96年自由軟體Impress簡報製作比賽 九年一貫數學領域九上課程 三角形的心 ˙ 竹南國中 林榮耀老師製作

三角形的心 1.三角形的外心 2.三角形的內心 3.三角形的重心 4.結束 竹南國中 林榮耀老師

(三角形的外心) 教學目標 (1)複習中垂線的尺規作圖 (2)能理解三角形[外心]的定義及相關性質 (3)能用尺規作圖找出外心及畫出外接圓 (4)能理解三角形的外心與角度關係 (5)能理解30°-60°-90°直角三角形邊長比 (6)能理解45°-45°-90°直角三角形邊長比

引起動機 苗栗縣位舉辦台灣區運動大會,打算建造一座大型體育中心,該中心要與縣內P,Q,R三大城市等距離,請問該體育中心建在何處? P ˙ Q ˙ ˙ R

複習舊經驗(中垂線的尺規作圖) 已知： , 求作： 的中垂線 作法： 1. 以 A 為圓心，適當長為半徑劃弧 已知： , 求作： 的中垂線 作法： C 1. 以 A 為圓心，適當長為半徑劃弧 2. 以 B 為圓心，相同長度為半徑劃弧 兩弧相交於 C,D兩點 Ａ B 3. 連接直線 CD，即為 之垂直平分線 D

日常生活配合題 A,B,C表示游泳池三位救生員的位置,池中哪位溺水者距離哪位救生員最近,就屬於該救生員的責任區。 試作圖畫出這三位救生員責任區的界線。 A P 步驟1 步驟2 B R O C Q

三角形的外心作圖（1） 試作三邊中垂線（銳角三角形） 【問題】 你有何發現？ A 解答 交於一點 B c

三角形的外心作圖（2） 試作三邊中垂線（鈍角三角形） 【問題】 你有何發現？ 解答 A 交於一點 B c

三角形的外心作圖（3） 作三邊中垂線（直角三角形） 【問題】 你有何發現？ A 解答 交於一點 B C

三角形的外心位置 【問題】 交點的位置在哪裡？你有何發現？ C B A 解答 c B A c B A 三角形內部 三角形外部 斜邊中點

三角形三邊中垂線共點，且此點到三頂點等距離 【已知】 【求證】 L1，L2，L3交於一點, 【證明】 A L1 L3 O B c L2

外接圓 三角形外接圓作圖 外心 【已知】 △ABC 【求作】 通過A、B、C三點的圓 A 【作法】 步驟1 作線段AB中垂線L1 L1 步驟2 作線段BC中垂線L2 ,交L1於O點 O 步驟3 連線段OA,以O為圓心,OA為半徑畫圓則圓O即為所求 B C L2 外接圓

日常生活配合題 A,B,C三村莊彼此不在一直線上,今將距此三村莊等距離處建一國中,試問此國中將座落何處? A 連接線段AB,AC L1 ● 步驟1 A 連接線段AB,AC L1 ● 步驟2 作線段AB中垂線L1 ● C 步驟3 作線段AC中垂線L2 ,交L1於O點, 則O即為國中的位置 B ● ● O

資優挑戰題 △ABC之三頂點座標分別為A（2,5），B（2,1） ，C（5,1），求(1)△ABC之外心座標 (2)外接圓半徑 解答 y A X O

基測題(93) C 則下列哪一項敘述是正確的? 解答 (A) O是△PCD的外心 (B) O是△APD的外心 (C) O是△ACD的外心 (D) O是△BCP的外心

三角形外心的角（1）[解一] = = = △ABC為銳角三角形，O為其外心 ∠BOC＝2∠BAC (2) ∵ O為△ABC的外心 【已知】 △ABC為銳角三角形，O為其外心 【求證】 ∠BOC＝2∠BAC [證明] 【證明】 A (2) ∵ O為△ABC的外心 3 1 = ( ) (三角形外心性質) O 故∠1=∠2，∠3=∠4 = 2 5 6 = 4 (3) ∵∠5=∠1+∠2=2∠1 B c ∠6=∠3+∠4=2∠3 (三角形外角定理 ( ) ∴∠BOC=∠5+∠6 =2(∠1+∠3) =2∠BAC

三角形外心的角（1）[解二] O為△ABC的外心 A ∴∠BOC =_____ BC O =2∠BAC C B

隨堂練習 50° 70° 60° 若O是△ABC的外心,且∠AOB=120˚,∠AOC=140˚,求 (1)∠BAC ═__________ (1)∠ACB ═__________

三角形外心的角（2）[解一] △ABC為頓角三角形，O為其外心 ∠BOC＝3600－2∠A 【已知】 c B A O 【求證】 【證明】 (1) ∵ O為△ABC的外心 (2)在 △OAC中，∵ ∴∠OAC=∠OCA ∴∠AOC=1800－∠OAC－∠OCA =1800－2∠OAC (3)同理可證: ∠AOB=1800－2∠OAB (4) ∴∠BOC=∠AOB+∠AOC =1800-2∠OAB+1800-2∠OAC =3600-2(∠OAB+∠OAC) =3600-2∠A

三角形外心的角（2）[解二] O為△ABC的外心 ∴∠BOC =____ =360° ____ 2∠BAC =360°－ ______ A BDC ____ － O 2∠BAC =360°－ ______ D

隨堂練習 如圖,∠A=130°,∠ABC=40°, O為△ABC的外心, 求∠BOC 的度數 解答 (1)以O為圓心, 為半徑畫圓O (2) BDC ∠BOC = BAC =360° - BDC ● D =360° -260° =100°

300－600－900 ‧ ■ △ABC中，∠C＝900，∠B＝600 【已知】 【求證】 A 【證明】 (1)在直角 △ABC中，取斜邊的中點O，連接OC ‧ O ■ 600 C B 利用商高定理得：

隨堂練習 ，求△ABC的面積 解答 A ３００ Ｈ ■ 5 B c

450－450－900 ■ 【已知】 △ABC中，∠C＝900，∠B＝450 【求證】 【證明】 [證明] A (2)利用商高定理得： C

日常生活配合題 一竹竿 直立於地面上,早上八點在地面的影子 比十點的影子 多2公尺,照射角度分別為30° 45°,問竹竿長多少公尺? 解答

綜合活動 1、請第一組派代表上台做心得分享。 2、指定作業： 學習單1 複習P122~127，準備評量 本 節 結 束 回首頁

(三角形的內心) 教學目標 (1)複習角平分線的尺規作圖 (2)能理解三角形[內心]的定義及相關性質 (3)能用尺規作圖找出內心及畫出內切圓 (4)能理解三角形的內心與角度關係

引起動機 有三條公路圍成一個△ABC,想在三角形區域內選擇適當的地點P建造一座休息站,使得P到這三條公路的距離相等,請問休息站建在何處? A ● P B C

複習舊經驗(角平分線的尺規作圖) 已知：∠A 求作：∠A 的角平分線 作法： 1. 以 A 為圓心，適當長為半徑劃弧， 與兩邊相交於 B、C D 2. 以 B、C為圓心，相同長度為半徑劃弧 ， 兩弧相交於 D A C 3. 連接直線 AD，即為∠A 之角平分線

內切圓 內心 三角形的內心作圖 三角形三內角平分線交於一點,且這點與三邊等距離 A 步驟 = = = = B C ■ ■ ■ ● ● ● ●

基測題(92) 解答 D

三角形內心的角 [證明] 2 1

隨堂練習 解答

利用內切圓半徑求三角形面積 設△PQR三邊長為a,b,c,內切圓半徑為r,求△PQR 的面積 解答

日常生活配合題 有一塊面積是270平方公尺的三角形地,其周長是54公尺,想在這三角形地挖一個圓形水池,求水池最大的可能半徑? A C B 解答 當[圓形水池]是三角形的內切圓時,其半徑最大 A C B

求直角三角形內切圓半徑 解答

日常生活配合題 假設一個直角三角板的內部可以放入一個半徑為5的銅板,且銅板與三角形的三邊相切,若此三角板內部的周長為50,求此三角形內部的面積 解答

資優挑戰題 解答

綜合作圖 已知△ABC，求作一點P，使P到 兩端點的距離相等 ，且P到∠A兩邊的距離相等。 A 作法 ○ ○ L C B ■ = = P M

綜合活動 1、請第二組派代表上台做心得分享。 2、指定作業： 學習單2 複習P127~132，準備評量 本 節 結 束 回首頁

(三角形的重心) 教學目標 (1)複習三角形中線的尺規作圖 (2)能理解三角形[重心]的定義及相關性質 (3)能用尺規作圖找出重心 (4)能理解三角形的重心與面積的關係

引起動機 舉重似輕--撐起一片天的幾何中心

複習舊經驗(中線的尺規作圖) 已知：△ABC 求作： 上的中線 作法： 1. 以 B 為圓心，適當長為半徑劃弧 求作： 上的中線 A 作法： D 1. 以 B 為圓心，適當長為半徑劃弧 2. 以 C 為圓心，相同長度為半徑劃弧 兩弧相交於 D,E兩點 B C M 3. 連接直線DE，交 於M,連接AM 即為所求 E

三角形三中線交於一點(尺規作圖) 步驟 步驟 步驟 銳角三角形 直角三角形 頓角三角形

日常生活配合題 ˙ 在一塊均勻的三角形木板上,若想在木板上穿一根 線,使木板水平懸在空中,則此線應穿在三角形木 板的什麼位置? (1) 內心 (2)外心 (3)重心 (4)垂心 解答 (3)重心 ˙

基測題(92) B 有一質地均勻的三角形鐵片,其中一中線 長24公分 若阿龍想用食指撐住此鐵片,則支撐點應設在 上的何 處最恰當? 解答 A (A)距離D點6公分處 24 B (B)距離D點8公分處 (C)距離D點12公分處 (D)距離D點16公分處 D

三角形三中線交於一點(推理證明) A 1 2 // (AA相似) F E 1 2 G’ G B C D G，G’是同一點 ：三角形三中線共點

三角形的重心 三角形的重心到一頂點的距離等於過此頂點的 中線的2/3 A F E G B C D 重心

隨堂練習 A 6 3 5 7.5 F E G B C

三角形的重心與面積(1) 重心與三頂點的連線將此三角形面積三等分 [證明] C B A G 等底同高 M

三角形的重心與面積(2) 三角形三中線將此三角形面積六等分 A L N G B C M

隨堂練習 A 答 F E G B C 答 D

資優挑戰題 解答 B A M O D C P

綜合活動 1、請第三組派代表上台做心得分享。 2、指定作業： 學習單3 複習P133~139，準備評量 本 節 結 束 回首頁