第3章 光的衍射 光的衍射现象是光波动性的另一主要标志，也是光波在传播过程中的最重要属性之一。 第3章 光的衍射 光的衍射现象是光波动性的另一主要标志，也是光波在传播过程中的最重要属性之一。 本章将在基尔霍夫标量衍射理论的基础上，研究两种最基本的衍射现象及其应用：菲涅耳衍射（近场衍射）和夫朗和费衍射（远场衍射）

3.1.1 光的衍射现象 § 3.1 衍射的基本理论 衍射：光在传播中遇到障碍物时，偏离原来传播方向进入障碍物的几何阴影区的现象 光的衍射现象的本质：无限多个相干光的叠加结果 光的干涉是有限个相干光的叠加

（1） 衍射现象的基本物理特征 光的衍射现象，属于光在传播过程中因与物质发生相互 作用（即光遇到障碍物）而表现出来的一种传播行为。 具体地讲就是，在各向同性的、均匀的、线性稳定介质 中，一束光在其前进的道路上，当遇到障碍物时因光波的波 振面受到限制，其波振面就要发生连续畸变；与之相应，光 能量（或者光能流）的传播方向、传播径迹和传播路径—— 即光线的方向就要发生连续的弯曲。其结果导致：光的传播 严重背离几何光学中的直线传播定律，使光能量（或者光能 流）即光线进入几何阴影区，并在障碍物之后的观察屏上形 成了一系列明暗相间的、非均匀的、稳定的、具有空间周期 性的光强分布。

（2）. 衍射现象的物理本质 光波波振面上的每一点，都可以作为新的子波源，由它 们发出新的球面子光波。这些球面子光波由于是从同一个光 源所发出的同一束光的同一个波振面上产生的，因而它们满 足相干光条件，所以当它们在观察屏上相遇时就会相干叠加 并形成子波的干涉现象，这无限多个子波干涉之后的宏观表 现便构成了光的衍射现象。所以，衍射在本质上属于干涉， 而且是一种特殊的干涉现象。

必须强调指出的是：尽管我们已经知道，在各向同性 的、均匀的、稳定的线性介质中，光遇障碍物时其传播路径 和传播方向等要发生连续弯曲，但是，当光离开障碍物之后 其传播路径和传播方向等仍然接近直线传播。因此，在实际 计算中，我们仍然以直代曲，对其进行必要的理论分析和理 论处理。由此产生的误差很小，可以忽略不计。

（3）. 衍射的分类 按照光源及被观察点在空间的相对位置来划分，光的衍 射现象可以分为两类：远场衍射和近场衍射。 远场衍射 当光源及被观察点在无限远或者相当于无限远处时，所 产生的一类衍射现象，叫做远场衍射。远场衍射又叫做夫琅 和费衍射。远场衍射的特点就在于，所用光波是理想的、均 匀的平行平面光波，其波振面是理想的平行平面。 近场衍射 当光源及被观察点均在有限远处时，所产生的一类衍射 现象，叫做近场衍射。近场衍射又叫做菲涅耳衍射。近场衍 射的特点是，所用光波不是平行平面光波，其波振面不是理 想的平行平面。

3.1.2 惠更斯－菲涅尔原理 （1）、惠更斯原理： 1690年，惠更斯在其著作《论光》中提出假设：“波前上的每一个面元都可以看作是一个次级振动中心，它们能产生球面子波”，并且：“后一时刻的波前的位置是所有这些子波前的包络面。” “波前” ：光源在某一时刻发出的光波所形成的波面（等相面）。“次级振动中心可以看成是一个点光源”，又称为“子波源”。

图 3-2 惠更斯原理 图示

（2） ．惠更斯－菲涅尔原理 波动具有两个基本性质，一方面，它是振动的传播，一点的振动能够引起其它点的振动，各点相互之间是有联系的。另一方面，它具有时空周期性，能够相干迭加。 惠更斯原理中的“次波概念反映了上述前一基本性质，这是其成功的地方。但“时空周期性”并没有反映。 利用惠更斯原理，可以说明衍射的存在，但不能确定光波通过衍射屏后沿不同方向传播的振幅，因而也就无法确定衍射图样中的光强分布。

（2）、惠更斯－菲涅耳原理 研究衍射现象的理论基础： 在惠更斯原理中，由于缺少对时空周期性的反映，从而对各次波如何叠加问题就不能给出令人满意的回答。 1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳出人意料地取得了优胜，他吸收了惠更斯提出的次波概念，用“次波相干迭加”的思想将所有衍射情况引到统一的原理中来,这个原理就是惠更斯菲涅耳原理。

其内容如下： 如图所示：“波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作是一个频率（或波长）与入射波相同的子波源；在其后任何地点的光振动，就是这些子波叠加的结果。” s为点波源，∑为从S发出的球面波在某时刻到达的波面，P为波场中的某个点。要问，波在P点引起的振动如何？

惠更斯－菲涅耳原理的基本思想 应该把∑面分割成无穷多的面元d ∑ ，把每个面元d ∑看成发射次波的波源，从所有面元发射的次波将在P点相遇。 一般说来，由各面元d ∑到P点的光程是不同的，从而在P点引起的振动相位不同，P点的总振动就是这些次波在这里相干叠加的结果。 是相干叠加→复振幅叠加 如图所示。点光源S在波面∑’上任一点Q产生的复振幅为

A是离点光源单位距离处的振幅 R是波面∑’的半径 在Q点处取面元dσ，面元发出的子波在P点产生的复振幅与在面元上的复振幅 、面元大小和倾斜因子K(θ)成正比。 面元dσ在P点产生的复振幅可以表示为

K(θ)表示子波的振幅随面元法线与QP的夹角θ的变化。（ θ称为衍射角） c为一常数,r=QP 菲涅耳假设：当时θ=0 ，倾斜因子K有最大值，随着增加θ↑ ，K减小 当θ≥π/2时，K=0 对P点产生作用的将是波面∑’中界于z z’范围内的波面∑上的面元发出的子波

此即为惠更斯－菲涅耳原理的表达式

3-1-3 基尔霍夫衍射积分公式 如前所述，1818年菲涅耳提出了惠更斯－菲涅耳原理，并给出了菲涅耳衍射积分公式。最初菲涅耳作的各项假设时，只凭朴素的直觉。 六十余年后，基尔霍夫（1882年）建立了一个严格的数学理论，证明菲涅耳的设想基本上正确，只是菲涅耳给出的倾斜因子不对，并对其进行了修正。

假设有一个单色光波通过闭合曲面Σ传播，在t 1．基尔霍夫积分定理 假设有一个单色光波通过闭合曲面Σ传播，在t 时刻、空间P点处的光电场为： 若P是无源点，该光场应满足如下的波动方程： 由此可得： k=ω/c，该式称为亥姆霍兹(Helmholtz)方程

利用格林定理可得 这就是亥姆霍兹—基尔霍夫积分定理。它将P点的光场与周围任一闭合曲面Σ上的光场联系了起来，实际上可以看作是惠更斯—菲涅耳原理的一种较为完善的数学表达式。

λ<δ<<Min(r,l) 2. 基尔霍夫衍射公式 将基尔霍夫积分定理应用于小孔衍射问题，在某些近似条件下，可以化为与菲涅耳表达式基本相同的形式。有一个无限大的不透明平面屏，其上有一开孔Σ， 用点光源S照明，并设Σ的线度δ满足： λ<δ<<Min(r,l)

其中，Min(r,l)表示r, l中较小的一个。为了应用基尔 霍夫积分定理求P点的光场，围绕P点作一闭合曲面。该闭合 曲面由三部分组成：开孔Σ，不透明屏的部分背照面Σ1， 以P点为中心、R为半径的大球的部分球面Σ2。在这种情况 下，P点的光场复振幅为：

由三个面上求出 S P R 2 1  r (n, r) ℓ n 图3-5 此式称为菲涅耳—基尔霍夫衍射公式

基尔霍夫衍射公式 与惠更斯－菲涅耳原理的表达式比较：

可得：

如果将积分面元dσ视为次波源的话，基尔霍夫衍射积分方程可解释为： ① P点的光场是Σ上无穷多次波源产生的，次波源的复 振幅与入射波在该点的复振幅 成正比，与波长λ 成反比； ②因子(-i)表明，次波源的振动相位超前于入射波π/2； ③ 倾斜因子K(θ)表示了次波的振幅在各个方向上是不同 的，其值在0与1之间。如果一平行光垂直入射到Σ上，则 cos(n,l)=-1, cos (n,r) =cosθ，因而：

当θ=0时，K(θ)=1, 这表明在波面法线方向 上的次波贡献最大; 当θ=π时，K(θ)=0。这一结论说明, 菲涅耳 在关于次波贡献的研究中假设K(π/2)=0 是不正确 的。

3、巴俾涅(Babinet)原理 互补屏：两个衍射屏，其一的通光部分正好对应另一的不透光部分，反之亦然。 表达式： 即：在 的那些点， 两个互补屏单独产生的强度相等。

4．基尔霍夫衍射公式的近似 应用基尔霍夫公式来计算衍射问题，由于被积函数的形式比较复杂，因此，一般对其作一些近似处理。 1).傍轴近似： 若点光源离开孔足够远，使入射光可看成垂直入射到开孔的平面波，对于开孔各点都有 如图所示： 有 y1 x1 C Q K z1 ∑ P P0 y x E

①.cos(n,r)≈1, 于是K(θ)≈1； ②.r≈z1 。 3. 基尔霍夫衍射积分方程的近似 应用基尔霍夫公式来计算衍射问题，由于被积函数的形式比较复杂，因此，一般对其作一些近似处理。 1).傍轴近似： 在一般的光学系统中，对成像起主要作用的是那些与光学系统光轴夹角极小的傍轴光线。 对于傍轴光线，如图 所示的开孔Σ的线度和观察屏上的考察范围都远小于开孔到观察屏的距离， 因此，下面的两个近 似条件通常都成立： y1 x1 C Q K z1 ∑ P P0 y x E ①.cos(n,r)≈1, 于是K(θ)≈1； ②.r≈z1 。

这样，基尔霍夫衍射积分方程便可以简化为下列形式：

2）.距离近似——菲涅耳近似和夫朗和费近似 图 3 - 8 光的衍射现象的空间演变过程

当然，近场、远场的划分是相对的，对一定波长的光来说，衍射孔径愈大，相应的近场与远场的距离也愈远。 在K2、K3及其前后的范围内的衍射现象称为近场衍射或菲涅耳衍射而在很远处(如K4面上)的衍射现象称为远场衍射或夫朗和费衍射。 当然，近场、远场的划分是相对的，对一定波长的光来说，衍射孔径愈大，相应的近场与远场的距离也愈远。 此外，如果入射光波不是平面波而是发散的球面波，则近场图样将移到更远的距离范围，而远场图样可能不再出现。

①.菲涅耳近似——近场近似 如图3 - 6,设 ，则由几何关系有： 当z1大到满足：

时，上式第三项及以后的各项都可略去，简化为： 这一近似称为菲涅耳近似，在这个区域内观察到的衍射现象 叫菲涅耳衍射(或近场衍射)。在菲涅耳近似下，P点的光场复 振幅为：

②.夫朗和费近似——远场近似 当观察屏离孔的距离满足： 时，可将r进一步简化为： 这一近似称为夫朗和费近似，在这个区域内观察到的衍 射现象叫夫朗和费衍射(或远场衍射)。

在夫朗和费近似下，P点的光场复振幅为： 菲涅耳衍射和夫朗和费衍射是傍轴近似下的两种衍射情况，二者的区别条件是观察屏到衍射屏的距离z1与衍射孔的线度(x1,y1)之间的相对大小。例如，当λ=0.63 μm，孔径线度为2 mm，观察距离z1>>1cm时为菲涅耳衍射，z1 >> 3 m时为夫朗和费衍射。

图给出了菲涅耳衍射区和夫琅和费衍射区的示意图，对应的衍射图具有不同的性质，后面将分别讨论。 1.菲涅尔衍射 点源 有限距离观察 s 孔径面 观察面 2.夫琅和费衍射 平面波 无限远处观察

光的衍射内容回顾 一、惠更斯－菲涅尔原理 惠更斯原理： 内容：“波前上的每一个面元都可以看作是一个次级扰动中心，它们能产生球面子波”，并且：“后一时刻的波前的位置是所有这些子波前的包络面” 作用：利用惠更斯原理，可以说明衍射的存在； 存在的问题：不能确定光波通过衍射屏后沿不同方向传播的振幅，因而也就无法确定衍射图样中的光强分布。

一、惠更斯－菲涅尔原理 惠更斯－菲涅耳原理 1.内容：“波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作是一个频率（或波长）与入射波相同的子波源；在其后任何地点的光振动，就是这些子波叠加的结果。” 2.表达式：

或： 3.菲涅耳假设：当时θ=0 ，倾斜因子K有最大值，随着θ增加 ，K(θ)减小。 当θ≥π/2时， K(θ) =0。 4.存在的问题： 没有给出K(θ) 的形式，实际上很难进行定量计算，后来的基尔霍夫衍射理论解决了此问题。

二、基尔霍夫衍射理论 菲涅耳－基尔霍夫公式

上式可写为 与惠更斯－菲涅耳原理的表达式相同

四．基尔霍夫衍射公式的近似 1).傍轴近似： 对于傍轴光线 ①.cos(n,r)≈1, 于是K(θ)≈1； ②.r≈z1 。 y1 x1 Q K z1 ∑ P P0 y x E 对于傍轴光线 ①.cos(n,r)≈1, 于是K(θ)≈1； ②.r≈z1 。

①.菲涅耳近似——近场近似 ②.夫朗和费近似——远场近似