多目标优化------------目标规划法 线性规划通常考虑一个目标函数(问题简单) 目标规划考虑多个目标函数(问题复杂) 。

例 生产安排问题 某企业生产甲、乙两种产品，需要用到A,B,C三种设备，关于产品的盈利与使用设备的工时及限制如下表所示。 问该企业应如何安排生产，使得在计划期内总利润最大？

1. 线性规划建模 该例是一个线性规划问题，直接考虑它的线性规划模型 设甲、乙产品的产量分别为x1, x2,建立线性规划模型： 用Lindo或Lingo软件求解,得到最优解

2. 目标规划建模 力求使利润指标不低于1500元 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2 若在上例中，企业的经营目标不仅要考 虑利润，还需要考虑多个方面，因此增加下列因素(目标)： 力求使利润指标不低于1500元 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍 从上述问题可以看出，仅用线性规划方法是不够的，需要借助于目标规划的方法进行建模求解

线性规划建模局限性 线性规划要求所有求解的问题必须满足全部的约束，而实际问题中并非所有约束都需要严格的满足； 线性规划只能处理单目标的优化问题，而对一些次目标只能转化为约束处理。但在实际问题中，目标和约束可以相互转化，处理时不一定要严格区分； 线性规划在处理问题时，将各个约束(也可看作目标)的地位看成同等重要，而在实际问题中，各个目标的重要性即有层次上的差别，也有在同一层次上不同权重的差别 线性规划寻求最优解，而许多实际问题只需要找到满意解就可以了。

目标规划的数学模型 目标规划的基本概念 为了克服线性规划的局限性,目标规划采用如下手段： 1. 设置偏差变量; 2. 统一处理目标与约束; 1. 设置偏差变量; 2. 统一处理目标与约束; 3. 目标的优先级与权系数。

1. 设置偏差变量 用偏差变量(Deviational variables)来表示实际值与目标值 之间的差异，令 　　　 ---- 超出目标的差值，称为正偏差变量 　　　 ---- 未达到目标的差值，称为负偏差变量 　　　　　　　其中 与 至少有一个为0 约定如下： 当实际值超过目标值时，有 当实际值未达到目标值时，有 当实际值与目标值一致时，有

2. 统一处理目标与约束 在目标规划中，约束可分两类，一类是对资源有严格限制 的，称为刚性约束(Hard Constraint)；例如在用目标规划 求解生产安排问题中设备A禁止超时使用，则有刚性约束 另一类是可以不严格限制的，连同原线性规划的目标,构 成柔性约束(Soft Constraint).例如在求解生产安排中，我们希望利润不低于1500元，则目标可表示为

力求使利润指标不低于1500元 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍 设甲、乙产品的产量分别为x1, x2,建立模型：

设备C可以适当加班，但要控制， 则目标可表示为 甲、乙两种产品的产量尽量保持1:2的比例，则目标可表示为 设备B既要求充分利用，又尽可能 不加班，则目标可表示为 从上面的分析可以看到： 如果希望不等式保持大于等于，则极小化负偏差； 如果希望不等式保持小于等于，则极小化正偏差； 如果希望保持等式，则同时极小化正、负偏差．

3.目标的优先级与权系数 在目标规划模型中，目标的优先分为两个层次，第一个层次是目标分成不同的优先级，在计算目标规划时，必须先优化高优先级的目标，然后再优化低优先级的目标。通常以P1,P2,...表示不同的因子,并规定Pk>>Pk+1，第二个层次是目标处于同一优先级，但两个目标的权重不一样，因此两目标同时优化，用权系数的大小来表示目标重要性的差别。

用目标规划方法求解 解：在生产安排问题中设备A是刚性约束，其余是柔性约束．首先，最重要的指标是企业的利润，将它的优先级列为第一级；其次，甲、乙两种产品的产量保持1:2的比例，列为第二级；再次，设备 B和C的工作时间要有所控制，列为第三级，设备B的重要性是设备C的三倍，因此它们的权重不一样。由此可以得到相应的目标规划模型。

目标规划模型的实例 前面介绍了目标规划的求解方法，接着再介绍几个目标规划模型的实例。

例 计算机公司生产管理问题 某计算机公司生产三种型号的笔记本电脑A,B,C。这三种笔记本电脑需要在复杂的装配线上生产，生产1台A,B,C型号的笔记本电脑分别需要5,8,12小时。 公司装配线正常的生产时间是每月1700小时。公司 营业部门估计A,B,C三种笔记本电脑的利润分别是 每台1000,1440,2520元，而公司预测这个月生产的笔 记本电脑能够全部售出。

例 计算机公司生产管理问题 公司经理考虑以下目标： 请列出相应的目标规划模型,并用LINGO软件求解。 第一目标：充分利用正常的生产能力，避免开工不足； 第二目标：优先满足老客户的需求，A,B,C三种型号的电脑 50,50,80台，同时根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子； 第三目标：限制装配线加班时间，不允许超过200小时； 第四目标：满足各种型号电脑的销售目标,A,B,C型号分别为 100,120,100台,再根据三种电脑的纯利润分配不同的权因子； 第五目标：装配线的加班时间尽可能少。 请列出相应的目标规划模型,并用LINGO软件求解。

解 建立目标约束。 (1) 装配线正常生产 设生产A,B,C型号的电脑为x1, x2, x3台， 装配线正常生产时间未利用数， 装配线加班时间， 希望装配线正常生产,避免开工不足,因此装配线 约束目标为

(2) 销售目标 优先满足老客户的需求，并根据三种电脑的纯 利润分配不同的权因子，A,B,C三种型号的电脑每 小时的利润是 因此,老客户的 销售目标约束为

(2) 销售目标 (接上) 再考虑一般销售，类似上面的讨论，得到

(3) 加班限制 首先是限制装配线加班时间，不允许超过200 小时，因此得到 其次装配线的加班时间尽可能少，即

写出相应的目标规划模型：

例音像店管理问题 某音像商店有5名全职售货员和4名兼职售货员。全职售货员每月工作160小时，兼职售货员每月工作80小时。根据过去的工作记录，全职售货员每小时销售CD25张，平均每小时工资15元，加班工资每小时22.5元。兼职售货员每小时销售CD10张，平均每小时工资10元，加班工资每小时10元。现在预测下月CD销售量为27500张，商店每周开门营业6天，所以可能要加班。另每出售一张CD盈利1.5元。 该商店经理认为，保持稳定的就业水平加上必要的加班，比不加班但就业水平不稳定要好。但全职售货员如果加班过多，就会因疲劳过度而造成效率下降，因此不允许每月加班超过100小时。建立相应的目标规划模型，并运用LINGO软件进行求解。

例2.3音像店管理问题 解 首先建立目标约束的优先级。 P1：下月的CD销售量达到27500张； 解 首先建立目标约束的优先级。 P1：下月的CD销售量达到27500张； P2： 保持全体售货员充分就业(即尽量满工作量），因为充分工作是良好劳资关系的重要因素，但对全职售货员要比兼职售货员加倍优先考虑； P3： 限制全职售货员加班时间不超过100小时； P4： 尽量减少加班时间，但对两种售货员区别对 待，优先权因子由他们对利润的贡献而定。

第二，建立目标约束。 (1) 销售目标约束。设 x1 ：全体全职售货员下月的工作时间； x2 ：全体兼职售货员下月的工作时间； ：达不到销售目标的偏差； ：超过销售目标的偏差。 希望下月的销售量超过27500张CD片，因此销售目标为

第二，建立目标约束。 (2) 尽量满工作量约束，设 ：全体全职售货员下月的停工时间； ：全体全职售货员下月的加班时间； ：全体兼职售货员下月的停工时间； ：全体兼职售货员下月的加班时间。 由于希望保持全体售货员充分就业，同时加倍优先考虑全职售货员,因此工作目标约束为

第二，建立目标约束。 (3) 正常工作时间约束，设 ：全体全职售货员下月加班不足100小时的偏差； ：全体全职售货员下月加班超过100小时的偏差。 限制全职售货员加班时间不超过100小时，将加班约束看成正常上班约束，不同的是右端加上100小时，因此加班目标约束为

第二，建立目标约束。 接上(3) 另外，全职售货员加班1小时，商店得到的利润 为15元(25*1.5-22.5=15)，兼职售货员加班1小时，商店得 到的利润为5元(10*1.5-10=5)，因此加班1小时全职售货员 获得的利润是兼职售货员的3倍，故权因子之比为 所以，另一个加班目标约束为：

第三，按目标的优先级，写出相应的目标规划模型：