第一章 逻辑代数基础 基本知识点 概述 数制与码制 逻辑代数 逻辑函数 返回主目录

基本知识点 数制与码制 基本逻辑关系与逻辑运算 逻辑代数基本定律与基本规则 逻辑函数及表示方法 逻辑函数的变换与化简

1.1概述 分析数字电路逻辑功能的数学方法: 一、数制与码制; 二、逻辑代数的基本逻辑运算关系、基本公式、常用公式、重要定理、定律和基本规则; 三、逻辑函数及其表示方法，相互转换方法，代数化简和卡诺图化简法。

1.2数制和码制 一、 二进制数 数码在不同的位置上，其代表的数值不同，称之为“位权”，或简称为“权”。 二进制仅使用0和1两个数码 计数的基数是2，进位规则是“逢二进一” 任意一个二进制数可按“权”展开 例如(1011)2这个4位二进制数，它可以写成： (1011)2 =1×23+0×22+1×21+1×20

二、 十六进制数 十六进制使用0—9和A、B、C、D、E、F共十六个数码 计数的基数是16，进位规则是“逢十六进一” 任意一个十六进制数可按“权”展开 例如(3FA2)16这个四位十六进制数，它可以写成： (3FA2)16=3×163+15×162+10×161+2×160

三、 不同进制间的转换 1.二进制转换成十进制 将二进制数按“权”展开相加 如： （1011）2=1×23+1×21+1×20=8+2+1=（11）10 （1110.011）2=1×23+1×22+1×21+1×2-2+1×2-3 =(14.375)10

2.十进制转换成二进制 整数部分“除二取余法” 如： 余数 2∣29 … 1 低 2∣14 … 0 位 2∣7 … 1 ↑ 如： 余数 2∣29 … 1 低 2∣14 … 0 位 2∣7 … 1 ↑ 2∣3 … 1 高 2∣1 … 1 位 结果为：（29）10=（11101）2

2.十进制转换成二进制 小数部分“乘二取整法” 如： 余数 0.3125×2=0.625 … 0 高 0.625×2=1.25 … 1 0.3125×2=0.625 … 0 高 0.625×2=1.25 … 1 0.25×2=0.5 … 0 0.5×2=1.0 … 1 低 结果为：（0.3125）10=（0.0101）2

3.二进制与十六进制的转换 以小数点为界，每4位二进制数为一组（高位不足4位时，前面补0，低位不足4位时，后面补0），并代之以等值的十六进制数，即可完成转换将二进制数转换成十六进制数。 如： (100110111.01)2=(137.4)16

四、二进制代码 代码：在数字系统中，常常采用一定位数的二进制码来表示各种图形、文字、符号等特定信息，通常称这种二进制码为代码。 所有的代码都是用二进制数码“0”和“1”的不同组合构成。 在这里的“0”和“1”并不表示数值的大小，而是仅仅表示某种特定信息。 n位二进制数码有2n种不同的组合，可以代表2n 种不同的信息。 编码：建立这种代码与图形、文字、符号或特定对象之间一一对应关系的过程。

常见的二进制码 1. 二－十进制码（BCD码） BCD码是用四位二进制数来表示一位十进制数。

十进制数 8421码 5421码 2421码 余三码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

2. ASCII码 　　　ASCII码全名为美国信息交换标准码，是一 种现代字母数字编码。ASCII码采用七位二进制 数码来对字母、数字及标点符号进行编码，用于 微型计算机之间读取和输入信息。

字母 ASCII A B C D E F G H I 1000001 1000010 1000011 1000100 1000101 1000110 1000111 1001000 1001001 J K L M N O P Q R 1001010 1001011 1001100 1001101 1001110 1001111 1010000 1010001 1010010 S T U V W X Y Z 1010011 1010100 1010101 1010110 1010111 1011000 1011001 1011010

１.３逻辑代数 一、基本逻辑运算 在逻辑代数（又称布尔代数）中的变量称为逻辑变量 灭 亮 变量的取值只有０和１两种可能 + - A Y B （一）基本运算的概念 我们约定：把开关闭合作为条件满足，把指示灯亮作为结果发生 逻辑与（逻辑乘、积） 只有当两个开关同时闭合，指示灯才会亮 只有条件同时满足时，结果才发生, 这种因果关系叫做逻辑与，或者叫逻辑乘。

亮 灭 逻辑或（逻辑加、和） + - A Y B 只要有任意一个开关闭合，指示灯就亮； 只要条件之一满足时，结果就发生，这种因果关系叫做逻辑或 逻辑非（逻辑反、反相） 灭 亮 开关闭合时，指示灯不亮，而开关断开时，指示灯亮逻辑非 + - A Y R 只要条件满足，结果就不发生；而条件不满足，结果一定发生。这种因果关系叫做逻辑非，或者叫逻辑反

A B Y A B Y A Y （二）逻辑运算的描述 1.逻辑真值表 若条件满足用1表示，不满足用0表示；事件发生用1表示，不发生用表示0。则可以列出逻辑关系的图表——逻辑真值表 与 或 非 2.逻辑表达式 A B Y A B Y A Y Y=A·B 或写成：Y=AB 与： 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 或： Y=A+B 1 1 1 1 1 1 非: 3.逻辑符号 & Y A B ≥1 A B Y 1 A Y 实现与、或、非逻辑运算的单元电路分别叫做与门、或门、非门 与门 或门 非门

A B Y A B Y A B Y A B Y 二、复合逻辑运算 A · B 实际的逻辑问题往往比与、或、非复杂的多，不过它们都可以用与、或、非的组合来实现。最常见的复合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或、同或等。 与非 或非 异或 同或 A B Y A B Y A B Y A B Y 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 A · B

& & 与或非真值表： 与或非 与或非表达式： 逻辑符号 与或非门 与非门 或非门 =1 异或门 =1 同或门 ＡＢＣＤ Ｙ ００００ １ ０００１ ００１０ ００１１ ０ ０１００ ０１０１ ０１１０ ０１１１ １０００ １００１ １０１０ １０１１ １１００ １１０１ １１１０ １１１１ 与或非 与或非表达式： 逻辑符号 与或非门 & 与非门 & ≥1 ≥1 或非门 =1 异或门 =1 同或门

三、逻辑代数的基本定律 1.逻辑代数的基本定理有：  （1） 交换律： A·B=B·A； A+B=B+A （2） 结合律： A(BC)=(AB)C； A+(B+C)=(A+B)+C （3） 分配律： A(B+C)=AB+AC； A+BC=(A+B)(A+C) （4） 01律： 1·A=A； 0+A=A0·A=0； 1+A=1 （5） 互补律： A· =0； A+ =1 （6） 重叠律： A·A=A； A+A=A （7）反演律——德·摩根定律： ； （8） 还原律： 这些基本公式都可以用真值表来证明

2. 逻辑代数基本规则  1） 代入规则 在任何逻辑等式中，如果将等式两边的某一变量用同一个逻辑函数替代，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。 如： 已知 ，试证明用BC替代B后，等式仍然成立。 证明：左边 右边 因为 左边=右边，所以等式成立。

２） 反演规则 将函数中所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”，1换成0，0换成1，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原来逻辑函数Y的反函数 ，这一规则称为反演规则。应用反演规则时应注意： 变换前后的运算顺序不能变，必要时可以加括号来保证原来的运算顺序； 反演规则中的反变量和原变量的互换只对单个变量有效。若在“非”号的下面有多个变量，则在变换时，此“非”号要保持不变，而对“非”号下面的逻辑表达式使用反演规则。

例1：求 的反函数。 解： 例2：求 的反函数。 例3：求 的反函数。 例4：求 的反函数。

３） 对偶规则 将函数中所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”，1换成0，0换成1，而变量保持不变，就得到一个新函数Y`，则Y和Y`互为对偶式，这就是对偶规则。 使用对偶规则时要注意，变换前后的运算顺序不能改变。 如： 求Y1=A（B+C）和Y2=A+BC的对偶式。 解：Y1‘=A+BC Y2‘=A(B+C) 对偶规则的意义在于：若两个逻辑函数相等，则其对偶式也必然相等。

１.４逻辑函数 一、逻辑函数及其表示方法 1．真值表法 真值表以表格的形式来描述输入逻辑变量和逻辑函数值之间的对应关系。其特点是直观明了，特别是在把一个实际问题抽象为数学问题时，使用真值表最为方便。 列真值表时，一定要注意把输入逻辑变量的取值组合列全，n个输入变量共有2n个取值组合。当输出变量不止一个时，它们与输入变量之间的逻辑关系，也应在真值表中一一列出。

2.逻辑函数表达式法 (1) 逻辑表达式的几种常见形式 用与、或、非等逻辑运算符号来表示逻辑函数中各个变量之间逻辑关系的代数式，就叫做逻辑函数表达式。 (1) 逻辑表达式的几种常见形式 对于给定的逻辑函数，其真值表是唯一的，但描述同一个逻辑函数的逻辑表达式却有多种形式，并且可以互相转换。这种变换在逻辑电路的分析和设计中要经常用到。常见的逻辑表达式主要有五种形式。如函数： 可以表示如下： 利用逻辑代数的基本定律，可以实现上述五种表达式之间的相互转换。

二、逻辑函数的代数变换与化简 运用逻辑代数中的基本定理和法则，对函数表达式进行变换，消去多余项和多余变量，以获得最简函数表达式的方法，就称为公式法化简，也称为代数法化简。 判断与或表达式是否最简的条件是：  （1） 逻辑乘积项最少； （2） 每个乘积项中变量最少

常见的公式化简方法 1．并项法（运用公式 ） 如 2. 吸收法（运用公式 A+AB=A和 ） 1．并项法（运用公式 ） 如 2. 吸收法（运用公式 A+AB=A和 ） 如 Y=AB+AB（C+D）=AB（1+C+D）=AB 又如

3.消去法（运用公式： ） 如 4.配项法（运用公式： 、 、 ）

三、卡诺图化简法 １.逻辑函数的最小项表达式 1）最小项的定义： 在n变量的逻辑函数中，如果一个乘积项包含了所有的变量，并且每个变量在该乘积项中以原变量或反变量的形式作为一个因子出现一次，则该乘积项就称为逻辑函数的最小项。n变量的最小项共有2n个。 通常用m来表示最小项，其下标为最小项的编号。编号的方法如下： 在每一个最小项中，原变量取值为1，反变量取值为0，则每一个最小项对应一组二进制数，该二进制数所对应的十进制数就是这个最小项的编号。

2）最小项的性质 对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其他各种变量取值均使它的值为0; 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0; 对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。

２.卡诺图 1）最小项的相邻性 两个最小项只有一个变量取值不同，我们就说这两个最小项在逻辑上相邻。 、ABC就是两个逻辑相邻的最小项。 例如： 中， 用公式可以化简上式： 这两个最小项合并成了一项，消去了那个变量取值不同的变量（因子），剩下“公共”变量（因子）。 这是一个规律,但直接从表达式中观察相邻的最小项有一定的难度。

2）卡诺图 三变量的卡诺图 四变量的卡诺图 AB CD 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m13 m14 m15 m8 m9 m11 m12 BC A 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 1 m4 m5 m7 m6 除了几何位置（上下左右）相邻的最小项逻辑相邻以外，一行或一列的两端也有相邻性 。 图形左侧和上侧的数字，表示对应最小项变量的取值 要熟记这些数字和最小项的排列次序

3）用卡诺图表示逻辑函数 例1：填写三变量逻辑函数Y（A、B、C、D）=∑m(0，1，4，8，10，11)的卡诺图 解：Y有5个最小项m0、m1、m4、m8 、m10、m11，就在四变量卡诺图的相应位置填1，其它位置填0 （也可以不填）。 AB CD 00 01 11 10 1

例2：填写三变量逻辑函数 的卡诺图 解：先对函数进行变换： 就在三变量卡诺图的相应位置填1。 BC A 00 01 11 10 1

D 4）用卡诺图化简逻辑函数 AB CD 00 01 11 10 1 最小项的合并规律是： 两个相邻，并消去一个变量 四个相邻，并消去两个变量 八个相邻，并消去三个变量 A BC A 00 01 11 10 1 BC A C 00 01 11 10 1 AB AC A

用卡诺图化简逻辑函数的步骤 画出逻辑函数的卡诺图； 合并卡诺图中的相邻最小项；要合并最小项，首先要将相邻的最小项用包围圈圈起来。 将各个包围圈所得到的乘积项相加，即可得到最简的与或表达式。

画包围圈的规则： 在同一个包围圈里只能包含2n个相邻的最小项； 包围圈的个数要尽量少，以保证化简后得到的项数最少。但所有的最小项（即填1的小方格）均应圈过，不能遗漏； 每个包围圈要尽量大，以使得每个乘积项中包含的变量个数最少； 最小项可以重复使用，但每个包围圈中至少要有一个最小项未被其它包围圈圈过。

例：化简 Y（A，B，C，D）=∑m(1,2,3,4,5,6) 解：Y直接给的是最小项之和的形式，可以直接填写卡诺图。 将相邻的“1”（最小项）圈起来，表示将它们合并成一项 ， Y原来是6个最小项之和，现在合并成了3项，Y就应当是这4项的和，即： 注意不能漏掉任何一个“1” BC A 00 01 11 10 1

四、具有约束的逻辑函数的化简 1.逻辑函数中的约束项 约束项是指那些与所讨论的逻辑问题没有关系的变量取值组合所对应的最小项。 在卡诺图中，约束项用“×”表示。在逻辑函数表达式中，用字母d和相应的编号来表示无关项。 2.具有约束项的逻辑函数的化简 在卡诺图中，约束项所对应的小方格可以视为1，也可以视为0。

例用卡诺图化简具有无关项的逻辑函数：Y=∑m(0,1,4,6,9,13)+∑d(2,3,5,7,10,11)。 解:(1) 画出四变量的卡诺图 AB CD (2) 合并最小项 00 01 11 10 1 × × × 写出最简的 与或表达式 × 1 × ×