科学发现系列讲座 能量子的再发现

背景 物体不仅能够发射电磁波，而且也可以吸收和反射电磁波。实验表明，同一温度下，物体吸收电磁波的能力与其发射能力成正比。 物体在某个频率范围内发射电磁波的能力越大，则它吸收该频率范围内电磁波的能力也越大。 不同物体在同一频率范围内发射或吸收电磁波的能力不同，一般来说深色物体比浅色物体吸收和发射电磁波的能力强；颜色越深，吸收和发射电磁波的能力越强。

理想模型 我们把能够全部吸收外来一切电磁辐射的物体称为绝对黑体，简称黑体(black body)。 黑体只是一种理想的模型，碳黑能够很好地吸收外来的电磁波，可以近似地看成黑体。一个开小孔的不透光空腔几乎可以全部吸收外来的电磁波，可作为黑体来进行观测和实验。 黑体发射出来的电磁辐射称为黑体辐射，单位时间内单位面积黑体辐射的能量(辐出度)记为MB(T)，其中在频率附近的单位频率间隔内的能量(单色辐出度)记为MB(,T) 。

实验现象 根据实验，在不同温度下黑体辐射能量按频率的分布曲线如下图所示 。其中频率的单位为6.25106 MHz，由内到外的4条曲线对应的温度分别是900K、1200K、1500K和1800K。

经验公式 通过对实验数据进行分析，可以得到 1）斯特藩-玻耳兹曼定律 (Stefan-Boltzmann law) 黑体的辐出度（即图19-2中曲线与横坐标轴所围的面积）与黑体的热力学温度的四次方成正比，即 MB(T) = T4 其中比例系数 = 5.670108 W m2 K4，称为斯特藩常量(Stefan constant)。 2）维恩位移定律 (Wien displacement law) 当黑体的热力学温度T升高时，与单色辐出度MB(,T)的最大值相对应的频率m以同样的比例向高频方向移动，即m  T 。

理论说明 为了说明上述实验结果 ，人们进行了理论研究。 在热平衡的条件下，小孔的单色辐出度MB(,T)应该与空腔内的能量密度u(,T) 成正比。 维恩公式（Wien formula） 1896年，德国物理学家维恩（Wien,1864-1928年）把空腔内的热辐射与气体分子类比，得到了一个能量密度按频率分布的公式 u(,T) =A 3eB/T 式中的常量A和B由实验确定。

瑞利-金斯公式 1900年6月，英国物理学家瑞利(Rayleigh, 1842—1912年)发表论文批评维恩在推导辐射公式时引入的假设不可靠。他利用电磁波振动模型导出了一个新的辐射公式，后经金斯（Jeans, l877—1946年）改进，合称瑞利—金斯公式（Rayleigh-Jeans Wien formula） u(,T) = 82kT/c3 公式中c为光速，k为玻尔兹曼常量，没有需要用实验确定的待定常量。

矛盾与问题 上述两个理论公式与实验数据的对比如图所示，绿线为维恩公式，红线为瑞利-金斯公式，而兰色为实验结果。

维恩公式在理论上不够严格，与实验不完全符合可以理解。 瑞利-金斯公式是严格按照经典电磁场理论和经典统计物理理论导出的，它在高频（短波）部分与实验的矛盾不可调和，给物理学界带来很大困惑，在当时被称为是“紫外灾难”，它动摇了经典物理的基础。

归纳与猜想 在得知上述理论与实验的矛盾之后，德国物理学家普朗克（Max Planck,1858-1947年）坚信实践第一的观点，认为理论仅仅在符合实际时才是正确的。 维恩公式仅在高频部分是正确的，而瑞利-金斯公式仅在低频部分才正确，一个在全频范围内都正确的公式应该以瑞利-金斯公式为低频极限，而以维恩辐射定律为高频极限，即

上式可以简化为 满足此条件的最简单的函数是

令，可以得到 B=c3A/(8k) 利用上面的结果，我们推出 上式称为普朗克公式（Planck formula），式中 h = B k = 6.6261034 J s 称为普朗克常数（Planck constant）。

实验验证 普朗克所导出的新的辐射公式，虽然没有现成的理论依据，但是在高频时趋近维恩公式，在低频时则趋近瑞利公式，与实验完全一致，而且在中频部分和实验曲线符合得也非常好。

原因的探求 普朗克公式取得了成功，但是不能从已知的理论中得到说明。他决定进一步寻找隐藏在上述公式背后的物理实质。 普朗克把研究的角度从热力学转换为统计力学；并把研究的对象从空腔内的辐射改为空腔腔壁的物质，并假设腔壁物质由简谐振子组成。 由辐射与腔壁的热平衡条件，得到 u(,T) = 82    /c3 (1) 其中   为简谐振子的平均能量。

由玻尔兹曼统计      lnz/ （2） 其中 1/(kT)，配分函数和平均能量分别为 积分中的D()为态密度。

按经典理论，能量是连续的，简谐振子的态密度D()为常数，由此容易得到  = kT，代入(1)后又回到了瑞利—金斯公式，与实验不符合。 正确的态密度公式应该是什么？我们可以用逆向思维的方法，从已经实验证明的普朗克公式出发来进行倒推。 由普朗克公式可以得出简谐振子的平均能量为

对上式进行积分，我们得到 ln z = ln(1  e  h) 即 z = (1  e  h)  1=  e  hn 利用狄拉克函数，上式可以改写成

普朗克的假设 与配分函数的公式相比较后，我们得到态密度公式为 D() =  (hn) 这与经典物理学关于能量是连续的观点尖锐对立。 是尊重事实，还是尊重书本和权威？

经过一段时间的犹豫之后，普朗克提出一个大胆的、革命性的假设：每个简谐振子发射和吸收的能量是不连续的。 这些能量值只能是某个最小能量元 的整数倍，而每个能量元和振子的频率成正比，后来人们称  = h为“能量子” 。 1900年12月14日，普朗克在德国物理学会的一次会议上宣布了他的能量子假说，从此开创了近代物理的新纪元，这一天被定为“量子论诞生日”。普朗克本人也由于创建量子论，而荣获1918年的诺贝尔物理学奖。