材料力学 第五章 弯曲变形

+ - + 4-23 许用应力：160/80/50 MPa 画出剪力及弯矩图 形心坐标： 组合图形对Z轴的惯性矩为： 正应力校核： 切应力校核(可参考工字形截面量的计算公式)： 其中： + 故： 焊接面上切应力校核： 故该梁的许可载荷为 141 kN 2

弯曲变形 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 挠曲线近似微分方程 F x y C q C1 积分法求梁的变形：对挠曲线近似微分方程积分二次，应用 位移边界条件、连续光滑条件求积分常数。

5-2(b) 约束条件： 连续条件： 光滑条件： 求梁的支反力： 分段列微分方程并积分： A点的挠度与转角为：

+ 5-6 图(1) 图(2) 计算支反力： 用逐段刚化法将图形分解： （1）刚化DH段，将外载等效到D点，得图（1）， 其中力F平衡到D点后可计入D点支反力，因 此不用单独列出，即此时 （2）刚化ACD段，DH段可等效为一段悬臂梁，则ACD 段等效到D点的外力都可看成D点的支反力 （包括剪力和弯矩），不需单独列出，得图（2） + 图(1) 图(2) 5

5-6 + 图(a) 图(b) 图(1) 图（1）又可分解为图（a）与图（b）的叠加,H点的挠度包括由AB梁的变形，B点位移引起的H点的牵连变形，如图（c）；和在弯矩Fl3作用下，简支梁BD变形引起的H点的牵连位移。 故有： 图(c)

弯曲变形 例题 试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠度 yC 和两支座截面的转角qA 及 qB。

弯曲变形 分析：作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。 (a) (b)

弯曲变形 C 在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，利用本教材附录C表中第五种情况下的公式有

弯曲变形 在集度为q/2的反对称均布荷载作用下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的，故有 C 注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简支梁。于是利用附录C表中第五种情况下的公式有

弯曲变形 (a) 按叠加原理得

弯曲变形 梁的刚度计算 一、梁的刚度条件 其中[]称为许用转角；[y/L]称为许用挠跨比。 三种刚度计算： 、校核刚度： 吊车梁：[y/L]=(1/500~1/750)，（L为跨长） 机械中的一般轴：[y/L]= (0.0003～0.0005) 机械中的精密轴：[y/L]= (0.0001～0.0002) 轴上齿轮处：[q ] = (0.001～0.002) rad(弧度) 其中[]称为许用转角；[y/L]称为许用挠跨比。 三种刚度计算：　　 、校核刚度：　 、设计截面尺寸； 、设计载荷。 (但：对于一般的梁，强度常处于主要地位， 刚度常处于从属地位。特殊构件例外）

弯曲变形 梁的强度 梁的刚度 保证梁的具有足够抵抗破坏的能力 保证梁不发生过大的变形 过大的变形的危害 例1：车床主轴变形过大，影响其加工精度。 例2：高层建筑上部变形过大， 会使其中的居民产生不安全感。 例3：传动轴变形过大，会影响齿轮啮合，产生噪音 损坏齿轮和轴承

弯曲变形 例 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的[y/L]=0.0001,B点的[]=0.001弧度,试核此杆的刚度。 F L=0.4m F2=2kN A C a=0.1m 200mm D F1=1kN B F2 B C D A = = F2 B C a F1=1kN A B D C + F2 B C D A M + F2=2kN B C D A

= + + 弯曲变形 F L=400mm F2=2kN A C a=0.1m 200mm D F1=1kN B 解：结构变换，查表求简单 载荷变形。 = F1=1kN A B D C 图1 + F2 B C a 图2 + F2 B C D A M 图3

= + + 弯曲变形 F L=400mm F2=2kN A C a=0.1m 200mm D F1=1kN B 叠加求复杂载荷下的变形 图1 + F2 B C a 图2 + F2 B C D A M 图3

弯曲变形 校核刚度 故满足刚度要求

弯曲变形 如何提高梁的承载能力? 强度：正应力： 切应力： 刚度： 稳定性： 都与内力和截面性质有关。

英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义 »一书中指出: 弯曲变形 一、选择梁的合理截面 矩形木梁的合理高宽比 R b h 北宋李诫于1100年著«营造法式 »一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5 英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义 »一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为

弯曲变形 常用的合理截面 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 z D z a

弯曲变形 z D 0.8D a1 2a1 z

弯曲变形 0.8a2 a2 1.6a2 2a2 z 工字形截面与框形截面类似。

弯曲变形 2、根据材料特性选择截面形状 如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图： z G s 二、采用变截面梁 最好是等强度梁，即 P x 若为等强度矩形截面，则高为 同时

弯曲变形 三、合理布置外力（包括支座），使 M max 尽可能小。 P L/2 M x + PL/4 P L/4 3L/4 M x P=qL L/5 4L/5 对称 M x qL2/10

P b a

弯曲变形 M x q L 40 2 qL 50 - M x L/5 q 32 2 qL - M x q L/2

弯曲变形 四、选用高强度材料，提高许用应力值 同类材料，“E”值相差不多，“u”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。 不同类材料，E和G都相差很多（钢E=200GPa , 铜E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！

弯曲变形 B 例 题 已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP＝20 kN，a＝l m，l＝2 m，E=206 GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角θ =0.5°。 试：根据刚度要求确定该轴的直径d。

弯曲变形 例 题 B 解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。 1．计算B处的转角 (采用叠加法，见课本P83~84例5.3)

弯曲变形 例 题 2．根据刚度设计准则确定轴的直径 根据设计要求， B 例 题 2．根据刚度设计准则确定轴的直径 根据设计要求， 注意：的单位为rad（弧度），而θ的单位为(°)(度)，考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径

弯曲变形 例题 图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试选择既满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号。已知[]=170 MPa，[]=100 MPa，E=210 GPa， 。

弯曲变形 解：一般情况下，选择梁的截面尺寸或选择型钢的型号时，先按正应力强度条件选择截面尺寸或型钢型号，然后按切应力强度条件以及刚度条件进行校核，必要时再作更改。

弯曲变形 1. 按正应力强度条件选择槽钢型号 作梁的剪力图和弯矩图如图c和图e。最大弯矩在距左支座0.8 m处，Mmax=62.4 kN·m。梁所需的弯曲截面系数为

弯曲变形 而每根槽钢所需的弯曲截面系数Wz≥367×10-6 m3/2=183.5× 10-6m3。由型钢表查得20a号槽钢其Wz=178 cm3，虽略小于所需的Wz=183.5×10-6 m3而最大弯曲正应力将略高于许用弯曲正应力[s]，但如超过不到5%，则工程上还是允许的。 现加以检验： 超过许用弯曲正应力的百分数为(175-170)/170≈3%，未超过5%，故允许。事实上即使把梁的自重 (2×22.63 kg/m=0.4435 kg/m)考虑进去，超过许用弯曲正应力的百分数仍不到5%。

弯曲变形 2. 按切应力强度条件校核 最大剪力FS,max=138 kN，在左支座以右0.4 m范围内各横截面上。每根槽钢承受的最大剪力为 每根20a号槽钢其横截面在中性轴一侧的面积对中性轴的静矩，根据该号槽钢的简化尺寸(图d)可计算如下：

每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780 cm4 弯曲变形 当然， 的值也可按下式得出： 每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780 cm4 于是 其值小于许用切应力[t]=100 MPa，故选用20a号槽钢满足切应力强度条件。

弯曲变形 3. 按刚度条件校核 此简支梁上各集中荷载的指向相同，故可将跨中截面C的挠度yC作为梁的最大挠度ymax。本教材附录C表中给出了简支梁受单个集中荷载F 时，若荷载离左支座的距离a大于或等于离右支座的距离b，跨中挠度yC的计算公式为 可见，对于此梁上的左边两个集中荷载，应为

P b a

弯曲变形 于是由叠加原理可得 而许可挠度为 由于ymax<[y]，故选用20a号槽钢满足刚度条件。

弯曲变形  多余约束与超静定次数 简单超静定梁的求解方法 静定问题与静定结构——未知力（内力或外力）个数 等于独立的平衡方程数 超静定问题与超静定结构——未知力个数多于独立 的平衡方程数 超静定次数——未知力个数与独立平衡方程数之差 多余约束——超静定结构中多于保持结构平衡所必需的约束

= 弯曲变形 简单超静定梁的求解方法 q0 x B A L 1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。 MA q0 解：建立静定基 确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构——静定基。 q0 L FBy A B

= + 弯曲变形 几何方程——变形协调方程 q0 B A L FBy 物理方程——变形与力的关系 B A FBy 补充方程 q0 B 求解其它问题（反力、应力、 变形等）

+ = = 弯曲变形 C 例 结构如图，求BC杆拉力。 LBC q0 解：建立静定基 x B A 几何方程 L FB ——变形协调方程：

+ = 弯曲变形 q0 L FB A B C 物理方程——变形与力的关系 LBC x f 补充方程 FB A B q0 A B 求解其它问题（反力、应力、 变形等）