第三章 弯曲内力

杆件承受垂直于其轴线方向的外力,或在其轴线平面内作用有外力偶时, 杆的轴线变为曲线.以轴线变弯为主要特征的变形称为弯 曲。

§1 对称弯曲的概念及梁的计算简图 力学模型 构件几何特征 受力特征 变形特征 构件为具有纵对称面的等截面直杆 §1 对称弯曲的概念及梁的计算简图 y z 形心 F2 F1 力学模型 杆轴 X FA FB 纵向对称面 构件几何特征 构件为具有纵对称面的等截面直杆 受力特征 横向外力（或外力合力）或外力偶均作用在杆的纵向对称面内 变形特征 杆件轴线变形后为外力作用面内的平面曲线，或任意两横截面间绕垂直于外力作用面的某一横向轴作相对转动

对称弯曲 平面弯曲 非对称弯曲 构件的几何形状、材料性能和外力作用均对称于杆件的纵对称面 梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合 X 杆轴 纵向对称面 F1 F2 FA FB 构件的几何形状、材料性能和外力作用均对称于杆件的纵对称面 平面弯曲 梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合 对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。 非对称弯曲 构件不具有纵对称面，或虽有纵对称面但外力不作用在纵对称面时的弯曲变形

梁：以弯曲变形为主的杆件 静定梁 支座反力可以由静力平衡方程求解的梁 超静定梁 支座反力仅由静力平衡方程不能求解的梁

梁按支承方法的分类 悬臂梁 3（2） 简支梁 3（2） 外伸梁 3（2） 固定梁 6（4） 连续梁 4（3） 半固定梁 4（3）

作用在梁上的载荷形式 分布荷载 集中力 线性(非均匀)分布荷载 Me 均匀分布荷载 集中力偶

§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图 F a A B FA FB M FA x Fs

符号规定： Fs＞0 Fs＜0 M＞0 M＜0 使微段梁有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。

例 题  3.1 试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩 A C D B A C C D B B D

截开后取左边为示力对象： 截开后取右边为示力对象： 向上的外力引起正剪力，向下的外力引起负剪力； 向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩； 顺时针引起正弯矩，逆时针引起负弯矩。 截开后取右边为示力对象： 向上的外力引起负剪力，向下的外力引起正剪力； 向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩； 顺时针引起负弯矩，逆时针引起正弯矩。

求图示外伸梁中的A、B、C、D、E、F、G各截面上的内力。 例 题  3.2 求图示外伸梁中的A、B、C、D、E、F、G各截面上的内力。

求图示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、4－4和5－5各截面上的内力 例 题  3.3 求图示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、4－4和5－5各截面上的内力 1 2 3 4 5

例题 3.4  一长为2m的均质木料，欲锯下0.6m长的一段。为使在锯开处两端面的开裂最小，应使锯口处的弯矩为零，木料放在两只锯木架上，一只锯木架放置在木料的一端，试问另一只锯木架放置何处才能使木料锯口处的弯矩为零。

剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 A B x FA FB

例题 3.5  图示悬臂梁AB,自由端受力F的作用,试作剪力图和弯矩图. X kN kNm

例题 3.6  图示外伸梁,,试作剪力图和弯矩图. A B X1 X2 35kN 25kN 2.5 kN kNm

分布荷载集度、剪力和弯矩间的 微分关系及其应用

剪力图是水平直线. 弯矩图是斜直线. 弯矩图是水平直线. 剪力图是斜直线. 弯矩图是二次抛物线. 若x1,x2两截面间无集中力作用,则x2截面上的FS1等于x1截面上的FS1加上两截面之间分布荷载图的面积. 若x1,x2两截面间无集中力偶作用,则x2截面上的M2等于x1截面上的M1加上两截面之间剪力图的面积.

 + - +

例题 3.7 3.8  kN kN kNm kNm

突 变 规 律(从左向右画) 1、集中力作用处，FS图突变，方 向、大小与力同；M图斜率突 变，突变成的尖角与集中力F的 箭头是同向。

例题 3.9  作图示梁的内力图 kN kNm

例题 3.10  4.5 kN 1.5 5.5 kNm

例题 3.11  用直接法作图示梁的内力图 kN kNm

例题 3.12  A B C D D B C FB’ MA FB A FD FA kN kNm

例题 3.13  叠加法作弯矩图 ＋ F F+qL F qL 1/2qL2 1/2qL2+FL FL

例题 3.14  + - - +

例题 3.15  + + - -

结构对称， 载荷反对称， 则FS图对称， M图反对称

结构对称，载荷对称，则FS图反对称， M图对称

刚架：由两根或两根以上的杆件组成的并在连接处采用刚性连接的结构。 §3 平面刚架和曲杆的内力图 刚架：由两根或两根以上的杆件组成的并在连接处采用刚性连接的结构。 当杆件变形时，两杆连接处保持刚性，即角度（一般为直角）保持不变。 横梁 立柱 在平面载荷作用下，组成刚架的杆件横截面上一般存在轴力、剪力和弯矩三个内力分量。

例题 3.16  求做图示刚架的内力图 q L A B C qL/2 qL qL/2

例题 3.17  求做图示刚架的内力图 2kN/m 4m A B C 2kN 8kN 24kNm 2kN

例题 3.18  等截面折杆ABC的A端固定在墙上,自由端承受集中力F=20kN.设L1=2m,L2=1m,θ1=450,θ2=900,试作折杆的剪力和弯矩图 A L1 L2 F

例题 3.19  图示杆ABC由直杆和半圆组成,试作该杆的内力图. C 2r r A B F AB: BC:

本章作业 3－1， 3－2(c)(e)， 3－3(h)(i)， 3－4(a)(e)(f)用直接法， 3－5， 3－6(a)(f)