债券价值分析 收入资本化法 债券定价原理 债券价值属性 久期、凸度与免疫

贴现债券(Pure discount bond) 定义：又称零息票债券，是一种以低于面值的贴现方式发行，不支付利息，到期按债券面值偿还的债券。 内在价值公式

直接债券(Level-coupon bond) 定义：又称定息债券，或固定利息债券，按照票面金额计算利息，票面上可附有作为定期支付利息凭证的息票，也可不附息票。 直接债券的内在价值公式

统一公债 (Consols) 定义：一种没有到期日的特殊的定息债券。 最典型的统一公债是英格兰银行在18世纪发行的英国统一公债 (English Consols)，英格兰银行保证对该公债的投资者永久期地支付固定利息。优先股实际上也是一种统一公债。 统一公债的内在价值公式

判断债券价格被低估还是或高估——以直接债券为例（一） 方法一：比较两类到期收益率的差异 预期收益率：y 承诺的到期收益率： 分析判断：比较y、k可以判断债券的价格被高估还是被低估。

判断债券价格被低估还是或高估——以直接债券为例（二） 方法二：比较债券的内在价值与债券价格的差异 NPV ：债券的内在价值 (V) 与债券价格 (P) 两者的差额，即 根据净现值判断债券价格被高估还是被低估。

债券定价原理 Malkiel（1962) 最早系统地提出了债券定价的5个原理 。 定理一：债券的价格与债券的收益率成反比例关系。

定理二：当市场预期收益率变动时，债券的到期时间与债券价格的波动幅度成正比关系。 期限 1年 10年 20年 30年 4% 102 116 127 135 5% 101 108 112 115 6% 100 7% 99 93 89 88 8% 98 86 80 77

定理三：随着债券到期时间的临近，债券价格的波动幅度减少，并且是以递增的速度减少；反之，到期时间越长，债券价格波动幅度增加，并且是以递减的速度增加。 到期期限 5年 4年 3年 2年 1年 0年 债券 价格 883 903 924 947 972 1000 波动幅度 117 97 76 53 28 波动率 11.7% 9.7% 7.6% 5.3% 2.8% 变化值 —— 2% 2.1% 2.3% 2.5%

定理四：对于期限既定的债券，由收益率下降导致的债券价格上升的幅度大于同等幅度的收益率上升导致的债券价格下降的幅度。 定理五：对于给定的收益率变动幅度，债券的息票率与债券价格的波动幅度成反比关系。

债券价值属性 到期时间 (期限) 债券的息票率 债券的可赎回条款 税收待遇 市场的流通性 违约风险 可转换性 可延期性

1、到期时间 债券的市场价格时间轨迹 当债券息票率等于预期收益率，投资者资金的时间价值通过利息收入得到补偿； 当息票率低于预期收益率时，利息支付不足以补偿资金的时间价值，投资者还需从债券价格的升值中获得资本收益； 当息票率高于预期收益率时，利息支付超过了资金的时间价值，投资者将从债券价格的贬值中遭受资本损失。

表5-4 :内在到期收益率为12%的债券的价格变化 剩余到期年数 以6%贴现的45美元息票支付的现值 (美元) 以6%贴现的票面价值的现值 (美元) 债券价格 (美元) 20 677.08 97.22 774.30 18 657.94 122.74 780.68 16 633.78 154.96 788.74 14 603.28 195.63 798.91 12 564.77 256.98 811.75 10 516.15 311.80 827.95 8 454.77 393.65 848.42 6 377.27 496.97 874.24 4 279.44 627.41 906.85 2 155.93 792.09 948.02 1 82.50 890.00 972.52 0.00 1000.00

表5-5 :内在到期收益率为7%的债券的价格变化 剩余到期年数 以3.5%贴现的45美元息票支付的现值 (美元) 以3.5%贴现的票面价值的现值 (美元) 债券价格 (美元) 20 960.98 252.57 1213.55 18 913.07 289.83 1202.90 16 855.10 332.59 1190.69 14 795.02 381.66 1176.67 12 722.63 437.96 1160.59 10 639.56 502.57 1142.13 8 544.24 576.71 1120.95 6 434.85 611.78 1096.63 4 309.33 759.41 1068.74 2 165.29 871.44 1036.73 1 85.49 933.51 1019.00 0.00 1000.00

折 (溢) 价债券的价格变动

零息票债券的价格变动 零息票债券的价格变动有其特殊性。 在到期日，债券价格等于面值； 到期日之前，由于资金的时间价值，债券价格低于面值，并且随着到期日的临近而趋近于面值。

2、息票率 息票率决定了未来现金流的大小。在其他属性不变的条件下，债券的息票率越低，债券价格随预期收益率波动的幅度越大。

表5-6：内在价值 (价格) 变化与息票率之间的关系 预期收益率 内在价值变化率 (7% 到8%) 内在价值变化率 (7% 到 5%) 7% 8% 5% 4% 68 60 87 -11.3% +28.7% 5% 78 70 100 -10.5% +27.1% 6% 89 80 112 -10.0% +25.8% 7% 100 90 125 - 9.8% +25.1% 8% 110 100 137 - 9.5% +24.4%

3、可赎回条款 可赎回条款：在一定时间内发行人有权赎回债券。 赎回价格 ：初始赎回价格通常设定为债券面值加上年利息，并且随着到期时间的减少而下降，逐渐趋近于面值。赎回价格的存在制约了债券市场价格的上升空间，并且增加了投资者的交易成本，降低了投资者的投资收益率 。 赎回保护期：即在保护期内，发行人不得行使赎回权，一般是发行后的5至10年 。

可赎回条款降低了该类债券的内在价值，并且降低了投资者的实际收益率。

例5-13：30年期的可赎回债券，面值为1000美元，发行价为1150美元，息票率8% (以半年计息)，赎回保护期为10年，赎回价格1100美元 。 赎回收益率 (YTC) ： 得：YTC=6.64% 到期收益率 (YTM) ： 得：YTM=6.82%

债券的溢价折价发行对影响公司的赎回决策的影响 如果债券折价较多，价格远低于赎回价格，即使市场利率下降也不会高于赎回价格，公司就不会赎回债券，也即折价债券提供了隐性赎回保护。对折价债券主要关注到期收益率。 溢价债券由于发行价较高，极易被赎回。故对溢价债券投资者主要关注赎回收益率。

4、税收 债券的税收待遇的关键为利息收入是否需要纳税 不同种类的债券可能享受不同的税收待遇 同种债券在不同的国家也可能税收待遇不同 我国税法规定：个人取得的利息所得，除国债和国家发行的金融债券利息外，应当缴纳20% 的个人所得税；个人转让有价证券获得资本利得的，除国债和股票外，也应缴纳20% 的个人所得税。 税收待遇是影响债券的市场价格和收益率的一个重要因素 ，如例5-14所示。

5、流动性 流动性是指债券投资者手中债券的变现能力。 债券的买卖差价的大小反映了债券的流动性。 在其他条件不变的情况下，债券的流动性与债券的名义到期收益率之间呈反比例关系 ；债券的流动性与债券的内在价值呈正比例关系。

6、违约风险 债券的违约风险是指债券发行人未履行契约规定支付的债券本金和利息，给债券投资者带来损失的可能性。 债券评级是反映债券违约风险的重要指标 。 债券评级分为两大类：投资级、投机级 。

风险程度 穆迪 标准普尔 还本付息能力极强,有可靠保证,承担风险最小 还本付息能力很强,但风险性比前者略高 风险程度  穆迪  标准普尔  还本付息能力极强,有可靠保证,承担风险最小  Aaa  AAA  还本付息能力很强,但风险性比前者略高  Aa1 Aa2 Aa3   AA+ AA AA-  安全性良好，还本付息能力一般，有潜在的导致风险恶化的可能性  A1 A2 A3   A+ A A-  安全性中等，短期内还本付息无问题，但在经济不景气时风险增大  Baa1 Baa2 Baa3   BBB+ BBB BBB-  有投机因素，不能确保投资安全，情况变化时还本付息能力波动大，不可靠  Ba1 Ba2 Ba3  BB+ BB BB-  不适合作为投资对象，在还本付息及遵守契约条件方面都不可靠  B1 B2 B3   B+ B B-  安全性极低，随时有无法还本付息的危险  Caa  CCC   极具投机性，目前正处于违约状态中，或有严重缺陷  Ca  CC   最低等级，完全投机性  C  债务违约  D 

债券评级主要财务比率 固定成本倍数 杠杆比率 （资产负债率） 流动性比率 盈利性比率 现金比率

Altman（1968） 的分离分析试验 用于预测公司违约风险 ，如图5-4所示。 Altman直线方程 ： Z=3.3息税前收益/总资产+99.9销售额/总资产+0.6股票市场价值/债务账面价值+1.4保留盈余/总资产+1.2营运资本/总资产 由于违约风险的存在 ，投资者更关注的是期望的到期收益率 ，而非债券承诺的到期收益率 ，如例5-15所示。

7、可转换性 转换率 ：每单位债券可换得的股票股数 市场转换价值 ：可换得的股票当前价值 转换损益 ：债券价格与市场转换价值的差额 可转换债券息票率和承诺的到期收益率通常较低。但是，如果从转换中获利，则持有者的实际收益率会大于承诺的收益率。

8、可延期性 可延期债券是一种较新的债券形式。与可赎回债券相比，它给予持有者而不是发行者一种终止或继续拥有债券的权利。 可延期债券的息票率和承诺的到期收益率较低。

与债券收益率的关系 债券属性 1.期限 2.息票率 3.可赎回条款 4.税收待遇 5.流动性 6.违约风险 7.可转换性 8.可延期性 当预期收益率 (市场利率) 调整时，期限越长，债券的价格波动幅度越大；但是，当期限延长时，单位期限的债券价格的波动幅度递减。 2.息票率 当预期收益率 (市场利率) 调整时，息票率越低，债券的价格波动幅度越大。 3.可赎回条款 当债券被赎回时，投资收益率降低。所以，作为补偿，易被赎回的债券的名义收益率比较高，不易被赎回的债券的名义收益率比较低。 4.税收待遇 享受税收优惠待遇的债券的收益率比较低，无税收优惠待遇的债券的收益率比较高。 5.流动性 流动性高的债券的收益率比较低，流动性低的债券的收益率比较高。 6.违约风险 违约风险高的债券的收益率比较高，违约风险低的债券的收益率比较低。 7.可转换性 可转换债券的收益率比较低，不可转换债券的收益率比较高。 8.可延期性 可延期债券的收益率比较低，不可延期的债券收益率比较高。

久期 麦考勒久期：F.R.Macaulay（1938）提出，使用加权平均数的形式计算债券的平均到期时间。 计算公式 ： 决定久期的大小三个因素：各期现金流、到期收益率及其到期时间。

表5-8 :Macaulay久期计算实例 某债券当前市场价格950.25元，到期收益率10%，息票率8%，面值1000美元，3年后到期，每年付一次利息，到期一次性偿还本金。 未来现金流支付时间 未来现金流(美元) 现值 系数 (美元) 未来现金流的现值 现值与支付时间的乘积 1 80 0.9091 72.73 2 0.8264 66.12 132.23 3 1080 0.7513 811.40 2434.21 合计 2639.17

债券组合的麦考勒久期 计算公式 ：

麦考勒久期定理 定理一：只有贴现债券的麦考勒久期等于它们的到期时间。 定理二：直接债券的麦考勒久期小于或等于它们的到期时间。只有仅剩最后一期就要期满的直接债券的麦考勒久期等于它们的到期时间，并且等于1 。 定理三：统一公债的麦考勒久期等于 ，其中y是计算现值采用的贴现率。

久期 定理四：在到期时间相同的条件下，息票率越高，久期越短。 定理五：在息票率不变的条件下，到期时间越长，久期一般也越长。 定理六：在其他条件不变的情况下，债券的到期收益率越低，久期越长。

定理四证明(DA=7.54，DB=7.27） 到期时间 现金流A 现金流B 现金流贴现值A 现金流贴现值B 现金流权重A 现金流权重B 1 80 100 76.19 95.24 0.06 0.07 2 72.56 90.70 0.12 0.13 3 69.11 86.38 0.17 0.19 4 65.82 82.27 0.21 0.24 5 62.68 78.35 0.25 0.28 6 59.70 74.62 0.29 0.32 7 56.85 71.07 0.36 8 54.15 67.68 0.35 0.39 9 51.57 64.46 0.38 0.42 10 1080 1100 663.03 675.30 5.38 4.87

债券价格的变动比例等于麦考勒久期乘上到期收益率微小变动量的相反数 麦考勒久期与债券价格的关系 假设现在是0时刻，连续复利，债券持有者在ti时刻收到的支付为ci (1≤i≤n)，则债券价格P和连续复利到期收益率yˊ的关系为： 债券价格的变动比例等于麦考勒久期乘上到期收益率微小变动量的相反数

修正久期 当收益率采用一年计一次复利的形式时，人们常用修正的久期 (D*) 来代替麦考勒久期。 修正久期的定义： 修正的久期公式：

凸度 凸度是指债券价格变动率与收益率变动关系曲线的曲度。 如果说马考勒久期等于债券价格对收益率一阶导数的绝对值除以债券价格，类似地，债券的凸度 可定义为债券价格对收益率二阶导数除以价格。即

久期的缺陷 现实生活中，债券价格变动率和收益率变动之间的关系并不是线性关系，而是非线性关系 。久期估计得到的与事实不符。

图5-5. 价格敏感度与凸度的关系 不同凸度的收益率变动幅度与价格变动率之间的真实关系 用久期近似计算的收益率变动与价格变动率的关系

图5-5说明的问题： 当收益率下降时，价格的实际上升率高于用久期计算出来的近似值，而且凸度越大，实际上升率越高；当收益率上升时，价格的实际下跌比率却小于用久期计算出来的近似值，且凸度越大，价格的实际下跌比率越小。 这说明： （1）当收益率变动幅度较大时，用久期近似计算的价格变动率就不准确，需要考虑凸度调整； （2）在其他条件相同时，人们应该偏好凸度大的债券。

考虑凸度的收益率变动幅度与价格变动率之间的关系 考虑凸度的收益率变动和价格变动关系： 当收益率变动幅度不太大时，收益率变动幅度与价格变动率之间的关系就可以近似表示为 ：

免疫 免疫技术：由Readington(1952) 提出，投资者或金融机构用来保护他们的全部金融资产免受利率波动影响的策略。 久期免疫：如果资产组合的久期选择得当，这一资产组合的久期恰好与投资者的持有期相等时，价格风险与再投资风险将完全抵消，到期时投资组合的累积价值将不受利率波动的影响。 构造免疫资产：先计算实现承诺的现金流出的久期，然后投资于一组具有相同久期的债券资产组合。

久期免疫的进化 久期免疫的缺陷：一般来说，久期会低估利率变动带来的预期收益或损失。 改进方法：考虑凸度可以提高利用久期得到的结果 ，尤其是在利率变化很大时，凸度可以修正通过久期得到关于债券价格变化的估计。