第一篇：理解的基础上记忆 第二篇：记忆的基础上理解

第二篇 数学物理方程

本篇介绍物理学中常见的三类偏微分方程及有关的定解问题和这些问题的几种常见解法。 第七章 数学物理定解问题 数学物理方程是从物理问题中导出的反映客观物理量在各个地点、各个时刻之间相互制约关系的数学方程。换言之，是物理过程的数学表达。如 牛顿定律、热传导定律、热量守恒定律、电荷守恒定律、高斯定律、电磁感应定律、胡克定律。 一 数学物理方程 本篇介绍物理学中常见的三类偏微分方程及有关的定解问题和这些问题的几种常见解法。 数学物理方程本身（不包含定解条件）叫 泛定方程 二 边界问题 对于具体的问题，必须考虑到所研究的区域处在什么样的环境下，即边界的区别。 体现边界状态的数学方程称为边界条件。

1 根据规律列出泛定方程——客观规律 三 历史问题 体现历史状态的数学方程称为初始条件。 一个具体的问题的求解的一般过程： 历史上的扰动对以后的状态会有很大的影响。比如：分别用薄的物体和厚的物体敲击同一弦，研究其后的振动。 体现历史状态的数学方程称为初始条件。 一个具体的问题的求解的一般过程： 1 根据规律列出泛定方程——客观规律 2 根据已知列出边界条件和初始条件——具体求解所必须的 3求解 —— 行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法、保角变换法

导出步骤： §7.1 数学物理方程的导出 1 确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻近部分与它的相互作用。 2 根据物理规律，以算式表达这个作用。 3 化简、整理。

1 确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻近部分与它的相互作用。 一 均匀弦的微小横振动 细长而柔软的弦线，紧绷于A、B两点之间，作振幅极微小的横振动，求其运动规律。 1 确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻近部分与它的相互作用。 x u 分析： T2 θ2 1 力学问题：位移u(x,t)是根本量 B θ1 2 遵循牛顿第二定律 T1 3 弦是柔软的：张力沿弦的切线方向 x x+dx 4 轻弦：重力是张力的几万分之一，不考虑 5只在横向有位移，纵向没有位移

2 根据物理规律，以算式表达这个作用。 3 化简、整理。 弦中各点的张力相等 x u T│x+dx θ∣x+dx B θ∣x T│x 在微小振动近似下： x x+dx 于是由(7.1.1)有： 弦中各点的张力相等

于是由 弦的线密度 即： 令 于是：

由于B是任选的，所以方程适用于弦上的各处，称为弦的振动方程 如果在位移方向上还受外力的作用，设单位长度上受的外力为f, 则 单位质量所受外力，力密度

说明 质点的位移是以t为自变量的函数，其运动是以t为自变量的常微分方程； 弦的位移是以x,t的函数，其运动方程是以x,t为自变量的偏微分方程。 utt项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。 uxx项反映弦上的各个质点彼此相联 。

例 弦在阻尼介质中微小横振动，单位长度的弦所受的阻力为 u 例 弦在阻尼介质中微小横振动，单位长度的弦所受的阻力为 F=-Rut 推导弦的振动方程。 T1 a1 B a2 T2 x x x+dx 解：如图 选坐标系以dx段为研究对象，弦无纵向振动 只在运动 的方向 由于微振动，则有

二 均匀杆的纵振动 研究均匀杆上各点沿杆长方向的纵向位移u(x,t)所遵从的方程。 x x+dx u u+du 二 均匀杆的纵振动 研究均匀杆上各点沿杆长方向的纵向位移u(x,t)所遵从的方程。 x x+dx u u+du 解：如图选坐标系，选dx段为研究对象,由胡克定律得dx段两边受拉力分别为 截面积 杨氏模量 由牛顿第二定律： 密度

得： 如果在位移方向上还受外力的作用，设单位长度单位截面积所上受的外力为f(x,t), 则 单位质量所受外力，力密度

例 用匀质材料制做细圆锥杆，试推导它的纵振动方程。 例 用匀质材料制做细圆锥杆，试推导它的纵振动方程。 a x x s1 u(x,t) x+dx s2 解：如图选坐标系，选dx段为研究对象,dx段两边受拉力分别为 有牛顿第二定律：

三 均匀薄膜的微小横振动 1 力学问题：位移u(x,y,t)是根本量 2膜是柔软的：张力在切平面 3只在横向有位移，纵向没有位移 u 仰角 a T1 分析： xy平面 1 力学问题：位移u(x,y,t)是根本量 2膜是柔软的：张力在切平面 3只在横向有位移，纵向没有位移 T的横向分量：

取膜的小块，则x和x+dx两边上所受的张力： y+dy y x+dx x 垂直黑板面 则膜在两边张力的横向作用为 根据牛顿第二定律：

拉普拉斯（Laplace）方程 如果在位移方向上还受外力的作用，设单位面积所上受的外力为f(x,y,t), 则 此即二维波动方程 单位质量所受外力，力密度 此即二维波动方程

（1） dt时间内小段dx温度升高所需热量： Q= c(ρsdx)[u(x,t+dt)-u(x,t)] 四 热传导方程 热流 分析： x x+dx x 1 热学问题：温度u(x,t)是根本量 （1） dt时间内小段dx温度升高所需热量： Q= c(ρsdx)[u(x,t+dt)-u(x,t)] 2 能量守恒定律和热传导定律（傅里叶定律） dt很小 Q=cρsu t dx dt （2） dt时间内流入小段dx热量： Q=-kux(x,t)sdt-(-kux(x+dx,t)sdt) =ksdtuxx dx q是单位时间流过单位面积的热量(热流强度）；K为导热率，与材料有关，温度范围不大时，视为常数。 负号：表示方向，热流方向与温度升高方向相反，因此热传导定律是带有方向的。（对比没有方向的胡克定律）

Q=cρsu t dx dt =ksdtuxx dx 内无热源，二者相等 Q=cρsu t dx dt =ksdtuxx dx a2=k/(cρ) 此即一维热传导方程 若杆内有热源，热源密度（单位时间单位体积放热量）为f, 则方程变为

五 扩散方程 1 浓度u(x,y,z,t)是根本量 2 扩散定律（斐克定律） z dz dy dx x q是单位时间流过单位面积的粒子数(扩散流强度）；D为扩散系数。

同理，单位时间内y，z方向净流入粒子数分别为： dx dz dy 体内浓度的变化取决于穿过它表面的扩散流， 单位时间内x方向净流入粒子数： 同理，单位时间内y，z方向净流入粒子数分别为：

根据粒子数守恒：浓度*体积对时间的变化率等于单位时间流入的粒子数 a2=D 此式为输运方程

六 泊松方程 在充满了介电常数为ε的电解质，电荷的体密度为ρ（x,y,z)， 研究该区域的静电场。 势函数u(x,y,z)是根本量, 在所研究的区域中，任作一闭合曲面s，围出一空间τ，由高斯定理：

此即泊松方程，若所讨论区域无电荷，则为 对于扩散方程 ，当时间足够长，ut=0 达到稳定状态，即浓度的稳定分布方程。

例1 长为l的柔软均质绳索，一端固定在以匀速转动的竖直轴上，由于惯性离心力的作用，这弦的平衡位置应是水平线。试推导此绳相对于水平线的横振动方程。 Y x x+dx 解：如图选坐标系，由于惯性离心力的作用，绳内各处受力不同，x处的水平拉力为 X 竖直方向：

例2 混凝土浇灌后逐渐放出“水化热”放热速率正比于当时尚存的水化热密度θ，即 。试推导浇灌后的混凝土内的热传导方程。 例2 混凝土浇灌后逐渐放出“水化热”放热速率正比于当时尚存的水化热密度θ，即 。试推导浇灌后的混凝土内的热传导方程。 解：浇灌后混凝土中在初始时刻存储的水化热密度为θ0，则t时刻存储的水化热密度为：

考虑dv中有热源，则在单位时间内dv热量的增加为

①\②两式相等，所以

例3 a1 u T1 a2 T2 x 积分

T1 T2 x a2 a1 u

常用物理定理

（ 4 ） 牛顿 (Newton) 冷却定律 : 单位时间内从周围介 质传到边界上单位面积的热量与表面和外界的温度 差成正比 , 即：dQ=H(u1-u∑) 这里u1 是外界媒质的温度 . H为比例系数． (5) 扩散定律 即斐克 （ Fick ） 定律 : 单位时间内扩 散流过某横截面的杂质量m 与该横截面积s 和浓度 梯度∂u/∂n 成正比，即：m=-Ds ∂u/∂n

1) 双曲型方程 （ Hyperbolic Equation ） ： 以波动方程 为代表 的方程 它描绘了各向同性的弹性体中的波动、振动过程，或声 波、电磁波的传播规律． 2) 抛物型方程 （ Parabolic Equation ） ： 以热传导方程 （或输运方程） 为代表 的方程 它主要描述扩散过程和热传导过程所满足的规律 .

双曲型方程和抛物型方程 都是随时间 变化（或 发展）的 , 有时也称为发展方程 . 3 ） 椭圆型方程 （ Elliptic Equation ）： 以 泊松方程 为 代表的 方程 当 ，即退化为拉普拉斯方程 . 它是描述物理现象中稳定（或平衡状态）过程规律的 偏微分方程 . 在物理现象中，它很好地描述了重力场、 静电场、静磁场、稳恒流的速度势等规律．

§7、2 定解条件 一 初始条件 ： 定义： 是研究系统的物理量在开始计时时刻的初始分布 2 初始条件的特征： 一 初始条件 ： 定义： 是研究系统的物理量在开始计时时刻的初始分布 2 初始条件的特征： 偏微分方程的对时间导数阶数对应于初始条件中的数目 一阶含时偏微分方程，有一个初始条件

二阶含时偏微分方程，有两个初始条件： 3 注意问题： （1）、初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布， 而不是一点处的情况，

例 一根长为 x和l. 的弦，两端固定于 在 距离坐标原点为 的位置将弦沿 着横向拉开距离 ，如图 所示， 然后放手任其振动，试写出初始 b 的位置将弦沿 着横向拉开距离 h ，如图 所示， h 然后放手任其振动，试写出初始 b x 条件． 【 解 】 初始时刻就是放手 的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有

初始位移如图所示，除两端点固定外，弦上各点 均有一定的位移，写出如图所示的直线方程，得到初 始位移为 （2）、初始条件中不含时间，只是坐标的函数或常数

references 哈密顿算符：▽;nabla[‘næblә]

§7、2 定解条件 一 初始条件 ： 定义： 是研究系统的物理量在开始计时时刻的初始分布 2 初始条件的特征： 一 初始条件 ： 定义： 是研究系统的物理量在开始计时时刻的初始分布 2 初始条件的特征： 偏微分方程对时间导数的阶数对应于初始条件中的数目 一阶含时偏微分方程，有一个初始条件

二阶含时偏微分方程，有两个初始条件： 3 注意问题： （1）、初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布， 而不是一点处的情况，

例 一根长为 x和l. 的弦，两端固定于 在 距离坐标原点为 的位置将弦沿 着横向拉开距离 ，如图 所示， 然后放手任其振动，试写出初始 b 的位置将弦沿 着横向拉开距离 h ，如图 所示， h 然后放手任其振动，试写出初始 b x 条件． 【 解 】 初始时刻就是放手 的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有

初始位移如图所示，除两端点固定外，弦上各点 均有一定的位移，写出如图所示的直线方程，得到初 始位移为 （2）、初始条件中不含时间，只是坐标的函数或常数

1 定义 2 分类 二 边界条件 ： ： 边界上的物理量始终具有的情况。 研究具体的物理系统，还必须考虑研究对象所处 的特定“环境”，而周围环境的影响常体现为边界上 的物理状况，即边界条件． 2 分类 常见的线性边界条件分为三类： 第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量在边界上的数值； 第二类边界条件，规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方 向导数的数值； 第三类边界条件，规定了所研究的物理量及其外法向导数的 线性组合在边界上的数值.

（1）第一类边界条件： 直接给出系统边界上物理量的函数形式 比如：弦的两端固定 若弦的两端按固定规律运动

规定了系统边界上物理量法向方向上的方向导数的函数形式。 （2）、第二类边界条件： 规定了系统边界上物理量法向方向上的方向导数的函数形式。 热流 例1：杆在x=a处绝热。 x

例：热传导的杆在x=a端自由冷却，自由冷却的意思是： 界面法向方向上的热流与杆端温度和环境的温差成正比

总结 边界条件概括为：

1、定义：由于某种原因，由于物理量在某些点上发生突变， 则使系统分为两部分，使偏微分方程为两部分或多部分。 3 注意的问题： （1）、边界条件中不是系统的初始条件 （2）、边界条件只是时间的函数 （3）、系统几个边界就有几个边界条件 三、衔接条件 1、定义：由于某种原因，由于物理量在某些点上发生突变， 则使系统分为两部分，使偏微分方程为两部分或多部分。 每个部分都满足偏微分方程，但在这点（或区域上）对方程来说， 相当于边界而又无法给出边界条件。 x x0 F 2、衔接条件： 如右图的弦 ①连续性 =

四、常见问题的初始条件，边界条件，衔接条件： ② 竖直方向受力平衡： x x0 F 注意问题： （1）、衔接条件只是时间的函数 （2）、衔接条件常常由物理规律给出。 四、常见问题的初始条件，边界条件，衔接条件： 1、当系统由于某种原因，方程只在两个子区域内成立， 给出两区域的初始状态：

习题1 如右图 初始位移为： F0 α1 α2 h x 确定C： ds=dx 力平衡条件：

（1）——（5）解出：

若端点是自由的，则

3 杆的热传导： 例3、长为l的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为 ， 写出这个热传导问题的边界条件。 解：在边界上有： 若端点是绝热的，则

4、电介质的衔接条件： 电势 电位移矢量

初始条件 一维弦振动 未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件 初始位移 初始速度 处于平衡位置： u|t=0 = 0 两端固定，在c点拉开距离h： u|t=0 = hx/c， 0<x<c; u|t=0 = h(L-x)/(L-c)，c<x<L; 初始速度 处于静止状态： ut|t=0 = 0 在c点受冲量I： ut|t=0 = I δ(x-c)/m

边界条件举例 典型线性边界条件 一维弦振动 一维杆振动 一维热传导 固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/k 受力端 ux|x=0 = F/YS 一维热传导 恒温端 u |x=0 = a 绝热端 ux|x=0 = 0 吸热端 ux|x=0 = F/k 分类 第一类边界条件：给出未知函数在边界上的数值； 第二类边界条件：给出未知函数在边界外法线的方向导数； 第三类边界条件：给出未知函数在边界上的函数值和外法向导数的线性组合。

§7、3数学物理方程的分类 方程的分类： 数学物理方程的一般形式 2.方程的分类; 按其符号，将方程化为三种类型;

§7、4达朗贝尔公式 定解问题 达朗贝尔公式 问题的提出： 对于常微分方程我们常来用先求出通解，然后利用附加条件 §7、4达朗贝尔公式 定解问题 达朗贝尔公式 问题的提出： 对于常微分方程我们常来用先求出通解，然后利用附加条件 给出通解中所含的常数，能否利用此方称来求解偏微分方程呢？ 2 将方程变为通过积分可得通解的形式 若我们可将关于z(x,y)的偏微分 方程化为形式， 则可通过积分求出z(x,y)

以一维波动方程为例进行讨论 若令 则

则有： 为了书写方便 ，作代换

波动方程为： 则有： 3 积分求通解： 积分一次

所以通解为 4 通解的物理意义： 若 是波在t=0时的波形。选动坐标系，以速度a沿x正向移动， 则坐标变换

则静坐标系的波形 和动坐标系的波形f2(X)完全相同， 说明t时刻的波形f2(x-at)是由t=0 时刻的波形沿+x方向平移at得来的， 即这种波保持波形不变，沿+x方向保持的运动波——行波。 5 波形的具体形状的确定 若所讨论的问题是在无界空间中，则无边界条件。只有初始条件， 初始条件为：

将初始条件带入通解而有： 将（2）积分有： 由（1）（3）得：

带回到通解有： 注意上述是t=0时的x, t时刻 ————达朗贝尔公式 这是偏微分方程的定解

6 定解的物理意义： = X x1 x2 u0 例如 弦的初始速度为零,初始位移如图

由达朗贝尔公式 t4 t3 t2 t1 x1 x2 t=0

例2 初始位移为零，初速度为： 由达朗贝尔公式

x Φ(X) x1 x2

x Φ(X) x1 x2 因此u(x,t)是如下图形的叠加传播 t=0时 x

二、半无界空间达朗贝尔公式的应用 1、问题的提出： 以一维横振动为例 而对于半无界空间，在x<0区域，初始条件不存在，如何来解决此问题？ 2 解决问题的基本思路 实际问题是在x=0处存在边界条件，我们可以将半弦视为无限长度的一 部分，且将在x=0处的边界条件虚拟为x<0部分的初始条件来代替：

3 满足边界条件的虚拟x<0部分初始条件的确定（方法） 实际定解问题：

令x=at

所以对于x=0处固定的半无界问题，我们只需要将初始条件做奇延拓即可， 就得到能够满足边界条件的达朗贝尔公式给出的解得表达形式。 这样给出解为： 解的物理意义：

端点的影响表现为反射波，反射波的相位与入射波相反，这就是所谓的半波损。

5半无界空间问题的推广： 在x=0处-为ux│x=0=0自由端 作偶延拓

达朗贝尔法小结： 1 解决问题 的解为： 方程（1）的通解为： 行波法：

2 半无界空间达朗贝尔公式的应用 对于x=0处固定的半无界问题，我们只需要将初始条件做奇延拓即可， 就得到能够满足边界条件的达朗贝尔公式给出的解得表达形式。

在x=0处-为ux│x=0=0自由端 作偶延拓

总结 第二篇中三件事： 一 列泛定方程 三类方程 名字 能够处理问题 非齐次项及a 第一类经典方程，振动方程，波动方程，双曲型方程 一维弦横振动，一维杆纵振动，二维波动 单位质量所受外力，力密度 第二类经典方程，热传导方程，扩散方程，输运方程，抛物型方程 热传导，扩散 非齐次项 f为单位时间单位体积放热量 第三类经典方程，泊松方程（非齐次），拉普拉斯方程（齐次），静态分布方程，椭圆型方程 静态分布，如静电场、温度稳定分布等 电荷的体密度为ρ

三类方程 初始条件第一个 初始条件第二个 二 列定解条件 初始位移 初始速度 初始温度，初始浓度 1 初始条件 处于平衡位置： u|t=0 = 0 两端固定，在c点拉开距离h： u|t=0 = hx/c， 0<x<c; u|t=0 = h(L-x)/(L-c)，c<x<L; 初始速度 处于静止状态： ut|t=0 = 0 初始温度，初始浓度 1 初始条件

三类方程 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 2 边界条件（常见） 固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/k 受力端 ux|x=0 = F/YS自由端 ux|x=0 = 0 恒温端 u |x=0 = a 绝热端 ux|x=0 = 0 吸热端(恒定热流) ux|x=0 = q/k（注意方向）

三 求解： 方法有达朗贝尔法（7.4）、直角坐标系下的分离变量（数）法（傅里叶级数法，第八章）、球坐标和柱坐标系下的分离变量（数）法（第九、十、十一章）、格林函数法（电像法，第十二章）、傅里叶积分变换法（第十三章）、保角变换法（第十四章） 求解思路： 泛定方程（偏微分方程） 通解 定解问题 定解 定解条件

3 补充：定解问题的适定性 如果定解条件过多、自相矛盾，则定解问题无解。