备战学而思杯之 计算（四年级） 于右玲

　年份 计算 几何 数论 应用题 行程 计数 组合 总分　 2014 分值 41 22 15 6 12 32 150 百分比(%) 27% 15% 10% 4% 9% 20% 100% 2013 45 23 28 27 30% 0% 18% 2012 16 18 17 38 20 29 12% 11% 25% 13% 2011 30 10 34 24 7% 22% 8% 16% 2010 5 7 8 100 5%

计算模块常考点 等差数列 多位数计算 数表 定义新运算 凑整 提取公因数 常用公式 方程

01 part 等差数列 第n项=首项+（n-1）×公差 项数=（末项-首项）÷公差+1 和=（首项+末项）×项数÷2 和=中项×项数 模板来自于 http://meihua.docer.com/ 和=（首项+末项）×项数÷2 和=中项×项数

例 1. 已知5 , 9, 13，17，……，141，问： （1）这个数列中第20个数是多少？ （2）85是这个数列中的第几个数？ （3）这个数列一共有几项？ （4）这个数列中所有的数加起来，和是多少？ （5）这个数列的中间项是多少？ 5＋4×（20-1）= 81 （85－5）÷4＋1=21 （141－5）÷4＋1=35 （5＋141）×35÷2=2555 （141＋5）÷2=73

例 2. 8 (1)一个五层书架共放了450本书，上层书比下层书少10本。 请问最上层放几本书？ (2) 计算：3、5、7、9、11、13 这 6 个数的平均数是 _________. 中间一层放了？ 450÷5=90本书 最上层有90－20=70本。 8

用公式定义 用规律例子定义 02 part 定义新运算 模板来自于 http://meihua.docer.com/ 从左到右 先算括号

例 3. 计算：3△4※5 【答案】 3△4=3×3＋2×4=17, 17※5=3×17－2×5=41 我们规定a※b表示为3倍的a减去2倍的b， 即a※b=3a－2b，例如3※2=3×3－2×2=5； 同时，a△b表示3倍的a加上2倍的b， 即a△b=3a＋2b，例如1△2=1×3＋2×2=7 计算：3△4※5 【答案】 3△4=3×3＋2×4=17, 17※5=3×17－2×5=41

例 4 (13年学而思杯) 定义: a © b = (a + b ) (a - b ) + b² ，那么下面算式的计算结果是多少? 10 © 1 + 10 © 2 + 10 © 3 + 10 © 4 + 10 © 5 + 10 © 6 + 10 © 7 + 10 © 8 +10 © 9 + 10 © 10 先看能否化简~

03 part 小数和多位数巧算 换元法 凑整 （直接提取） （移动小数点创造公因数） 提取公因数 （拆分因数创造公因数） 模板来自于 http://meihua.docer.com/ （直接提取） （移动小数点创造公因数） （拆分因数创造公因数） 提取公因数

例 4.凑整 （1）2006＋200.6＋20.06＋2.006＋994＋99.4＋9.94＋0.994 （2）0.8＋0.98＋0.998＋0.9998＋0.99998 （3）3.71－2.74＋4.7＋5.29－0.26＋6.3 【答案】 （1）原式=（2006＋994)＋(200.6＋99.4)＋(20.06＋9.94)＋(2.006＋0.994） =3333 （2）原式=5－(0.2＋0.02＋0.002＋0.0002＋0.0002) =4.77778 （3）原式=(3.71＋5.29)+(4.7＋6.3)－(2.74＋0.26)=9＋11－3=17

例 4. 多位数计算 19+199+1999+19999+199999+1999999 9999999×7654321 【解析】 19+199+1999+19999+199999+1999999 =20+200+2000+20000+200000+2000000 =2222220-6 =2222214 999999×654321 =（1000000-1）×654321 = 654320345679

例 5 4.7×8.4+ 9.4×19 + 4.7×3.6 37×99+111×67 20.09×31.5+2.009×317+200.9×3.68= 【解析】 235 11100 2009

小挑战！ 1981×198319831983-1982×198119811981 99…9 （100个9）×99…9（100个9）+199…9（100个9） 【答案】198119811981 100…0（200个0）

例 5.换元法 计算 (1＋0.23＋0.34)×(0.23＋0.34＋0.45)－(1＋0.23＋0.34＋ 0.45)×(0.23＋0.34) 【难度】 ☆ ☆ ☆ 【答案】 设a=0.23＋0.34,b=0.23＋0.34＋0.45，则 原式=(1＋a)b－(1＋b)a =b＋ab－a－ab =b－a =0.45

04 part 乘方和各种公式 平方差公式 平方和公式 同底数幂的乘法、除法 乘法的乘方 幂的乘方 模板来自于 http://meihua.docer.com/ 平方差公式 平方和公式

例 6. （1）（28 ×39）×（29×38） （2）（28×39）5 【答案】 （1）617 ；（2）240 × 335

例题7.平方差与平方和 （1）59 ×61 （2）78 ×82 （3）1002 －992 ＋982 －972 ＋ …22 － 12 【答案】 （1）原式=(60－1)×(60＋1)=602－12 = 3600－1=3599 （2）原式=(80－2)×(80＋2)=802 －22 = 6400－4=6396 （3）原式=(100＋99)×(100－99)＋(98＋97)×(98－97) ＋ … ＋（2＋1)×(2－1） =100＋99＋98＋97 ＋…＋2＋1=5050

小挑战！ 𝟏𝟎𝟎 𝟐 + 𝟗𝟗 𝟐 - 𝟗𝟖 𝟐 − 𝟗𝟕 𝟐 + 𝟗𝟔 𝟐 + 𝟗𝟓 𝟐 - 𝟗𝟒 𝟐 - 𝟗𝟑 𝟐 +…+ 𝟒 𝟐 + 𝟑 𝟐 - 𝟐 𝟐 - 𝟏 𝟐 【答案】10100

例 8. 1×2+2×3+…+48×49+49×50= 平方和公式： 整数裂项： 41650

=(1² +2² +3² + …… + 9²+10²)+ (1×2 + 2×3 +……+ 9×10) 例 9 1² +1×2 + 2²+ 2×3 +3²+……+ 9²+ 9×10 +10²= =(1² +2² +3² + …… + 9²+10²)+ (1×2 + 2×3 +……+ 9×10) = 10×11×21÷6 + 9×10×11÷3 = 385 + 330 = 715

05 part 数表 模板来自于 http://meihua.docer.com/

例 9.数表中的位置关系 设“十”字中间的数（图中16所在的位置）是x 那么十字中的5个数字的和是5x 如图，自然数中每9个一行的排列，如用如图所示的“大”字型覆盖7个数并求和， 且和为246，那么最大的数为＿＿＿（“大”字不能旋转或翻转）。 【答案】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 …… 设“十”字中间的数（图中16所在的位置）是x 那么十字中的5个数字的和是5x 7个数的和是5X＋(x＋18)×2=246，解得x=30, 那么最大的数是30＋9×2＋1=49.

例 10. （上难度啦） 如图，把从1开始的自然数按某种方式排列起来，请问： （1）150排在第几行第几列？ （2）第5行第10列的数是多少？ 【答案】 （1）第6行 第13列 （2）81+5=86 1 2 5 10 … 4 3 6 11 … 9 8 7 12 … 16 15 14 13 … 25 … … … … … … … … …