一元一次方程的复习 www.czsx.com.cn

等式的性质 性质1,等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等. 性质2,等式两边乘同一个数，或除以同一个不为０的数,结果仍相等. 如果a=b,那么a±c=_____ b±c 性质2,等式两边乘同一个数，或除以同一个不为０的数,结果仍相等. www.czsx.com.cn 如果a=b,那么ac=_____； 如果a=b(c≠０),那么 = bc

等式的性质 性质1,等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等. 性质2,等式两边乘同一个数，或除以同一个不为０的数,结果仍相等. 注意：（１）等式两边都要参加运算，且是同一种运算． （２）等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． （３）等式两边不能都除以０，即０不能作除数或分母． www.czsx.com.cn

一元一次方程 只含有一个未知数(元)x,未知数x的指数都是 1 ,这样的方程叫做一元一次方程. 以下方程是不是一元一次方程: 想一想 以下方程是不是一元一次方程: x+123 = 456.76, a+b=1234， 6x+17 = 8y, 6x+67=987， x2+34=2300, 3x+4x-5=29, www.czsx.com.cn

列一元一次方程解应用题的步骤： 1、审题：弄清题意和数量关系； 2、设未知数，找等量关系； 3、由等量关系列出方程； 4、解方程； www.czsx.com.cn 4、解方程； 5、写出答案（包括单位名称）。

自主探索 交流小区 生意经 （2）根据商场的资金状况，如何获利最多？ 商场计划投入一批紧俏商品，经过调查发现，如果月初销售，可获利15%，并可利用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；到月末出售可获利30%，但要付出仓储费700元。 解：由 解得 所以当商场资金为20000元时，两种方式购销获利一样。 因此， 当商场资金超过20000元， 第二种方式购销获利多。 当商场资金低于20000元， 第一种方式购销获利多。 设商场资金为元x元，第一种方式的获利为y1元，第二种方式的获利为y2元，分别计算两种方式的获利。 自主探索 www.czsx.com.cn

如果老师电话平均月拨出电话时间为200分钟，选哪种方式更好？ 注：接电话免费 我们老师所用的小灵通有两种收费方式 方式一：月租费18元，话费0.2元/分钟 方式二：零月租费，话费0.25元/分钟 如果老师电话平均月拨出电话时间为200分钟，选哪种方式更好？ 注：接电话免费 www.czsx.com.cn

练一练：2 如图是一张有4人参加的某项棋类循环比赛额定积分表，每场比赛胜者得3分，负者得－1分，和局两人各得1分。 ∴第一名： 丁 甲 乙 丙 丁 总分 3 1 -1 （1）填出表内空格的分值； 5 （2）排除这次比赛的名次。 1 －1 －1 －3 ∴第一名： 丁 －1 3 甲 www.czsx.com.cn 第二名： 3 1 7 第三名： 丙 第四名： 乙

问题二 某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，现要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 1、你能找出题中的等量关系吗？ 生产出的甲、乙两种零件恰好能配套 2、该如何设未知数呢？ 设安排生产甲种零件 x 天，则生产乙种零件为 （30 – x ）天。 www.czsx.com.cn 3、你能列出此方程吗？ 4、你会解此方程吗？ 5、你该如何取数呢？

2、一件衬衫进货价60元,提高50%，标价为_____, 八折优惠价为______,利润为______； 过关斩将 1、一根长18米的铁丝围成一个长是宽的2倍的长方形 的长为 ；宽为 ；面积为 ； 6米 3米 18平方米 2、一件衬衫进货价60元,提高50%，标价为_____, 八折优惠价为______,利润为______； 90元 72元 12元 3、小明每秒钟跑4米，则他15秒钟跑___米, 2分钟跑______米,1小时跑_____公里. www.czsx.com.cn 60 480 14.4

韩信点兵 D 1、下列不是一元一次方程的是-----------------（ ） A 4 x－1 = 2 x ， B 3x－2 x = 7 ， C x－2 = 0 ， D x = y ； www.czsx.com.cn

B B 2、“a的两倍与－1的差是3”用等式表示正确的是（ ） A 2a －1 = 3 B 2a + 1 = 3 C －1 －2a = 3 D －2a +1= 3 B 3、方程 是一元一次方程，则a和m分别为-------（ ） A 2和4 ， B －2 和 4 ， C 2 和 －4 ， D －2 和－4 。 B www.czsx.com.cn

逐鹿中原 解： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： www.czsx.com.cn 合并同类项，得： 系数化为1，得：

4. 解： 原方程可化为： 去分母，得： 去括号，得： www.czsx.com.cn 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得：

解一元一次方程的一般步骤 注意事项 变形名称 去分母 防止漏乘（尤其整数项），注意添括号； 去括号 注意变号，防止漏乘； 移项要变号，防止漏项； 移项 www.czsx.com.cn 合并同类项 计算要仔细，不要出差错； 系数化为1 计算要仔细，不要出差错；

1、元旦某公园的成人的门票每张8元，儿童门票半价（即每张4元），全天共售出门票3000张，收入15600元。问这天售出儿童门票多少张？ 解：设售出儿童门票x张 根据题意，得： www.czsx.com.cn 解方程，得： x = 2100 答：共售出儿童票2100张

今有鸡兔同笼 上有三十五头 下有九十四足 问鸡兔各几何 www.czsx.com.cn 你能解决这个有趣的鸡兔同笼问题吗？

{ { { 鸡的头数+兔的头数=总头数 鸡的足数+兔的足数=总足数 解：设鸡有x只，兔有y只.得 x+y=35 2x+4y=94 x=23 解得 { www.czsx.com.cn 答：鸡有23只，兔有12只.

例1.甲比乙大15岁，五年前甲的年龄是 乙的年龄的2倍，现在乙的年龄是多少 岁？ 例2.如果4个数中，其中每三个数的和 分别为21、28、29、30.求这四个数。 例3.有一个两位数，十位数字比个位数 字的4倍多1，将这两个数字调换顺序后 所得的新数比原数小63，求原数。 彰显数学魅力！演绎专页传奇！

例4.红星电子仪器厂已生产成本价每件 15元的某种电子元件10万件，积累经验 后，降低了成本，又生产了成本价每件 12元的同种电子元件40万件，如果销售 这些电子元件时要获得10%的利润，那 么这种电子元件每件的销售价应是多少 彰显数学魅力！演绎专页传奇！

例5.A、B两家公司都准备向社会招聘人 才，两家公司的招聘条件基本相同，只 有工资待遇有如下差别：A公司年薪1万 年薪5000元，每半年加工龄工资50元， 从经济角度考虑应该选择哪家公司？ 彰显数学魅力！演绎专页传奇！

例6.在雅典奥运会上，刘翔取得中国历 史上第一枚田径金牌，并平了110米栏 的世界纪录，前四名的成绩如下表： 运动员 国 籍 成绩（秒） 刘 翔 中 国 9.93 约翰逊 加拿大 9.98 斯图尔特 牙买加 10.08 克里斯蒂 英 国 10.14 彰显数学魅力！演绎专页传奇！ 运用上述信息估计，当刘翔到达终点 时，克里斯蒂离终点还有多远？

例7.一个长方形的养鸡场的长边靠墙， 墙长14米，其他三边用篱笆围成，现 有长为35米的竹篱笆，小王打算用它 围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小 赵也打算用它围成一个鸡场，长比宽 多2米，你认为谁的设计符合实际？按 照他的设计，鸡场的面积是多少？ 彰显数学魅力！演绎专页传奇！

活动与探究： 亚洲某国家规定工资收入的个人所得 税计算方法是： （1）月收入不超过1200元的部分不 纳税 （2）收入超过1200元至1700元的部分 按税率5%征税 （3）收入超过1700元至3000元的部分 按税率10%征税…… 已知某人本月缴纳个人所得税65元， 问此人本月收入多少元？ 彰显数学魅力！演绎专页传奇！

应用题的解法很多，以下几种： 1）列表法 2）图示法 3）演示法 4）实践法

（2）找等量关系时，可借助图表分析题中的数 量关系， 列出两个代数式，使它们都表示 一个相等或相同的量。 在列方程解决实际问题的过程应 注意哪些问题？ （1）设未知数时，要仔细分析问题中的数量关系， 找出题中的已知条件和未知数，一般采用直接 设法，有些问题可用间接设法，要注意未知数 的单位，不要漏写。 （2）找等量关系时，可借助图表分析题中的数 量关系， 列出两个代数式，使它们都表示 一个相等或相同的量。 （3）列方程时，要注意方程各项是同类量， 单位要一致，方程左右两边应是等量。 （4）解出方程的解后，要验证它的合理性， 再解释它的意义，并要注意单位。 （5）在解决实际问题的过程中，你是 怎样判断一个方程的解是否合理？ 请举例说明。

例1 如图某月日历，如果用正方形所圈出4个数的和是76 ，这4天分别是几号？ 一、日历中的方程(找规律解方程) 例1 如图某月日历，如果用正方形所圈出4个数的和是76 ，这4天分别是几号？ 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 问题：日历中阴影中的9个数的和能等于136吗？

如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后 将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个 小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去； （1）填表：   （2）如果剪n次，共剪出多少个小正方形？ （3）如果共剪出301个小正方形，则剪了几 次？ 剪的次数 1 2 3 4 5 正方形 个数   4 7 10 13 16

有一些分别标有6,12,18,24,30,36,…..的卡片，小明从中任意拿到了相邻的3张卡片，发现这些卡片上的数字的和为342 猜猜小明拿到了哪3张卡片？ 小明能否拿到相邻的3张卡片，使得它们的和为86？说明理由？

6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左、右两个人，然后每一个人把左、右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来，如图，问亮出11的人原来心中想的那个数是多少？

如图：一个长方形被划分成6个正方形，已知中间的最小的正方形面积为1平方厘米，求这个正方形的面积

例题1：要锻造一个半径为5cm，高为8cm的圆柱形毛坯，应截取截面半径为4cm的圆钢多长？ 二、等积变形及比例、调配 内容：（1）等积问题： 变形前的体积＝变形后的体积。 例题1：要锻造一个半径为5cm，高为8cm的圆柱形毛坯，应截取截面半径为4cm的圆钢多长？ 例题2：直径为30 cm,高为50cm的圆柱形瓶里放满了饮料，现把饮料倒入底面直径为10cm 的圆柱形小杯，刚好倒满30杯，求小杯的高 www.czsx.com.cn

（2）周长为一定时，当长和宽相等时面积最大。 例题：用一根长为10米的铁丝围成一个长方形， （1）使得长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各为多少米？（2）使得长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？

例1：甲仓库有存粮120吨，乙仓库有存粮食80吨，现从甲库调部分到乙库，若要求调运后甲库的存粮是乙库的 ,问应从甲库调多少吨粮食到乙库？ 例1：甲仓库有存粮120吨，乙仓库有存粮食80吨，现从甲库调部分到乙库，若要求调运后甲库的存粮是乙库的 ,问应从甲库调多少吨粮食到乙库？ 例2：某公司原有职员60名，其中女职员占20%，今年又有几位男职员辞职，公司又补招了3名女职员，女职员的比例提高到25%，问公司离开公司的男职员一共有几人？

甲、乙两个仓库要向A、B两地运送水泥，已知甲仓库可调100吨水泥乙仓库可调水泥80吨，A地需70吨水泥，B地需 110吨水泥，两仓库到A，B两地的路程和运费如下表 路程（千米） 运费（元/千米.吨） 甲仓库 乙仓库 A地 B地 20 25 12 10 8 （1）设甲仓库运往A地水泥x 吨，试用x的一次式表示总运费W? (2)你能确定当甲、乙两仓库各运往A，B多少吨水泥时，总运费461000元？最省的总运费是多少？

例1、我国四大发明之一的黑火药是用硝酸钠、 2、比例分配应用题 例1、我国四大发明之一的黑火药是用硝酸钠、 硫磺、木炭三种，原料按15：2：3的比例 配制而成，现要配制这种火药150公斤， 则这三种原料各需要多少 公斤？ 解：设需要硝酸钠15x公斤，硫磺2x公斤， 木炭3x公斤 依题意得：15x+2x+3x=150 x=7.5 www.czsx.com.cn 15x=15×7.5=112.5 2x=2×7.5=15 3x=3×7.5=22.5 答：硝酸钠应取112.5公斤，硫磺取15公斤，木炭 应取 22.5公斤。

三、行程问题

相遇问题：甲的路程+乙的路程＝全程 慢者行程＋先行路程＝快者路程 快者路程 — 慢者行程＝间隔距离 一、明确行程问题中三个量的关系 三个基本量关系是：速度×时间=路程 分析方法辅助手段：线型图示法 分析方法辅助手段：线型图示法 相遇问题：甲的路程+乙的路程＝全程 追及问题：（1）同地不同时： 慢者行程＋先行路程＝快者路程 （2）同时不同地： 快者路程 — 慢者行程＝间隔距离

2）两车同时反向而行，几小时后两车相距270公里？ 1、甲、乙两地相距162公里，一列慢车从甲站开出，每小时走48公里，一列快车从乙站开出，每小时走60公里试问： 1）两列火车同时相向而行，多少时间可以相遇？ 2）两车同时反向而行，几小时后两车相距270公里？ 3）若两车相向而行，慢车先开出1小时，再用多少时间 两车才能相遇？ 4）若两车相向而行，快车先开25分钟，快车开了几小时 与慢车相遇? www.czsx.com.cn 5）两车同时同向而行（快车在后面），几小时后快车 可以追上慢车？ 6）两车同时同向而行（慢车在后面），几小时后两车相 距200公里？

2：从甲地到乙地，水路比公路近40千米，上午十时，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午1时一辆汽车从甲地驶往乙地，结果同时到达终点。已知轮船的速度是每小时24千米，汽车的速度是每小时40千米，求甲、乙两地水路、公路的长，以及汽车和轮船行驶的时间？ 等量关系：船行时间－车行时间=3小时 解：设水路长为x千米，则公路长为（x+40）千米 依题意得： x+40=280, x=240 答：水路长240千米，公路长为280千米，车行时间为 7小时，船行时间为10小时

3 某连队从驻地出发前往某地执行任务，行军速度是 6千米/小时，18分钟后，驻地接到紧急命令，派遣 通讯员小王必须在一刻钟内把命令传达到该连队， 小王骑自行车以14千米/小时的速度沿同一路线追赶 连队，问是否能在规定时间内完成任务？ 等量关系：小王所行路程=连队所行路程 解：设小王追上连队需要x小时，则小王行驶的路程为 14x千米，连队所行路程是 千米 依题意得： 答：小王能在指定时间内完成任务。

4 一列客车和一列货车在平行的轨道上同向行驶， 客车的长是200米，货车的长是280米，客车的 速度与货车的速度比是5 ：3，客车赶上货车的 交叉时间是1分钟，求各车的速度；若两车相向 行驶，它们的交叉时间是多少分钟？ 解：设客车的速度是5x米/分， 则货车的速度是3x米/分。 依题意得： 5x – 3x = 280 + 200 x=240 5x = 1200，3x = 720 设两车相向行驶的交叉时间为y分钟。 依题意得： 1200y+720y= 280 + 200 y=0.25

∴6（x-24)=3168 5：一架飞机飞行两城之间，顺风时需要5小时30分钟， 逆风时需要6小时，已知风速为每小时24公里， 求两城之间的距离？ 等量关系：顺风时飞机行驶的路程=逆风时飞机行驶的路程。 解：静风的速度为x公里/小时，由题意得： 5.5(x+24)=6(x-24) 解得：x=552 ∴6（x-24)=3168 答：两城之间的距离为3168公里 注：飞行问题也是行程问题。同水流问题一样，飞行问 题的等量关系有：顺风飞行速度=飞机本身速度+风速 逆风飞行速度=飞机本身速度－风速

练习2、甲乙两人从同一村庄步行去县城，甲比乙早1小时出发，而晚1小时到达，甲每小时走4千米，乙每小时走6千米，求村庄到县城的距离？ 练习1、甲、乙两人环绕周长是400米的跑道散步，如果两人从 同一地点背道而行，那么经过2分钟他们两人就要相遇。如果2人从同一地点同向而行，那么经过20分钟两人相 遇。如果甲的速度比乙的速度快，求两人散步的速度？ 等量关系：甲行的路程－乙行的路程=环形周长 注：同时同向出发： 快车走的路程－环行跑道周长=慢车走的路程(第一次相遇) 同时反向出发： 甲走的路程+乙走的路程=环行周长（第一次相遇） www.czsx.com.cn 练习2、甲乙两人从同一村庄步行去县城，甲比乙早1小时出发，而晚1小时到达，甲每小时走4千米，乙每小时走6千米，求村庄到县城的距离？

练习2、甲乙两人从同一村庄步行去县城，甲比乙早1小时出发，而晚1小时到达，甲每小时走4千米，乙每小时走6千米，求村庄到县城的距离？

3、两地相距28公里，小明以15公里/小时的速度。小亮以 30公里/小时的速度，分别骑自行车和开汽车从同一地 前往另一地，小明先出发1小时，小亮几小时后才能 追上小明？ 解：设小亮开车x 小时后才能追上小明，则小亮所行路 程为30x公里，小明所行路程为15（x+1） 等量关系：小亮所走路程=小明所走路程 依题意得：30x=15（x+1） x=1 检验：两地相距28公里，在两地之间，小亮追不上小明

四、工程问题中的数量关系： 工作总量 完成工作总量的时间 ——————————— 1） 工作效率= 2）工作总量=工作效率×工作时间 工作总量 ————— 工作效率 3）工作时间= 4）各队合作工作效率=各队工作效率之和 5）全部工作量之和=各队工作量之和

例1 修筑一条公路，甲工程队单独承包要80天完成，乙工程队单独 承包要120天完成 1）现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？ 2）如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工作队另有任务， 剩下工作由乙工作队完成，则修好这条公路共需要几天？ 解： 1）设两工程队合作需要x天完成。 等量关系：甲工作量+乙工作量=1 依题意得 x=48 2）设修好这条公路共需要 y 天完成。 等量关系： 甲30天工作量+乙队y天的工作量 = 1 依题意得 y=75 答：两工程队合作需要48天完成，修好这条公路还需75天。

例2 已知开管注水缸，10分钟可满，拨开底塞，满缸水20 分钟流完，现若管、塞同开，若干时间后，将底塞塞 例2 已知开管注水缸，10分钟可满，拨开底塞，满缸水20 分钟流完，现若管、塞同开，若干时间后，将底塞塞 住，又过了2倍的时间才注满水缸，求管塞同开的时 间是几分钟？ 分析： 设两管同开x分钟 注入或放出率 注入或放出时间 注入或放出量 注入 放出 x+2x=3x（分钟） x（分钟） 等量关系：注入量－放出量=缸的容量 依题意得： x=4 答：管塞同开的时间为4分钟

解：设再经过x小时水槽里的水恰好等于水槽的 等量关系：甲管流进水的水+乙管流出的水 =水槽的 依题意得： 答：再经过 小时水槽里的水恰好是水槽容量的

例6 一个水池装甲、乙、丙三根水管，单开甲管10小时 可注满水池，单开乙管15小时可注满，单开丙管20 小时可注满。现在三管齐开，中途甲管关闭，结果6 小时把水池注满，问甲管实际开了几个小时？ 解：设甲管实际开了x小时 等量关系：甲管x小时的工作量+乙、丙两管同开 6 小时的工作量）= 1 依题意得： x=3 答：甲管实际开了3小时。

例7 分析： 解：设一共x天可以修完它的一半。 等量关系：4天的工作量+改进后（x – 4)工作量= 0.5 答：一共 天可以修完它的一半。

五、数字应用题 1、弄清数字问题中的特殊关系 1234=1 ×103+2 ×102+3 × 10+4 2）自然数 abcdefg 3) abcdefg 中的字母取值范围 1≤ a≤9 0≤ b、c、d、e、f、g ≤ 9 www.czsx.com.cn

2、例题举例 1)一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍 大1，个位上的数比十位上的数的3倍小1，如果把 这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调， 那么得到的三位数比原来的三位数大99， 求原来的三位数。 解：设十位上的数字为x，则百位上的数字为2x+1 个位上的数字为3x －1 等量关系：新三位数－原三位数=99 依题意，得：[100(3x －1)+10x+(2x+1)] － 　　　　　 [100(2x+1)+10x+(3x －1)] =99 x=3 2x+1=7 3x－1=8 答：原来这个三位数为738

2) 有一个七位数若把首位5移到末位，则原数比新数 的3倍还大8，求原数 。 分析： 原数=3 ×新数+8 ———— 5abcdef =3 × abcdef5 + 8 关键是把abcdef求出来，不妨设abcdef =x 七位数 5abcdef 如何表示？ ——— ———— 5abcdef =5 ×106+ abcdef = 5 ×106+ x ———— ——— 新数abcdef5 如何表示？ abcdef5 = abcdef ×10+5=10x+5 ———— ——— 解：设这个七位数的后六位为x。 依题意，得：5 ×106+ x=3(10x+5)+8 x=172413 ∴原数为5 ×106+ 172413=5172413

3、练习 1) 一个三位数，三个数位上的数字之和是15，个位上 的数是十位上的数的3倍，百位上的数比十位上的 数多5，求这个三位数。 解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为3x，百 位上的数字为x+5。 等量关系：个位数字+十位数字+百位数字=15 依题意，得：3x+ x +x +5 =15 x=2 3x=6 x+5=7 答：这个三位数是726

—— —— 已知四位数 ab52 的三倍比四位数52ab 大39， 求四位数ab52 ？ —— 解：设 ab =x，则ab52=100x+52 — —— —— 52ab=5200+x 等量关系：原数的3倍=新数+39 依题意，得：3(100x+52)=(5200+x)+39 x=17 答：四位数ab52 为1752。 ——

六、浓度问题应用题 1、有关浓度问题的数量关系： 溶液 = 溶质 + 溶剂 稀释：加水，溶质不变，溶液增加 加浓：加溶质，水不变，溶液增加 蒸发水，溶质不变，溶液减少

1)(稀释)：现有含盐16%的盐水30斤，要配制成含盐 10%的盐水，需加水多少斤？ 2、例题举例 1)(稀释)：现有含盐16%的盐水30斤，要配制成含盐 10%的盐水，需加水多少斤？ 解：设需加水x斤 分析： 加水前 加水后 前后情况 溶液重量 30 浓度 16% 溶质重量 30+x 变 不变 10% 变 www.czsx.com.cn 30 ×16% (30+x)10% 等量关系：加水前溶质的重量=加水后溶质的重量 依题意，得： 30 ×16%= (30+x) × 10% 答：需加水18斤。 x=18

2)(浓缩) 现有含盐16%的盐水30斤,要配制成含盐20%的 盐水,需蒸发掉水多少斤? 解：设需要蒸发掉x斤水 分析： 蒸发前 蒸发后 前后情况 溶液重量 浓度 溶质重量 30 30 － x 不变 变 16% 20% 变 30×16% 20%(30 －x) 等量关系：蒸发前溶质的重量=蒸发后溶质的重量 依题意，得： 30 ×16% = 20% (30 － x) x = 6 答：需要蒸发掉水6斤

3) (加浓) 现有含盐16%的盐水30斤，要配制成含盐20% 的盐水 ，需加盐多少斤？ 3) (加浓) 现有含盐16%的盐水30斤，要配制成含盐20% 的盐水 ，需加盐多少斤？ 解：设需要加盐x斤 溶液重量 浓度 溶质重量 混合前盐水 混合前盐 混合后 x 30 30 + x 16% 20% 100% 30×16% 等量关系：混合前溶质重量的和=混合后溶质的重量 x 20%(30 +x) 依题意，得：30 ×16%+x = (30+x) × 20% x = 1.5 等量关系：混合前水重量=混合后水的重量 依题意，得：30 ×（1 – 16%）= (30+x) ×（1 – 20%）

甲种酒精含纯酒精70%，乙种酒精含纯酒精55%。 现在要用这两种酒精配制成含纯酒精60%的混合酒3000克，那么甲种酒精、乙种酒精各要取多少克？ 解：设甲种酒取x克,则乙种酒取(3000 －x)克 酒精的重量 含酒精百分率 酒精重量 甲种酒精 乙种酒精 混合酒精                                          x 70% 70%x 55% 3000 －x 55%(3000 － x) 60% 3000 3000 × 60% 等量关系：两种酒酒精重量的和=混合酒酒精的重量 依题意得：70%x+ 55%(3000 － x) =3000 × 60% x=1000 3000 － x=2000 答：甲种酒精要取1000克，乙种酒精要取2000克。

现在要改变合金成分，使它含银3份，含铜7份， 应加入铜多少克？ 练习： 有银和铜合金200克，其中含银2份，含铜3份。 现在要改变合金成分，使它含银3份，含铜7份， 应加入铜多少克？ 解：设应加入铜x克 分析： 合金重量 银所占比例 含银量(克) 加铜前 加铜后 200 200+x 等量关系：加铜前合金的含银量=加铜后合金的含银量 依题意，得：

七、百分率应用题

1、打折销售 主要内容：利润＝ 售价－进价 售价＝标价×折数/10 利润率＝利润/进价×100％ 例题：一商店把货品按标价的九折出售，仍可获利12.5 ％，若货品近价为380元，则标价为多少元？ 例题：一商店经销一种商品，由于进货价格降低了6.4 ％，使得利润率提高了8个百分点，求原来经销这种商品的利润率. 例题：编一道“打折销售”的应用题，并能列方程（1+40%）•80%x -x =270来解答。

小颖的服装店同时卖出两套服装，每套均为168元，按成本计算，其中一套盈利20%，另一套亏本20%，请你帮小颖算算，在这次买卖中是亏了还是赚了，还是不亏不赚？

2）存款利息应用题 例2 小明的爸爸前年存了年利率为2.43%的两年期 定期储蓄。今年到期后，扣除利息税20%， 例2 小明的爸爸前年存了年利率为2.43%的两年期 定期储蓄。今年到期后，扣除利息税20%， 所得利息正好为小明买了一个价值48.6元的 计算器，问小明爸爸前年存了多少钱？ 利息 = 本金 × 年利率 × 期数 利息税 = 本金 × 年利率 × 期数×税率（20%） 等量关系：利息－利息税=应得利息 解：设小明爸爸前年存了x元。 依题意得：2 × 2.43%x （1－ 20%）= 48.6 x = 1250 答：小明爸爸前年存了1250元钱

3）增长率应用题 某工厂食堂第三季度一共节煤7400斤，其中八 月份比七月份多节约20%，九月份比八月份多 节约25%，问该厂食堂九月份节约煤多少公斤？ （间接设元） 解：设七月份节约煤x公斤。 则八月份节约煤(1+20%)x 公斤， 九月份节约煤(1+20%)(1+25%)x公斤 www.czsx.com.cn 依题意得：x+ (1+20%)x +(1+20%)(1+25%)x=7400 x=2000 (1+20%) (1+25%)x=3000 答:该食堂九月份节约煤3000公斤.

练习1 学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套 100元。店方表示：如果多购可以优惠，结果 校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样 练习1 学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套 100元。店方表示：如果多购可以优惠，结果 校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样 多的利润，求每套课桌椅的成本是多少？ （直接设元） 解：设每套课桌椅的成本价为x 元。 等量关系：60套时总利润=72套时总利润 依题意得： 60（100 － x）= 72（100 – 3 – x） x = 82 答：每套课桌椅的成本是82元。

练习2、某商店经销一种商品，由于进货价降低了5%，售出价 不变，使得利润率有原来的m%提高到（m + 6）%， 求m的值。 分析: 等量关系是售出价不变，两种不同利润率下的售价各如何表示？成本我们可以设为“1” 解: （1 + m%）=（1 – 5%）[ 1 +（m + 6）% ] 解得： m = 14

练习3：小颖的父母存三年期教育储蓄，三年后取出了5000元钱，你能求出本金是多少吗？ 2.88 六年 2.70 三年 2.25 一年 教育储蓄利率

有理数应用题举例

例1：每袋小麦的标准重量为90千克，10袋小麦称重记录如下： 91 91 91.5 89 91.2 91.3 88.7 88.8 91.8 91.1 10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？10袋小麦总重是多少千克？

解：以90千克为标准，超过的重量记为正数，不足的重量记为负数。则10袋小麦对应的数分别为： ＋1，＋1，＋1.5，-1，＋1.2，＋1.3，-1.3，-1.2，＋1.8，＋1.1。 1+1+1.5+（-1）+1.2+1.3+（-1.3） +（-1.2）+1.8+1.1＝[1+（-1)]+[1.2+(-1.2)]+[1.3+(-1.3)] +(1+1.5+1.8+1.1) = 5.4(千克) 90×10+5.4=905.4(千克） 所以10袋 小麦总计超过标准重量5.4千克，总重量为905.4千克。

练习： 女子排球队共有10名队员，身高分别为 173cm，174cm，170cm，176cm，180cm，175cm，177cm，179cm，174cm，172cm。 你能用比较简单的方法计算这个队队员的平均身高吗中？（175cm)

例2：麻桥中学定于11月举行运动会，组委会在修整跑道 时，工作人员从甲处开工，规定向南为正，向北为负，从开工处甲处到收工处乙处所走的路程为：＋10，—3，＋4，—2，＋13，—8，—7，—5，—2，（单位：米） （1)甲处与乙处相距多远？ （2）工作人员离开甲处最远是多少米？ （3）工作人员共修跑道多少米？ .

（2）工作人员离开甲处的距离依次为：10，7， 11， 9， 22 ， 14， 7 ，2， 0。（米） 解：（1）10-3+4-2+13-8-7-5-2 ＝10+4+13-3-2-8-7-5-2 ＝27-27 ＝0（米） ∴甲处与乙处相距0米，即在原处。 （2）工作人员离开甲处的距离依次为：10，7， 11， 9， 22 ， 14， 7 ，2， 0。（米） ∴工作人员离开甲处最远是22米。 （2）10+3+4+2+13+8+7+5+2 ＝54（米） ∴工作人员共修跑道54米

例3：下表列出了国外城市与北京的时差。（正号表示同一时刻比北京早和时数) (1)如果现在的时间是中午12：00，那么东京 是多少？ （2）如果小芳给在纽约的舅舅 城市 时差/时 纽约 —13 巴黎 —7 东京 +1 打电话，她在北京时间下午14：00打电话，你认为合适吗？ （3）已知芝加哥比北京时间晚14时，问北京时间9月20号晚上20：00时，芝加哥时间是几月几号几点钟？ www.czsx.com.cn

例4：股民小胡上星期五以每股13.10元的价格买进某种股票1000股，该股票的涨跌情况如下表（单位：元） （1）星期三收盘时，每股多少元？ （2）本周最高价是每股多少元？ （3）已知小胡买进股票时付了3‰的手续费，卖出时需付成交额 3‰的的手续费和成交额2‰的交易税，如果小胡在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 星期 一 二 三 四 五 每股 涨跌 -0.29 +0.06 -0.12 +0.24

例5：商场对顾客实行优惠，若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元，但不超过500元，按标准价给予九折优惠；若一次购物超出500元，其中500元按上述九折优惠外，超过500元的部分按八折优惠。某人两次购物分别付款168元和423元，如果合起来一次购买同样多的商品，他可节约多少钱？

例6、武汉商场在举行庆”五一“优惠销售活动中，采取”满一百送二十元，并且连环赠送“的酬宾方式。即顾客每花满100元（100元既可以是现金，也可以是奖励券，或者二者合计）就送20元奖励券，满200元就送40元奖励券，依此类推。有一天，一位顾客一次花了14000元钱，那么他还可以购回多少钱的物品？相当于几折销售？

例7、煤矿井下A点的海拔 高度为－174.8米，已知从A到B的水平距离为120米，每经过水平距离10米上升0.4米，已知B点在A点的上方。 （2）若C点海拔高度为－68.8米，每垂直升高10米用30秒，求从A到C所用的时间。 www.czsx.com.cn

如图：某一地区的自来水网络，小圆圈表示粗细不同的水管相连通，连线管标注的数字表示该段水管单位时间内可以通过的最大流水量，现从A向连接点B输送自来水，自来水可以沿不同路线输送，则单位时间内输送水量最大的是( ) (A)19 (B)24 (c)25 (D)26

例2 你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条， 把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就 把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示： 第一次捏合 第二次捏合 第三次捏合 （1）这样捏合4次后可拉出多少根面条？5次呢？n次呢？ （2）捏合多少次后可拉出64根面条？

如下图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条边 （包括两个顶点）有n （n＞1）个点，每个图形总的点数s是 多少？当n=7，11时，s是多少？你会列式计算吗? n=2 n=3 n=4 n=5 s= s= s= s= 3 6 9 12 这时s又分别是多少呢？

黑蚂蚁和红蚂蚁都认为自己跑得比对方快，刚好它们看到地上的几个半圆（图1），于是它们决定比一比。黑蚂蚁沿着大半圆从甲处跑到乙处；红蚂蚁沿着两个小半圆也从甲处跑到乙处。两只蚂蚁同时起跑， （1）   两只蚂蚁请你帮助判断：谁跑得快？  （2）两只蚂蚁对你的判断结果很不满意，决定再到（图2）的几个半圆处再比赛一次，请你猜一猜，哪一只蚂蚁先从甲处跑到乙处？   思考 www.czsx.com.cn

十一、我的小结 用一元一次方程解决实际问题的一般方法是什么？ 实际问题 数学问题 已知量、未知量、等量关系 解释 解的合理性 方程和解 方程 抽象 分析 实际问题 数学问题 已知量、未知量、等量关系 不合理 列出 www.czsx.com.cn 合理 验证 求出 解释 解的合理性 方程和解 方程