第九章 列联表 （定类变量－定类变量）

第一节 什么是列联表？

列联表（一个实际例子） 【例】某单位对闲暇时间进行了全面调查，根据不同年龄档和喜爱收看电视节目的类型进行了如下的统计分类 列联频次分布表（表10－2） P269 老年 中年 青年 合计 戏曲 20 10 2 32 歌舞 5 35 60 球赛 27 40 57 124 ！常规：行y -希望检验的变量（问卷中问题的选项）；列x -分类变量

列联表（一个实际例子） 合计 26 ％ 48 ％ (27) (40) (57) (124) 74％ 25 ％ 4 ％ 19 ％ 50 ％ 【例】某单位对闲暇时间进行了全面调查，根据不同年龄档和喜爱收看电视节目的类型进行了如下的统计分类 列联概率分布表（表10－2） P269 老年 中年 青年 合计 戏曲 74％ 25 ％ 4 ％ 26 ％ 歌舞 19 ％ 50 ％ 61 ％ 48 ％ 球赛 7 ％ 35 ％ (27) (40) (57) (124) ！注意：一般是计算列百分比

什么是列联表？ 两个定类变量进行交叉分类的频次分布表。 行变量的类别用 r 表示， ri 表示第 i 个类别 列变量的类别用 c 表示， cj 表示第 j 个类别 每种组合的观察频次用 nij 表示 表中列出了行变量和列变量的所有可能的组合，所以称为列联表 一个 r 行 c 列的列联表称为 r  c 列联表 P271: 表10－3

列联表的结构（2   列联表） 一个2   列联表 n11 n12 n11+ n12 n21 n22 n21+ n22 列( cj ) 合计 j =1 j =2 i =1 n11 n12 n11+ n12 i =2 n21 n22 n21+ n22 n11+ n21 n12+ n22 n 列(cj) 行 (ri)

列联表的结构（r  c 列联表） n11 n12 r1 n21 n22 r2 c1 c2 n r 行 c 列的列联表 列(cj) 合计 j =1 j = 2 … i =1 n11 n12 r1 i = 2 n21 n22 r2 : c1 c2 n 列(cj) 行(ri) nij 表示第 i 行第 j 列的观察频数

列联表的分布

列联表的分布（概念要点） 联合分布 边缘分布 条件分布 联合频次分布表：当分布表中每一项表示的是频次nij时 联合概率分布表：当分布表中每一项表示的是概率pij时 边缘分布 y边缘分布：行观察值的合计数的分布 x边缘分布：列观察值的合计数的分布 条件分布 变量 X 条件下变量 Y 的分布，或在变量 Y 条件下变量 X 的分布（行百分比或者列百分比） 条件分布中的每一项都是以边缘分布的N1* 、 N2* 或 Nc*为分母，而联合分布中各项，则都是以N为分母。

联合频次分布（图示） 合计 32 60 27 40 57 124 观察频次 y边缘分布 x边缘分布 20 10 2 5 35 老年 中年 青年 合计 戏曲 20 10 2 32 歌舞 5 35 60 球赛 27 40 57 124 x边缘分布

联合概率分布（概念要点） 条件频数反映了数据的分布，但不适合进行对比 为在相同的基数上进行比较，可以计算相应的百分比，称为联合概率分布 x的条件概率：行的每一个观察频数除以相应的行合计数（nij / ri） y的条件概率：列的每一个观察频数除以相应的列合计数（ nij / cj ） 总概率：每一个观察值除以观察值的总个数（ nij / n ）

联合概率分布（图示） 合计 32/124 60/124 27/124 40/124 57/124 1 概率 y边缘分布 x边缘分布 老年 中年 青年 合计 戏曲 20/124 10/124 2/124 32/124 歌舞 5/124 35/124 60/124 球赛 27/124 40/124 57/124 1 x边缘分布

一般只研究控制自变量x之后，因变量y的条件分布。 条件分布（图示） y边缘分布 关于y的条件分布 计算结果见表10－15（P275） 老年 中年 青年 合计 戏曲 20/27 10/40 2/57 32/124 歌舞 5/27 20/40 35/57 60/124 球赛 2/27 20/57 1 一般只研究控制自变量x之后，因变量y的条件分布。

列联表中变量的相互独立性

列联表中变量的相互独立性 合计 32/124 60/124 1 关于y的条件分布 y边缘分布 20/27 10/40 2/57 5/27 计算结果见表10－15（P275） 老年 中年 青年 合计 戏曲 20/27 10/40 2/57 32/124 歌舞 5/27 20/40 35/57 60/124 球赛 2/27 20/57 1 如果选择喜爱节目的比例，对于三代人都是一样的话，称作变量之间是相互独立的，必然存在变量的条件分布等于它的边缘分布。

列联表中变量的相互独立性 如果列联表中的变量相互独立的话(x与y没有关系)，则边缘分布与联合分布则满足下面的公式： Pij ＝Pi* P*j 列百分比 行百分比

期望频次的分布

期望频次的分布（概念要点） 假定行变量和列变量是独立的 一个实际频数 nij 的期望频数 eij ，是总频数的个数 n 乘以该实际频数 nij 落入第 i 行 和第j列的概率，即

期望频次的分布（算例） 合计 32 60 27 40 57 124 期望频次 32×27/124 32×40/124 32×57/124 用表10－8计算 老年 中年 青年 合计 戏曲 32×27/124 32×40/124 32×57/124 32 歌舞 60×27/124 60×40/124 60×57/124 60 球赛 27 40 57 124

第二节 列联表的检验  检验

假设检验的步骤 提出原假设和备择假设 确定适当的检验统计量 规定显著性水平，查表得出拒绝域和临界值 计算检验统计量的值 作出统计判断： 将检验统计量的值与 水平的临界值进行比较，得出接受或拒绝原假设的结论：若样本统计量的值落入拒绝域，则拒绝原假设，接受备择假设；否则，接受H0

研究假设的确定 将列联表中变量之间无关系（或相互独立）作为检验的原假设 H0：Pij ＝Pi* P*j （行变量与列变量没有关系）

 统计量 用于检验列联表中变量之间是否存在显著性差异，或者用于检验变量之间是否独立。  统计量 用于检验列联表中变量之间是否存在显著性差异，或者用于检验变量之间是否独立。 当n很大，每格eij都不太小时，服从自由度K＝(r-1)(c-1) 的分布 计算公式：

 检验的拒绝域   列联表的检验从内容上看是双边检验，从形式上看是右侧单边检验。 因为从假设上来看，它所检验的是两个变量是否存在关系  检验的拒绝域 列联表的检验从内容上看是双边检验，从形式上看是右侧单边检验。 因为从假设上来看，它所检验的是两个变量是否存在关系 但从列联表  的统计公式来看，只有期望频次与实测频次间的差距越大，才能越否定原假设， 即  >      2 (r-1)(c-1) (r-1)(c-1)

 检验 P285： 例2

使用 统计量检验列联表时， 需要注意的问题？ 使用 统计量检验列联表时， 需要注意的问题？ 对于2×2列联表，需要用修正的公式： 前面讲的二总体成数差的检验是列联表的 检验的特例。 使用 统计量检验列联表时， eij要保持在一定数目之上， 最好eij5，当出现小于5时，可将期望值偏小的格值合并。 列联表的检验是通过频次，而不是通过相对频次进行的。

第三节 列联表中的相关测量 列联强度

列联表中的相关测量  统计量检验只检验了列联表变量间是否存在关系，而没有测量关系的强度 列联表中的相关测量就是检验变量间关系的强度  统计量检验只检验了列联表变量间是否存在关系，而没有测量关系的强度 列联表中的相关测量就是检验变量间关系的强度 列联表相关测量的指标主要有 以值为基础的相关测量  系数 C 系数 V 系数 以减少误差比例为基础的相关测量 系数

以值为基础的相关测量  系数 C系数 V 系数

 系数 测度 22列联表中数据相关程度的一个量 对于22 列联表， 系数的值在0～1之间  系数计算公式为

 系数（原理分析） a b a + b c d c + d a + c b + d n 一个简化的 22 列联表 因素 Y 因素 X  系数（原理分析） 一个简化的 22 列联表 因素 Y 因素 X 合计 x1 x2 y1 a b a + b y2 c d c + d a + c b + d n

 系数（原理分析） 列联表中每个单元格的期望频数分别为 将各期望频数代入  的计算公式得

 系数（原理分析） 将入 系数的计算公式得  系数（原理分析） 将入 系数的计算公式得 ad 等于 bc ，  = 0，表明变量X 与 Y 之间独立 若 b=0 ，c=0，或a=0 ，d=0，意味着各观察频数全部落在对角线上，此时|| =1,表明变量X 与 Y 之间完全相关 的实际取值为［－1，＋1］，但列联表中变量的位置可以互换，的符号没有实际意义，故取绝对值即可

 系数的缺点 对于2×2列联表，的取值为［－1，＋1］； 但当r×c表的格式增多后， 的值将增加，没 有上限。这样系数间就缺乏比较。  系数的缺点 对于2×2列联表，的取值为［－1，＋1］； 但当r×c表的格式增多后， 的值将增加，没 有上限。这样系数间就缺乏比较。 因此，对于r×c表将用C系数和V系数测量变量 之间的相关程度。

C系数 用于测度大于22列联表中数据的相关程度 计算公式为 C 的取值范围是 0C<1 C = 0表明列联表中的两个变量独立 不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较

V 系数 计算公式为 V 的取值范围是 0V1 V = 0表明列联表中的两个变量独立 V=1表明列联表中的两个变量完全相关 不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较 当列联表中有一维为2，min[(r-1),(c-1)]=1,此时V=

、C、V 系数的比较 同一个列联表，、C、V 的结果会不同 不同的列联表，、C、V 的结果也不同 在对不同列联表变量之间的相关程度进行比较时，不同列联表中的行与行、列与列的个数要相同，并且采用同一种系数

、C、V相关测量 （一个实例） 【例3】：P297

以减少误差比例为基础的相关测量 系数

减少误差比例 计算公式为 E1：不知道y与x有关系时，预测y的全部误差 （用边缘分布中的众数来预测） E2：知道y与x有关系后，用x去预测y的全部误差 （用每一列的众数来预测） E1－E1：表示知道y与x有关系后，预测y所减少的误差 ：表示所减少的相对误差 ； 其值越大，表示y与x的关系越密切 0 < PRE < 1 用PRE定义的相关程度可以适用于各种层次的变量。

系数 计算公式为 的取值范围：0   1 x与y无相关： ＝0 x与y全相关： ＝1 的非对称性： y ≠ x 用列联表中的众数来预测E1，预测误差为： 用每一列的众数来预测E2，预测误差为： 的取值范围：0   1 x与y无相关： ＝0 x与y全相关： ＝1 的非对称性： y ≠ x

系数的意义 表示用x去预测y,可以减少百分之多少的预测误差 =0.30,表示用x去预测y,可以减少30%的预测误差

系数 计算公式为 的取值范围：0   1 x与y无相关： ＝0 x与y全相关： ＝1 的非对称性： y ≠ x 的取值范围：0   1 x与y无相关： ＝0 x与y全相关： ＝1 的非对称性： y ≠ x

系数 计算举例： 课后习题一 P306