动态判断与非单调推理的属性重心坐标表示模型 中国离散数学2008年会 动态判断与非单调推理的属性重心坐标表示模型

判断是形式逻辑的重要内容 判断是对思维对象有所断定的思维形式，是形式逻辑研究的重要内容，主要包括： 模态和非模态判断， 必然性和可能性判断、 简单和复杂判断、 性质判断和关系判断、 全称、特称、肯定、否定、直言、假言和选言判断等。

“判断”或“推理”？ 一方面， 肯定性判断的真值=1 否定性判断的真值=0 使人们可真值代替（肯定和否定）判断，

另一方面，有些判断可用“If…,then…”形式的产生式语句表达，例如命题： “（张三考试）90分是优秀成绩”，可表示为： “If 张三考试得90分, then 他的成绩是优秀的。” 人们忽略判断研究，并将“推理和推理规则” 的研究，成为数理逻辑的主要内容。

数理逻辑的一个基本假定 命题（判断）的真值是一成不变的。 然而，现实生活中，这个假定是有问题的。

命题真值并非是不变的 例1 命题A为“（考试）90分是优秀成绩” 按100分制，命题A的真值为“真”。

例2 命题B为“29岁是年青人”。 若采用（共青团中央的）[14，28]为标准，则B的真值为“假”。 按世界卫生组织的定义：[0，44]， 则命题B的真值为“真”。

在命题A中，因“评分制”仅有满分分别为100分和150分的2种，所以，不仅命题的真值只有两种，而且，只要将评分制从第一种转化为第二种，即可确定其真值。

对命题B，若设{[i,i]},i=0,…, n,…，是年青人的无穷个判断基准，因任一个[i,i]都可作为判断操作的规则，使人们认为这类命题的判断基准是模糊的，L.A.Zadeh提出了用模糊隶属度函数表达模糊命题判断操作的模糊逻辑理论和方法[1]。

命题A和B是表达量质转化的特称判断 因命题A和B是两个典型的特称判断， 它们的主项P是事物某属性a(u)的一个量特征x； 而谓词S是属性a(u)的某个（定性的）质特征p(u)。 将主项x作为输入，谓词p(u)作为输出， 特称判断表达的是事物属性的量——质特征转化过程。

量——质特征转化的定性映射模型 为“x是否属于[j,j]?”的问题算子，又称量—质特征转化算子， 为性质命题pj(x,o)的真值。 定义1 设a(u)是对象u的某个属性，xXR，为a(u)的某个量特征值， pi(u)Pu是属性a(u)的某个质特征或性质，={[i,i]|[i,i]是性质pi(u)的定性基准}，：X→{0,1} Pu 是从X到{0,1}Pu的映射，如果对任意xX，存在性质pi(u)Pu,及其定性基准[i,i]，使得 为“x是否属于[j,j]?”的问题算子，又称量—质特征转化算子， 为性质命题pj(x,o)的真值。

例3 医生检测血脂病的三个指标是胆固醇(TC)、甘油三脂(TG)和高密度脂蛋白胆固醇(HDL-C)，它们构成3维向量: (TC,TG,HDL-C)[TC,TC][TG,TG] [HDL-CHDL-C] DTCDTGDHDL-C,因每个 指标i=TC,TG,HDL-C，又都有j=Low, Normal,High 3种情况,所以,血脂并诊断的定性基准区间构成一个网格[,]=([ji,ji])或[,]=(N(ij,ij)):

定性基准的边界是一个将空间 X分为2部分的超平面,故可定义或诱导出一个人工神经元.

过定性基准[i,i]边界点i的(n-1)维超平面方程: 诱导出一个将空间X分为两部分的人工神经元:

定义3 一个人工神经元是平凡的,当且仅当,它的权重wij 为delta函数ij

4.定性映射与人工神经元网络的关系

5.定性映射与人工神经网络的关系 定理1 设n维超长方体[,]是n维定性映射(x,[,])的定性基准，{xi=i}和{xi=i}，i=1,…n，是[,]的2n个超平面，则由它们诱导的2n个平凡人工神经元构成的平凡人工神经元网络与定性映射(x,[,])等价。

例3 医生检测血脂病的三个指标是胆固醇(TC)、甘油三脂(TG)和高密度脂蛋白胆固醇(HDL-C)，它们构成3维向量: (TC,TG,HDL-C)[TC,TC][TG,TG] [HDL-CHDL-C] DTCDTGDHDL-C,因每个 指标i=TC,TG,HDL-C，又都有j=Low, Normal,High 3种情况,所以,血脂并诊断的定性基准区间构成一个网格[,]=([ji,ji])或[,]=(N(ij,ij)):

由此可见,定性映射将空间 X分为3n 个部分,而人工神经元却只能将空间分为两部分.

在合取运算下，任一事物u的属性集Au构成一个幺半群M(Au,)和一个基于的属性推理格L(Au,)[4]，它们有一个属性单纯形K(u)=(e0(u),…,en(u))的重心剖分复形K(m)(u)，m是剖分层次，作为其几何表示模型，其中，是u的n+1个素（或基）属性，m为剖分层次，如图1所示。也就是说，u的任一属性aj(u)均可表示为若干个素（或基）属性ei(u)，i=1,…,r,的合取，即：,而且，u各属性间基于合取的生成关系和推理关系，都可转化为相应重心坐标间的代数计算。 （注：属性单纯形的重心剖分复形K(m) (u)，又构成既包含一个线性坐标系，又包含一个重心坐标系的属性坐标系，属性坐标系中线性坐标和重心坐标可相互转化。）

以4个群公理Gi,i=1,2,3,4为顶点，可得到的“群”的属性单纯形，如图1所示，因半群S、幺半群M和群G分别由2个群公理Gi,i=1,2、3个群公理Gi,i=1,2,3和4个群公理Gi,i=1,2,3,4定义，按重心置放法，分别将S、M和G分别置放在各自相应的重心坐标点上，则得到群的属性单纯形的重心剖分复形或重心坐标K(m)(u)表示模型。 例5 在加法+运算下，光（Light）的颜色（Color）属性集C构成一个幺半群M(Clight,+)，红(Red)、绿(Green)和蓝(Blue)是幺半群M(Clight,+)的3个基属性，所有颜色属性之间的生成关系可用如图2所示的色度三角形（2维单纯形构成的重心坐标系）RGB表示。图3为颜色生成的集合表示法，对比图2和图3不难看出，集合表示法根本不能表示颜色属性的合取生成关系。

概念判断映射 定义1 设qi(c)，i=1,…r，是概念c所定义对象u必须满足的r个内涵属性，是它们的整合属性，pj(u)，j=1,…k，是事物u的k(>r)个属性，于是，u是概念c所指称的一个事物，当且仅当,对每一个qi(c)，i=1,…r，存在，j{1,…,k}，使得 。由此可得，事物u满足概念c的（概念）判断映射如下 （1）

概念判断映射（2） 定义2 设qi(c)，i=1,…r，是概念c的r个内涵属性，K(r) (c)=(q1(c),…, qr(c))是以qi(c)，i=1,…r，为顶点的属性单纯形，b(K(r) )是K(r)(c)的重心点，即:，为对象u的r个性质pi(u)的整合性质，K(r)(u)= (p1(u),…, pr(u))是以性质pi(o)为顶点的性质单纯形，是K(r) (u)的重心点，分别用和，代替（1）中对象u的整合性质和概念c的定性基准，则称 （2） 为事物u满足概念c的判断映射（1）的属性重心坐标表达。

非单调判断（推理）的重心坐标表示

概念定义的属性坐标表示 对象u满足概念c的判断映射（1）的属性重心坐标表达。 例6 按例3的定义,命题“对象u是鸟”的判断映射为 （3）

概念定义的可变性 定义3 设 是概念c的定义，若对某些事物u，概念c的定义可变，则称c的定义产生了一个变换，记为：(Q(u,c))。这种情况表明，概念c的定义是某些对象u的函数，故记为： .

（定义的）基准变换 例7 若鸟的定义中，“会飞”是（非必要）可剔除的条件，则鸟的定义可变为“u是鸟，当且仅当，u是动物（animal）、 有翅膀（wings）、有羽毛（feather）、是卵生（oviparous）”，这相当于对鸟的定义实施了下述基准变换： (4)

例8 若忽略“鸟”的定义中“会飞(Fly(u))”条件，则如图4所示，可用重心坐标系中对应于重心点由四面体的重心向三角形的重心转移表达。于是，改变换可表示为[6]。 (5)

图4以及（4）和（5）式表明，人工智能中所谓“非单调推理”问题，不仅可用属性重心坐标系清晰地加以表达，而且，还能自然地保持其他推理关系不变。 与人工智能的其他解释，如：限制性推理等相比较，不难看出，基于基准变换的解释更符合实际情况，也更合乎逻辑。