数学思想方法在 小学数学的渗透 人民教育出版社小学数学室 陶雪鹤

　 学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了．然而不管他们从事什么职业，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。 米山国藏

一 、什么是数学思想方法（可从两方面认识） 对数学知识和所使用的方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。 可从两方面来理解的：广义理解、狭义理解。 基本数学思想：指从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它在后继认识中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征。包括符号与变元表示的思想，集合思想，对应思想，公理化与结构思想，数形结合的思想，化归的思想，函数与方程的思想，极限思想等。 中小学数学教育、教学中传授的数学思想，应该都是基本数学思想。

数学方法 数学思想指导下的解决数学问题过程中所运用的具体手段（或途径）。 具体点说是以数学语言为工具进行科学研究的方法。 数学思想与数学方法既有区别又有密切的联系。 差异性：数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性和具体性。数学思想是数学方法实施的依据，数学方法是数学思想得以实现的手段。 同一性：表现在“数学思想与数学方法同属方法论的范畴”它们有时是等同的。 人们一般将数学思想与数学方法统称为数学思想方法。

二、小学数学涉及到的数学思想方法 集合思想 符号化思想 方程思想 化归思想 函数思想 极限思想 统计思想 模型思想

符号化思想 什么是数学？数学就是符号加逻辑。 S =π r 2 罗素 英国著名哲学家数学家

1．数学符号系统的形成。 萌芽状态 从数学早期到17世纪以前，数字的符号化处于低级的萌芽状态。这个时期的数学家虽然有时也创用一些符号来代替文字，但其思想总不能脱离具体的事和物，和“符号化”还有相当的距离。以记数符号为例。 这个时期的数学家还没有形成有意识地、普遍地用符号来表达数学的思想。以代数的发展为例。人们把代数的发展分为三个阶段： 文字叙述代数:全部计算或推理都用文字语言来表达。 缩写代数：对常出现的量和运算等用缩写方法来表述。 符号代数：在运算或推理中普遍使用符号。

加 减 17世纪以前的代数基本上是文字叙述代数和缩写代数。 比如埃及的草片文书中，用一个人走近和走开的腿形来分别表示加法和减法）. 古代的数学文章中，即使有零星记号出现（也是偶然的、个别的、随意的。 加 减 比如埃及的草片文书中，用一个人走近和走开的腿形来分别表示加法和减法）. 17世纪以前，自觉地采用缩写方式简化数学表达的，只有希腊数学家丢番图（Diophantus ）。 他在著名的《算术》中创用了一套缩写符号。 （公元250年前后）

有意识地、普遍地运用符号 a, b, c表示已知数 xiii- 9xii+26x - 24∞0 x3 - 9x2 +26x - 24=0 从17世纪开始，数学家们的著作中出现了大量的数学符号，代数由缩写代数走向符号代数。 对符号代数的形成做出重要贡献的主要是法国的韦达（Viete）和笛卡尔（Descartes）。 韦达 (1540-1603) 笛卡尔 (1596-1650 ) a, b, c表示已知数 x, y, z 表示未知数 A、E、I、O 表示未知数 B、G、D 表示已知数 xiii- 9xii+26x - 24∞0 x3 - 9x2 +26x - 24=0

开始注意符号的科学性和合理性。 17世纪后半叶，数学家们不仅普遍地使用符号去表述、研究数学，而且开始注意符号的科学性和合理性。反复研究用怎样的符号才能简洁、准确地反映数学概念的本质。 莱布尼兹 (1646年－1716年 ) 1673年他创用了微分符号：dx,dy 1675年他又创用了积分符号： ∫（是sum的第一个字母的拉长） 当时牛顿及许多数学家使用的微分符号是： x y ·

从17世纪开始，大量的数学符号一方面根据“适者生存”的规律，另一方面借助著名数学家的名声，迅速地成为整个数学界约定共同使用的符号。 如，17世纪以前，表示相等关系的符号有： ［，‖，∞，= 等 其中“=”是1557年英国数学家雷科德首创的。 直到17世纪后半叶，在被牛顿、莱布尼兹使用后，由于他们的名声，加之“=”确切地表示了相等的含义，使用也方便，才成为数学界约定共同使用的符号。

建立约定的规范的数学符号系统 2．符号化思想的含义。 人们有意识地、普遍地运用符号去表述、研究数学的思想。 17、18两个世纪里，形成共同约定的、规范的、形式化的数学符号系统。 由三个层次构成： 基本符号：+ ，-；△，□；a，x。 组合符号：“3×2”“a +b”“n!” 公式符号：“3×2＜7”“a +b =b +a”“a∥b” 2．符号化思想的含义。 人们有意识地、普遍地运用符号去表述、研究数学的思想。

Í 3．小学数学中常用的数学符号。 ∥ Ａ B 元素符号：表示数和几何图形的符号。 如：阿拉伯数字；表示数的字母，表示常数的字母π； 　如：阿拉伯数字；表示数的字母，表示常数的字母π； 　　　“∠”表示角，“△”表示三角形等。 运算符号：如：＋、－、 ×、÷。 关系符号：表示数、式、图形或集合之间的关系的符号称为关系符号。 　 　如： =, ≈, >, <等。 Í ∥ Ａ B 性质符号：表示数或形的性质符号。如：正号“＋”负号“－”。 结合符号：如：( 　)〔 〕{ }等。

4．符号化思想在小学数学教材中的体现。 a+b=b+a S=ab a÷2 5 (b+c) m -4 在概念的形成过程中，体现出数学符号对概念本质反映的特点。　 在表示一些关系式时，渗透符号抽象、简明、易记的特点。 a+b=b+a S=ab 教学用字母表示数，体现代数式的特点。 a÷2 5 (b+c) m -4

5．在教学中渗透符号化思想。 从概念的本质揭示符号的意义。 10以内数的认识。 负数的认识。 适当介绍符号的形成过程。 从概念的本质揭示符号的意义。 　 10以内数的认识。 负数的认识。 适当介绍符号的形成过程。 　 五下分数 采取适宜方式，帮助学生理解用代数式表示数量关系的概括性。 　

方程思想 1. 什么是方程思想？ 例 在解决问题时，将已知量和未知量之间的数量关系，通过适当设元建立方程，然后求解使问题得到解决的思维方式。 　 在解决问题时，将已知量和未知量之间的数量关系，通过适当设元建立方程，然后求解使问题得到解决的思维方式。 　方程思想是解决问题的重要思想方法。 “牛吃草”问题。 例

2. 算术思维与方程思维的特点。 算术思维 方程思维 未知量、已知量地位不同。 思考过程往往是逆向的。 未知量、已知量地位同等，便于分析数量关系。 具有形式化、一般化的特点。 思考过程往往是顺向的。

从思维发展的角度来说，代数的方法具有一般性、普遍性 。 　从思维发展的角度来说，代数的方法具有一般性、普遍性 。 鸡兔同笼 　 四则难题制造了许许多多的奇招怪招。但是你跑不远更不能腾飞… … 可是一引进代数方法, 这些东西都变成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了, 而且每个人都可以做, 用不着天才人物想出许多招来才能做,非但可以跑得很远而且可以腾飞。 吴文俊

3.克服方程思维学习的障碍。 适当加强文字语言与代数式“互译”的训练。 采用多种方法引导学生找出等量关系。 列代数式。 适当加强文字语言与代数式“互译”的训练。　 　列代数式。 　说出代数式表示的具体含义。 　设定字母，列代数式。 采用多种方法引导学生找出等量关系。　 　直观呈现数量关系。 　半独立写等量关系。 　设定未知量，列方程。

化归思想 1. 什么是化归思想？ 将待解决的问题，通过某种转化过程，归结为另一个已解决或较易解决的问题的方法。 　化归思想是数学家最擅长的思想方法。

2. 化归思想常用的几种方法。 分割法。　 例 把要解决的问题分成若干个小问题，然后逐一求解，达到整个问题解决的方法。　 过程：

例 例 变形法。 对不易直接解决的问题，加以适当变形，实现由难到易的化归，达到问题解决。 映射法。 变形法。　 例 对不易直接解决的问题，加以适当变形，实现由难到易的化归，达到问题解决。　 映射法。　 例 是指在两类数学对象或两个数学集合的元素之间建立某种“对应关系”，通过映射将原来的问题化归为新问题，在解决新问题的同时，原问题也得以解决。

3. 在小学数学教学中渗透化归思想。 明确渗透化归思想的教材因素。 注意在教学中渗透化归思想。 注意应用化归思想解决教学中的问题。 数与代数 几何图形面积公式的推导 注意在教学中渗透化归思想。 注意应用化归思想解决教学中的问题。

函数思想 什么是函数？ 1. 什么是函数思想？ 用运动、变化的观点去描述客观世界中量与量之间互相依赖、互相制约的关系的思想。 　 用运动、变化的观点去描述客观世界中量与量之间互相依赖、互相制约的关系的思想。 　量与量之间的依赖关系是用函数来描述的。 什么是函数？

2. 小学数学涉及的几种函数。 正比例函数: y = k x ( k≠0 ）。 一次函数: y= k x + b( k≠0) 。 商不变时, 被除数与除数; 正方形的周长与边长：C 正方形＝4a。 一次函数: y=　k　x　+　b( k≠0) 。　 一元二次函数: y =　a　x 2 +　bx + c ( a≠0 ） S 正方形＝a 2, 　S 圆＝　r 2 　 反比例函数（ y　=　k/ x 　, 　k ≠0）。　

3. 函数思想在小学数学教材中的体现。 渗透变量的概念。 渗透两个变量的依存关系。 教学正、反比例，揭示两个相关联的变量的关系。

极限思想 1. 什么是极限思想？ 研究变量在一定的变化过程中的终极状态的思想。 1 n 1 3 1 2 1 4 … … 1

极限 极限描述性的定义： 对于数列 {an }: a1 , a2 , a3 , …, an , … 如果当 n 无限增大时，an无限趋近于一个常数 A，则称 {an } 以 A为极限。记作: lim n a ®¥ = A

2. 我国古代的极限思想 3. 在小学数学教学渗透极限思想 4. 运用极限思想对一些问题做出正确的解释。 极限思想的萌芽。 极限思想的应用。 帮助学生理解无限。 通过直观手段，帮助学生理解“无限逼近”。 4. 运用极限思想对一些问题做出正确的解释。

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