數；－2、－3、－20 等，都是負整數；0 不是正整數，也不是負整數。 正整數、0、負整數合稱為整數。 【 整數 】 ⋯⋯、－3、－2、－1、0、1、2、3、⋯⋯ 整數 零 正整數 (自然數) 負整數

比 0 大的數稱為正數，例如： ，0.7，1，2，3.4，5 ，8.25，⋯⋯，都是正數。 比 0 小的數稱為負數，例如：－ ， －0.7，－1，－2，－3.4，－5 ，－8.25，⋯⋯，都是負數。

如下圖，將溫度計橫放，使大於 0 度的溫度刻度都在 0 的右邊，則此時所有小於 0 度的溫度刻度都在 0 的左邊，如圖 1-1。

圖 1-1 國小時學過，以 0 為起點，將所有正數標示在向右延伸的數線上。圖1-1 的溫度計，很像把數線向左延伸，再將所有負數標示在向左延伸的數線上。

數線畫法的四步驟： 步驟 1： 畫一條水平直線，並在直線上任 取一點 O 作為基準點，稱為原點。 原點代表的數是 0。（在 O 點下方標示 0） 步驟 2：在直線的右邊標上箭頭表示正向， 反方向為負向。 步驟 3：選取適當的固定長度，當成 1 個 單位，稱為單位長。以原點 O 為起點，往右邊每隔 1 個單位長畫一刻度，依序標示 1、2、3、4、⋯⋯。

步驟 4： 再由原點 O 為起點，往左邊每隔 1 個單位長畫一刻度，依序標示－1、－2、－3、－4、⋯⋯。 【數線】 數線的三要素：1.原點 2.正向（箭頭） 3.單位長

依照數線畫法的步驟，畫出一條數線，並且標示出表示 3 和－7 的點。

數線上的坐標： 學會數線的畫法後，可以利用數線上的點來代表數，原點所代表的數是 0， 原點往右邊所有的點代表的數都是正數， 原點往左邊所有的點代表的數都是負數。

例如：圖 1-2 中， 原點右邊 3 個單位長的 A 點代表的數是 3，稱 A 點坐標是 3，記為 A（3）； 原點左邊 7 個單位長的 B 點代表的數是－7，稱 B 點坐標是－7，記為 B（－7）。 圖 1-2

【 坐標記法 】 如果數線上 A 點所代表的數是 a，則 A 點的坐標是 a，記作 A（a）。 數線上，除了能標示出代表整數的點，也可以標示出代表分數或小數的點。

圖 1-3 如圖 1-3，A 點在原點右邊 個單位長的位置，所以 A 點的坐標為 ，記為 A （ ）；而 B 點在原點左邊 2.7 個單位長的位置，所以 B 點的坐標為－2.7，記為B（－2.7）。

寫出數線上點的坐標 寫出數線上 A、B 兩點的坐標。 A 點在原點左邊 4 個單位長的位置， 所以 A 點的坐標是－4，記為 A（－4）。 B 點在原點右邊 個單位長的位置， 所以 B 點的坐標為 ，記為B（ ）。

寫出數線上各點的坐標： 1 －6 O（____）、A（____ ）、B（____ ）

由前面的學習可知，數線上每一個「點」都代表一個「數」 ；反過來說，每一個「數」在數線上都可以找到一個代表這個數的「點」。例如：圖 1-4 中， －3 表示「在原點左邊 3 個單位長」的 A 點；1.4 表示「在原點右邊 1.4 個單位長」的 B 點。 圖 1-4

標示數線上點的位置 在數線上標示出 A（ ）、B（－1.7）兩點。 (1)因為 A（ ）表示 A 點在原點右邊 個單位長的位置， 所以將數線上 0 到 1 之間的長度分成 4 等分， 則自原點往右邊的第 1 個等分點即為 A（ ）。

(2)因為B（－1.7）表示 B 點在原點左邊 1.7 個單位長的位置， 所以將數線上－1 到－2 之間的長度分成 10 等分， 則自－1 往左邊的第 7 個等分點即為 B（－1.7）。

在數線上標示出 C （－ ）、D （0.3）兩點。

數的比較大小 國小時知道 5 與 3 的大小關係為 5＞3。將此兩數標示在數線上，可以發現 5 在 3 的右邊，如圖 1-5。 圖 1-5

在數線上，以 0 為基準，「在 0 右邊是比 0 大的數」，「在 0 左邊是比 0 小的數」，如果將比 0 大 5 的數記為＋5 ，則比 0 小 5 的數可記為－5 ，因此可知5＞－5，而且在數線上，5 在－5 的右邊，如圖 1-5。 圖 1-5

－3 是比 0 小 3 的數，－5 是比 0 小 5 的數，因此可知－3＞－5。在數線上， －3 在 －5 的右邊，如圖 1-5。

1 －1 【數的比較】 1.數線上愈右邊的點所代表的數愈大。 2.在數線上，負數皆在原點的左邊，而正數皆在原點的右邊，因此「負數＜0＜正數」。 1.最小的正整數是多少？ 2.最大的負整數是多少？ 1 －1

＞ ＜ ＝ ＞ 比較下列各數的大小關係，在空格中填入 「＞、＝或＜」 ： (1)3_____－4 (2)－7_____0 (1)3_____－4 (2)－7_____0 (3)－3.5_____－ (4)－2.7_____－3 ＝ ＞

在數線上比較數的大小 在數線上標示出 A （－3）、 B （－1.2）、 C （－ ）、 D （ ） 四點，並將各點代表的數由小到大排列。 －3＜－ ＜－1.2＜

在數線上標示出 A （－4）、 B （－1.3）、 C （ ）、 D （－ ） 四點，並將各點代表的數由小到大排列。 － ＜－4＜－1.3＜0＜

三一律 甲、乙兩位同學的身高分別為 a 公分及 b 公分，當比較兩人身高時，可能甲、乙一樣高 （a＝b），如果甲、乙不一樣高，則可能甲比乙高 （a＞b），或甲比乙矮（ a＜b），這三種情形恰好有一種會成立。 也就是說，比較 a、b 兩數的大小關係時，三種情形 a＝b、 a＞b、a＜b 恰好有一種情況會成立，這種性質稱為三一律。

任意一個數 a，可以在數線上找到一個對應的點 A （a）代表這個數，另有一個數 b，則在數線上也可以找到一個對應的點 B（ b）代表。

(1) A點與B點為同一點 (2) A 點在 B 點右邊 A＝B B A a＝b b a a＞b (3) A 點在 B 點左邊 A B a b a＜b

小恩買了一支原子筆，小明問這支筆是多少錢？小恩說：「你猜猜看？」小明說：「比 8 元貴嗎？」小恩搖搖頭。小明又說：「比 8 元便宜嗎？」小恩還是搖搖頭，則小恩買的這支原子筆是多少元？ 8元

遞移律 在國小時也曾經學過： 如果 a＝b 且 b＝c，則 a＝c； 如果 a＞b 且 b＞c，則 a＞c； 如果 a＜b 且 b＜c，則 a＜c。 上述的規則稱為遞移律。

、 ，放在天平上會有如右圖的結果。則下列哪一個狀況可表示 與 的重量關係？ 有三種形狀的積木 、 (B) (A) (B) (C)

如圖1-6，數線上，A（3）、B（－3） 兩點分別在原點的左右兩側，且與原點的距離相等（都是 3 個單位長）， 因此稱 3 與－3 互為相反數，即 3 的相反數是－3，－3 的相反數是 3，而 0 的相反數是 0。 圖1-6

在 3 的前面加上「－」號，就得到 3 的相反數－3，在－3 的前面加上「－」號，就得到－3 的相反數－（－3），由上面的說明可知－3 的相反數是 3，因此－（－3）＝3。 同理，－（－2 ）＝2 ，－（－4.3）＝4.3。 也就是說，不論 a 為正數、負數或 0，a 和－a 互為相反數。

【相反數】 1.在數線上，位於原點左右兩側且與原點距 離相等的兩個點，所代表的數互為相反 數。 2.只要將一個數的性質符號改變，就可以得 到這個數的相反數。 3. a 的相反數是－a，－a 的相反數是a，a與 －a 互為相反數。 4. 0 的相反數為 0。

寫出下列各數的相反數： －12 (1) 12 的相反數為_____。 (2) － 的相反數為____。

寫出一個數 a ，使得「－a 」為正數。 a 為負數即可，例如：a＝－3，－a＝－（－3）＝3

在數線上，一個數 a 所表示的點 A （a） 與原點的距離，稱為這個數 a 的絕對值，以符號｜a｜表示。 例如： (1) 數線上，點 A （2）與原點的距離是「2 的絕對值」，以符號｜2｜表示。因為 A (2)與原點的距離為 2，所以｜2｜＝ 2。

(2) 數線上，點 B (－2) 與原點的距離是 「－2 的絕對值」，以符號｜－2｜表示。因為 B (－2 ) 與原點的距離為 2，所以 ｜－2｜＝2。 圖 1-7 在圖 1-7 中，2 和－2 互為相反數，它們在數線上所表示的點與原點的距離都是 2 個單位長，所以｜2｜＝｜－2｜＝2。

沒有。 1.有沒有絕對值等於－4 的數？ 2 .有沒有絕對值等於 0 的數？ 有，｜0｜＝0。

【絕對值】 1.數線上，點 A （a）與原點的距離稱為 a 的絕對值，以∣a∣表示。 2.互為相反數的兩數，其絕對值相等，即∣a∣＝∣－ a∣。 3.任意數 a 的絕對值會大於或等於 0。

絕對值 分別寫出－1、3 的絕對值。 數線上，代表－1 的點與原點的距離為 1 個單位長，所以∣－1∣＝1。 數線上，代表 3 的點與原點的距離為 3 個單位長，所以∣3∣＝3。

分別寫出 4、－5 的絕對值。 4 (1)∣4∣＝_______ (2)∣－5 ∣＝______

數線上，在原點的右邊，離原點愈遠的點所代表的正數愈大，因此如果 a、b 為兩個正數，且｜a｜＞｜b｜（代表 a 的點離原點較遠），則 a＞b。 例如：｜5｜＞｜3｜，則 5＞3。

數線上，在原點的左邊，離原點愈遠的點所代表的負數愈小，因此如果a、b 為兩個負數，且｜a｜＞｜b｜（代表 a 的點離原點較遠），則 a＜b。 例如：｜－5｜＞｜－3｜，則－5＜－3。

利用絕對值比較大小 利用絕對值比較－2143 與－3021 的大小。 ∣－2143∣＝2143，∣－3021∣＝3021 －3021離 原點較遠 因為｜－2143｜＜｜－3021｜ 所以－2143＞－3021

＜ ＞ ＞ 在下列各題中，填入「＞」或「＜」的符號： (1)∣－136∣_____ ∣－291∣ (2)－136_____ －291 (3)－9645 _____－9654

某數的絕對值 如果∣甲數∣＝5，則甲數是多少？ ∣甲數∣＝5 表示在數線上，代表甲數的點與原點的距離為 5 個單位長， 所以甲數＝5 或甲數＝－5。

如果∣a∣＝3.5，則 a 是多少？ 3.5 或 －3.5

如果｜甲數｜＋｜乙數｜＝0，則甲數與乙數各是多少？ 甲數＝0 且乙數＝0

絕對值小於某數的整數點 在數線上標示出絕對值小於 6 的所有整數點。 在數線上，絕對值小於 6 的整數點有： －5、－4、－3、－2、－1、0、 1、2、3、4、5。

1.在數線上標示出絕對值為 4 的所有整數點。 2.在數線上標示出絕對值小於 4 的所有整數點。

正數與負數： (1)比 0 大的數稱為正數，比 0 小的數稱 為負數。 (2) 0 不是正數，也不是負數。 數線的基本要素： 數線的基本要素： 原點、正向（箭頭）、單位長。

數線上數的大小： 在一條水平的數線上，如果以向右為正向，則愈右邊的點所代表的數愈大，愈左邊的點所代表的數愈小。 三一律： 比較 a、b 兩數的大小關係時，a＝b、 a＞b、a＜b三種情形恰好有一種會成立。

 遞移律： a、b、c 為三個數。 (1)如果 a＝b 且 b＝c，則 a＝c。 (2)如果 a＞b 且 b＞c，則 a＞c。 (3)如果 a＜b 且 b＜c，則 a＜c。 相反數： (1)在數線上，位於原點兩側且與原點距 離相等的兩個點，所代表的數互為相 反數。

(2) a 的相反數是－a，－a 的相反數是 a， 5的相反數是－5，－9的相反數是9。 (3) 0 的相反數是 0。 絕對值： (1)一個數的絕對值，就是在數線上，代表 這個數的點與原點的距離。

(2)互為相反數的兩數，其絕對值相等， 即∣a∣＝∣－a∣。 ｜－2｜＝｜2｜＝2。 (3) a為任意數，∣a∣會大於或等於 0。

1.以海平面為基準點，海平面之上與海平面之下是相對的，如果甲地高出海平面 230 公尺記為＋230 公尺，則乙地低於海平面 3 公尺可記為_________。 －3公尺 2.贏球與輸球是相對的，如果中華棒球代表隊在2004 年奧運比賽中勝 3 場記為＋3 場，則輸2場可記為________ 。 －2場

3.寫出數線上 A、B、C、D、E、F各點的坐標。

4.在數線上標示出 A（4）、B（－1.7）、 C（ ）、D（－3）、E（－ ）、 F（－ ） 六點，並比較各點代表的數之大 小。 4＞ ＞－ ＞－1.7＞－3＞－　

2.5 －7 5.寫出下列各數的相反數： (1)－2.5 的相反數為_____。 (2) 7 的相反數為_____。 (3)－ 的相反數_____ 。 (4) 0 的相反數為_____ 。

6.將下列各數由小到大排列： － 、∣－4∣、∣5∣、－∣－6∣、3 －∣－6∣＜－ ＜ 3＜∣－4∣＜∣5∣

7.在數線上標示出絕對值等於 8 的所有整數點， 並將這些點所代表的數寫出來。 －8，8

8.在數線上標示出絕對值小於 7 的所有整數點， 並將這些點所代表的數寫出來。 －6、－5、－4、－3、－2、－1、0、1、2、3、4、5、6