第 四 章 矩 阵 §1 矩阵概念的一些背景 §2 矩阵的运算 §3 矩阵乘积的行列式与秩 §4 矩阵的逆 §5 矩阵的分块 §6 初等矩阵 第 四 章 矩 阵 §1 矩阵概念的一些背景 §2 矩阵的运算 §3 矩阵乘积的行列式与秩 §4 矩阵的逆 §5 矩阵的分块 §6 初等矩阵 §7 分块矩阵的初等变换及应用举例

第一节 矩阵概念的一些背景 主要内容 前 言 矩阵应用举例 矩阵的表示和相等

一、 二、矩阵应用举例 引例 1 坐标变换矩阵 在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐 标系转轴 (反时针方向转轴)，那么平面直角坐标变 引例 1 坐标变换矩阵 在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐 标系转轴 (反时针方向转轴)，那么平面直角坐标变 换的公式为 其中  为 x 轴与 x 轴的夹角. 显然，新旧坐标之

间的关系，完全可以通过公式中系数所排成的如下 2  2 矩阵 表示出来. 通常，矩阵 (2) 称为坐标变换 (1) 的矩阵. 在空间的情形，保持原点不动的仿射坐标系的变换 有公式

同样，矩阵 就称为坐标变换 (3) 的矩阵.

引例 2 二次曲线的矩阵 二次曲线的一般方程为 ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 . (5) 引例 2 二次曲线的矩阵 二次曲线的一般方程为 ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 . (5) (5) 的左端可以用表 x y 1 a b d c e f 来表示，其中每一个数就是它所在的行和列所对应

的 x , y 或 1 的乘积的系数，而 (5) 的左端就是按这 样的约定所形成的项的和. 换句话说，只要规定了 x , y , 1 的次序，二次方程 (5) 的左端就可以简单地 用矩阵 来表示. 通常，(6) 称为二次曲线 (5) 的矩阵.

从方程到矩阵的过程如下： 方程 ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0 x y 1 a b d c e f 研究 抽象 x y 1 a b d c e f 以后我们会看到，这种表示法不只是形式的. 事实上，矩阵(6)的行列式就是解析几何中二次曲线的不变量 I3，这表明了矩阵(6)的性质确实反映了它所表示的二次曲线的性质. 表格 简 化 矩阵

引例 3 经济中的矩阵 在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵. 例如，假设在某一地区，某一种物资，比如说煤， 引例 3 经济中的矩阵 在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵. 例如，假设在某一地区，某一种物资，比如说煤， 有 s 个产地 A1 , A2 , … , As 和 n 个销地B1 , B2 ,…,Bn , 那么一个调运方案就可用一个矩阵 来表示，其中 aij 表示产地 Ai 运到销地 Bj 的数量.

引例 4 向量是特殊的矩阵 三、矩阵的表示和相等 n 维向量也可以看成是矩阵的特殊情形. n 维 行向量就是 1  n 矩阵. 引例 4 向量是特殊的矩阵 n 维向量也可以看成是矩阵的特殊情形. n 维 行向量就是 1  n 矩阵. n 维列向量就是n  1 矩阵. 三、矩阵的表示和相等 以后我们用大写的拉丁字母 A，B，…，或者 ( aij ) , ( bij ) , … 来代表矩阵. 有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以

把 s  n 矩阵写成 Asn , Bsn , … , 或者 ( aij )sn , ( bij )sn , … ( 注意矩阵的符号与行列式的符号的区别 ) . 设 A = ( aij )mn , B = ( bij )lk , 如果 m = l , n = k , 且 aij = bij ，对 i = 1, 2, … , m; j = 1 ,2 … , n 都成立, 则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记为 A = B . 只有 两个完全一样的才叫相等.

本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.

第二节 矩阵的运算 主要内容 加 法 乘 法 数量乘法 转 置

现在我们来定义矩阵的运算，它们可以认为是 矩阵之间一些最基本的关系. 下面要定义的运算是 矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转 置. 为了确定起见，我们取定一个数域 P，以下所 讨论的矩阵全由数域 P 中的数组成的.

一、加法 1. 定义 定义 1 设

是两个 s  n 矩阵，则矩阵

注意 称为矩阵 A 与矩阵 B 的和，记为 C = A + B . 1) 相加的矩阵必须有相同的行数和列数； 1) 相加的矩阵必须有相同的行数和列数； 2) 矩阵的加法是两个同型矩阵对应位置上 的元素相加.

Osn , 在不引起含混的时候，可简单地记为 O . 2. 零矩阵和负矩阵 定义2 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 Osn , 在不引起含混的时候，可简单地记为 O . 矩阵 称为矩阵 A 的负矩阵，记为 -A .

3. 运算规律 1) 结合律 A + ( B + C ) = ( A + B ) + C ; 2) 交换律 A + B = B + A； 3. 运算规律 1) 结合律 A + ( B + C ) = ( A + B ) + C ; 2) 交换律 A + B = B + A； 3) 零矩阵的运算 A + O = A； A + ( - A ) = O； 4) 减法 A - B = A + (-B ) . 5) 和矩阵的秩 秩 ( A + B )  秩 ( A ) + 秩 ( B )

二、乘法 1. 两个引例

2. 定义 定义 3 设有两个矩阵 A = ( aik )sn , B = ( bkj )nm , 那么矩阵 C = ( cij )sm , 2. 定义 定义 3 设有两个矩阵 A = ( aik )sn , B = ( bkj )nm , 那么矩阵 C = ( cij )sm , 其中 称为 A 与 B 的乘积，记为 C = A B .

注意 1) 只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二 个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘. 2) 三个矩阵的行列数之间关系为 1) 只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二 个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘. 2) 三个矩阵的行列数之间关系为 乘积矩阵的行数 = 左矩阵的行数； 乘积矩阵的列数 = 右矩阵的列数； 3) 乘积矩阵的第 i 行第 j 列的元素等于左矩阵 的第 i 行与右矩阵的第 j 列的对应元素乘积的和.

例 1 利用下列模型计算两个矩阵的乘积.

例 2 已知 求 AB. 解 因为 A 是 2×4 矩阵, B 是 4×3 矩阵, A 的列数等于 B 的行数, 所以矩阵 A 与 B 可以相乘, 其乘积 AB = C 是一个 2×3 矩阵, 由矩阵乘积的 定义有

例 3 求矩阵 的乘积 AB 及 BA. 解 由定义有

例 4 线性方程组的矩阵形式，设有方程组 若令

AX = B. AX = B. 3. 运算规律 则上述线性方程组可写成如下矩阵形式: 3. 运算规律 1) Ok×mAm×p=Ok×p , Am×pOp×n=Om×n ; 2) 结合律 ( AB )C = A( BC ); 3) 分配律 A( B + C ) = AB + AC, ( B + C ) A = BA + CA;

证明 只证结合律 设 A = ( aij )sn , B = ( bjk )nm , C = ( ckl )mr , 下面我们证明 ( AB ) C = A ( BC ) . 令 V = AB = ( vik )sm , W = BC = ( wjl )nr , 其中

因为 ( AB ) C = VC 中 VC 的第 i 行第 l 列元素为

证毕 而 A( BC ) = AW 中 AW 的第 i 行第 l 列元素为 由于双重连加号可以交换次序，所以 (7) 与 (8) 的 结果是一样的，这就证明了结合律. 证毕

4. 单位矩阵 定义 4 主对角线上的元素全是 1，其余元素 全是 0 的 n  n 矩阵 4. 单位矩阵 定义 4 主对角线上的元素全是 1，其余元素 全是 0 的 n  n 矩阵 称为 n 级单位矩阵，记为 En，或者在不致引含混 的时候简单写为 E .

n 级单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地位, 它的作用与 “1” 在初等代数中的作用相似.如 EA = AE = A .

5. 方幂 1) 定义 如果 A 是 n  n 级矩阵, 那么, AA 有定义, 也有意义, 因此有下述定义: 5. 方幂 1) 定义 如果 A 是 n  n 级矩阵, 那么, AA 有定义, 也有意义, 因此有下述定义: 定义5 设 A 是 n  n 级矩阵, m 是正整数, m 个Ａ相乘称为 Ａ 的 m 次幂，记为 Ａm , 即 另外还规定， Ａ0 = E.

2) 运算规律 设 A 为方阵, k, l 为正整数, 则 AkAl = Ak+l , (Ak)l = Akl . 2) 运算规律 设 A 为方阵, k, l 为正整数, 则 AkAl = Ak+l , (Ak)l = Akl . 又因矩阵乘法一般不满足交换律, 所以对于两个 n 级矩阵 A 与 B , 一般来说 (AB)k  AkBk .

三、数量乘法 1. 定义 定义 6 矩阵 称为矩阵 A = ( aij )sn 与数 k 的数量乘积，记为 kA. 1. 定义 定义 6 矩阵 称为矩阵 A = ( aij )sn 与数 k 的数量乘积，记为 kA. 用数 k 乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘以k.

2. 运算规律 ( k + l ) A = kA + lA , k (A + B ) = kA + kB , 2. 运算规律 ( k + l ) A = kA + lA , k (A + B ) = kA + kB , k ( lA ) = ( kl ) A , 1 A = A , k ( AB ) = ( kA ) B = A ( kB ) .

3. 数量矩阵 定义7 矩阵 称为数量矩阵.

设 A 是一 n  n 矩阵，则有 kA = ( kE ) A = A ( kE ) . 这个式子说明，数量矩阵与所有的 n  n 矩阵作乘 法是可交换的. 可以证明：如果一个 n 级矩阵与所 有 n 级矩阵作乘法是可交换的，那么这个矩阵一定 是数量矩阵. 关于数量矩阵，还有以下运算性质： kE + lE = ( k + l ) E , ( kE ) ( lE ) = ( kl ) E , 这就是说，数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的 加法与乘法.

四、 转置 1. 定义 定义 8 设 所谓 A 的转置就是指矩阵

矩阵 A 的转置矩阵也可记为 AT . 例 6 利用下列模型求矩阵的转置矩阵.

2. 运算规律 ( AT )T = A , ( A + B )T = AT + BT , ( AB )T = BTAT , 2. 运算规律 ( AT )T = A , ( A + B )T = AT + BT , ( AB )T = BTAT , ( k A )T = k AT .

例 7 设 验证 ( AB )T = BTAT . 解 因为 所以

又 故 ( AB )T = BTAT .

本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.

第三节 矩阵乘积的行列式与秩 主要内容 矩阵乘积的行列式 矩阵乘积的秩

一、矩阵乘积的行列式 定理 1 设 A，B 是数域 P 上的两个 n  n 矩 证明 阵，那么 | AB | = | A | | B | ， (1) 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘 积. 证明 这个定理就是第二章第八节的

推论 1 设A1, A2 , … , Am是数域 P 上的 n  n 定义 9 数域 P 上的 n  n 矩阵 A 称为非退 用数学归纳法，定理 1 不难推广到多个因子的 情形，即有 推论 1 设A1, A2 , … , Am是数域 P 上的 n  n 矩阵，于是 | A1 A2 … Am | = | A1 | | A2 | … | Am | . 定义 9 数域 P 上的 n  n 矩阵 A 称为非退 化的，如果 | A |  0；否则称为退化的. 显然，一 n  n 矩阵是非退化的充分必要条件 是它的秩等于 n .

推论 2 设 A，B 是数域 P 上的 n  n 矩阵, 矩阵 AB 为退化的充分必要条件是 A，B 中至少有 一个是退化的.

二、矩阵乘积的秩 定理 2 设 A 是数域 P 上的 n  m 矩阵，B 是 关于矩阵乘积的秩，我们有： 数域 P 上的 m  s 矩阵，于是 秩( AB )  min[ 秩( A ) , 秩( B ) ] . (2) 即乘积的秩不超过各因子的秩.

证明 为了证明 (2)，只需要证明 秩( AB )  秩( A ) 与 秩( AB )  秩( B ) 同时成立即可. 现在来分别证明这两个不等式. 设

令 B1 , B2 , … , Bm 表示 B 的行向量，C1 , C2 , … , Cn 表示 AB 的行向量. 由计算可知，Ci 的第 j 个分量 和 ai1B1 + ai2B2 + … + aimBm 的第 j 个分量都等于 因而 Ci = ai1B1 + ai2B2 + … + aimBm (i = 1,2, … , n), 即矩阵 AB 的行向量组 C1 , C2 ,…, Cn 可经 B 的行向 量组线性表出. 所以 AB 的秩不能超过 B 的秩，即 秩( AB )  秩( B ) .

证毕 同样，令 A1 , A2 , … , Am 表示 A 的列向量，D1 , D2 … , Ds 表示 AB 的列向量. 由计算可知， Di = b1iA1 + b2iA2 + … + bmi Am (i = 1,2, … , s). 这个式子表明，矩阵 AB 的列向量组可以经矩阵 A 的列向量组线性表出，因而前者的秩不可能超过后 者的秩，这就是说， 秩( AB )  秩( A ) . 证毕

推论 3 如果 A = A1 A2 … At , 那么 用数学归纳法，定理 2 不难推广到多个因子的 情形，即有 秩( A )  秩( Aj ) .

本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.

第 四 节 矩阵的逆 主要内容 引例 逆矩阵的定义 矩阵可逆的条件 可逆矩阵的性质 克拉默法则的另一证法 矩阵乘积的秩的性质

一、引例

二、逆矩阵的定义 1. 可逆的定义 定义 10 n 级方阵 A 称为可逆的，如果有n 定义 11 如果矩阵 B 适合 (1)，那么就称为 A 1. 可逆的定义 定义 10 n 级方阵 A 称为可逆的，如果有n 级方阵 B，使得 AB = BA = E , (1) 这里 E 是 n 级单位矩阵. 定义 11 如果矩阵 B 适合 (1)，那么就称为 A 的逆矩阵，记为 A-1 .

2. 逆矩阵的唯一性 证明 证毕 若方阵 A 可逆，则其逆矩阵唯一 . 设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则由定义 2. 逆矩阵的唯一性 若方阵 A 可逆，则其逆矩阵唯一 . 证明 设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则由定义 有 AB = BA = E，AC = CA = E， 于是 B = BE = B( AC ) = ( BA )C = EC = C . 所以逆矩阵唯一. 证毕

三、矩阵可逆的条件 1. 伴随矩阵 定义 12 设 Aij 是矩阵 现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆 的？ 如果 A 可逆，怎样求 A-1 ？ 为此先引入伴随 矩阵的概念. 1. 伴随矩阵 定义 12 设 Aij 是矩阵

中元素 aij 的代数余子式，矩阵 称为 A 的伴随矩阵.

由行列式按一行(列)展开的公式立即得出： (2) 其中 d = | A | . 如果 d = | A |  0，那么由 (2) 得 (3)

2. 矩阵可逆的充分必要条件 定理 3 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A 非 证明 退化，且 2. 矩阵可逆的充分必要条件 定理 3 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A 非 退化，且 证明 当 d = | A |  0，由 (3) 可知，A 可逆 且

证毕 反过来，如果 A 可逆，那么有 A-1 使 AA-1 = E . 两边取行列式，得 定理 3 不但给出了一矩阵可逆的条件，同时 也给出了求逆矩阵的公式 (4) ，用公式 (4) 求逆矩 阵的方法叫伴随矩阵法. 下面利用伴随矩阵法求逆阵.

例 １ 用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵 单 击 这 里 开 始

四、可逆矩阵的性质 设 A, B, Ai (i =1, 2, …, m) 为 n 级可逆方阵， k 为非零常数，则 A-1, kA, AB, A1A2…Am , AT 也都是可逆矩阵，且 (1) (A-1)-1 = A; (2) (3) (AB)-1 = B-1A-1, (A1A2…Am)-1 = Am-1…A2-1A1-1 ;

证明 我们只证（３）和（４）. 证毕 （4） (AT)-1 = (A-1)T ; （5） （6） (Am)-1 = (A-1)m , m 为正整数. 证明 我们只证（３）和（４）. （３） (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 =AEA-1 =AA-1 = E. （４） AT(A-1)T = (A-1A)T = (E)T = E, 所以 (AT)-1 = (A-1)T . 证毕

五、克拉默法则的另一证法 利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种 推导法. 线性方程组 可以写成 AX = B . (6)

如果 | A |  0，那么 A 可逆. 用 X = A-1B 代入 (6)，得恒等式 A( A-1B ) = B，这就是说 A-1B 是一解. 如果 X = C 是 (6) 的一个解，那么由 AC = B 得 A-1( AC ) = A-1B ， 即 C = A-1B . 这就是说，解 X = A-1B 是唯一的. 用 A-1 的公式 (4) 代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式.

六、矩阵乘积的秩的性质 定理 4 A 是一个 s  n 矩阵，如果 P 是 s  s 证明 联系到可逆矩阵，关于矩阵乘积的秩有： 可逆矩阵，Q 是 n  n 可逆矩阵，那么 秩( A ) = 秩( PA ) = 秩( AQ ) . 证明 令 B = PA , 由 秩( B )  秩( A )；

证毕 但是由 A = P -1B， 又有 秩( A )  秩( B ) . 所以 秩( A ) = 秩( B ) = 秩( PA ) . 另一个式子可以同样地证明. 证毕

例 2 设方阵 A 满足 证明 都可逆，并求 解 变形所给的等式，得 移项 得 分解因式 得

两边取行列式得 由方阵的行列式的性质得 所以 故 可逆. 又因为

变形 得 由逆矩阵的定义知 现再证 可逆. 移项 得 两边取行列式得

所以 可逆. 在等式 两边左乘 得 再两边右乘 得

例 3 设 求 B. 解 已知方程变形 得 分解因式 得 两边左乘 得

而

单击这里可求逆 用伴随矩阵法求逆， 得 所以

例 4 解下列矩阵方程 AXB = C 其中 解 由已知易得 X = A-1CB-1 , 下面求 A 和 B 的逆阵. 单击这里可求逆

单击这里可求逆 所以

证 将 A-1 + B-1 表示成已知的可逆矩阵的乘积: 例 5 设 n 级矩阵 A, B, A + B 均可逆, 证明 (A-1 + B-1)-1 = A(A + B)-1B = B(B + A)-1A. 证 将 A-1 + B-1 表示成已知的可逆矩阵的乘积: A-1 + B-1 = A-1(E + AB-1) = A-1(BB-1 + AB-1) = A-1(B + A)B-1 . 由可逆矩阵的性质可知 (A-1 + B-1)-1 = [A-1(A + B)B-1]-1 = B(B + A)-1A. 同理可证另一个等式也成立.

例 6 设 A 为 n 级方阵( n  2 ) ,证明 证 由于 AA* = A*A = |A|E , 所以 |A*| = |A|n-1. |A| |A*| = |A|n (4) 下面分三种情形讨论: (1) |A|  0, 即 A 可逆, (4) 式两端除以 |A| 即 得 |A*| = |A|n-1. (2) |A| = 0, 且 A = O, 则 A* = O, 结论显然成 立.

(3) |A| = 0, 但 A  O, 反设 |A*|  0, 则 A* 可逆, 因而 A = (AA*)(A*)-1 =(|A|E)(A*)-1 = |A|(A*)-1 = O, 故 A = O, 与 A  O 矛盾, 所以, |A*|=0=|A|n-1.

本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.

第 五 节 矩 阵 的 分 块 主要内容 矩阵分块法 分块矩阵的运算

一、矩阵分块法 1. 定义 对于行数和列数较高的矩阵 A, 运算时常采用 分块法, 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. 我们 1. 定义 对于行数和列数较高的矩阵 A, 运算时常采用 分块法, 使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. 我们 将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵, 每一个小矩阵称为 A 的子块,以子块为元素的形式 上的矩阵称为分块矩阵.

例如将 3×4 矩阵 分成子块的分法很多, 下面举出三种分块形式:

分法 (1) 可记为 其中 即 A11, A12, A21, A22 为 A 的子块,而 A 形式上成为 以这些子块为元素的分块矩阵. 分法 (2) 及 (3) 的 分块矩阵可类似写出, 这里略.

2. 常用的分块法 设有 s  n 矩阵 A = ( aij )sn , 则对 A 有以下三 种最常用的分块方法： 1) 按行分块 2. 常用的分块法 设有 s  n 矩阵 A = ( aij )sn , 则对 A 有以下三 种最常用的分块方法： 1) 按行分块 即把 A 的每一行当作一个子块，这时每个子 块为一行向量，也就是说，矩阵 A 是由一个行向 量组组成：

角矩阵(准对角矩阵) . 2) 按列分块 即把 A 的每一列当作一个子块，这时每个子 块为一列向量，也就是说，矩阵 A 是由一个列向 2) 按列分块 即把 A 的每一列当作一个子块，这时每个子 块为一列向量，也就是说，矩阵 A 是由一个列向 量组组成： 3) 分块对角矩阵(又称准对角矩阵) 当 n 级矩阵 A = ( aij )n 中非零元素都集中在主 对角线附近时，有时可将 A 分块成下面的分块对 角矩阵(准对角矩阵) .

其中 Ai 是 ni 级方阵 ( i = 1, 2, … , l ) .

二、分块矩阵的运算 1. 加法运算 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似, 分别说明如下: 1. 加法运算 设矩阵 A 与 B 的行数相同、列数相同, 采用 相同的分块法, 有

其中 Aij 与 Bij 的行数相同、列数相同, 那么 2. 数乘运算 设  为常数,那么

3. 分块矩阵的乘法运算 设 A 为 m×l 矩阵, B为 l×n 矩阵, 分块成

其中 Ai1 , Ai2 , …, Ait 的列数分别等于 B1j , B2j , …, Btj 的行数,那么 其中

例 1 设 求 AB. 解 把 A、B 分块成

则 而

于是

4. 分块矩阵的转置 设 则

5. 分块对角矩阵的运算 设 A 为 n 级矩阵,且 A 可分成如下分块对角矩 阵.

分块对角矩阵的性质: 1) |A| = |A1| |A2| … |Al| ; 2) 若 |Ai|  0 ( i = 1, 2, … , l ) , 则 |A|  0, 且

设 A，B 是两个 n 级矩阵，且采用相同的分法 可把它们都分成分块对角矩阵： 则有

例 2 设 n 级矩阵 D 分块为 解 其中 A，B 分别是 k 级和 r 级的可逆矩阵，C 是 r  k 级矩阵，O 是 k  r 级零知阵，求 D-1 . 解 因为 | D | = | A | | B | ， ( 证明见第二章第六节 ) 所以当 A，B 可逆时，D 也可逆.

设 于是

由此可得 X11 = A-1 X12 = O X21 = - B-1CA-1 X22 = B-1 所以

例 3 设 用矩阵分块的方法：(1) 计算 A2 ，AB；(2) 求 A-1 . 解 把矩阵 A，B 进行如下分块

并令

其中

则 1) 其中

其中

所以

2) 因为 所以 求 逆 由 求 逆 由

所以

本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.

第六节 初 等 矩 阵 主要内容 初等矩阵的定义 初等矩阵的性质 两个矩阵的等价关系 求逆矩阵的初等行变换法

一 、初等矩阵的定义 定义 13 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得 这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法 的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩 阵的方法. 一 、初等矩阵的定义 定义 13 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得 到的矩阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等矩阵.

1. 对调两行或对调两列 把单位矩阵中第 i , j 两行对调 ( ri  rj ), 得初 等矩阵, 记为 P( i , j ) . 1. 对调两行或对调两列 把单位矩阵中第 i , j 两行对调 ( ri  rj ), 得初 等矩阵, 记为 P( i , j ) . 第 i 行 第 j 行

2. 以数 c  0 乘某行或某列 以数 c  0 乘单位矩阵 E 的第 i 行 ( ri  c ) , 得初等矩阵, 记为 P( i(c) ) . 第 i 行

3. 以数 k 乘某行(列)加到另一行(列)上 去 以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( ri + krj ) [或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 ( cj + kci ) ], 得 初等矩阵, 记为 P( i , j(k) ) .

第 i 行 第 j 行 第 i 列 第 j 列

二、初等矩阵的性质 引理 设 A 是一个 s  n 矩阵, 对 A 施行一次 证明 初等行变换, 相当于在 A 的左边乘以相应的 s 级初 等矩阵; 对 A 施行一次初等列变换, 相当于在 A 的右边乘以相应的 n 级初等矩阵. 证明 我们只看行变换的情形，列变换的情 形可同样证明. 令 B = ( bij ) 为任意一个 s  s 矩阵, A1 , A2 , … , As 为 A 的行向量. 由矩阵的分块乘法,

第 i 行 第 j 行 特别，令 B = P( i , j ) , 得 这相当于把 A 的 i 行 与 j 行互换.

第 i 行 令 B = P( i (c) ) , 得 这相当于用 c 乘 A 的第 i 行. 第 i 行 第 j 行 令 B = P( i , j(k) ) , 得 这相当于把 A 的 j 行的 k 倍加到 i 行.

推论 初等矩阵都是可逆知阵, 且 1) P( i, j )-1 = P( i, j ); 2) 推论 初等矩阵都是可逆知阵, 且 1) P( i, j )-1 = P( i, j ); 2) 3) P( i , j(k) )-1 = P( i , j(-k) ). 在第二章第五节我们看到，用初等变换可以化 简矩阵. 如果同时用行与列的初等变换，那么还可 以进一步化简. 为了方便，我们引入：

三、两个矩阵的等价关系 1. 定义 定义 14 矩阵 A 与 B 称为等价，如果 B 可以 2. 等价关系的性质 1. 定义 定义 14 矩阵 A 与 B 称为等价，如果 B 可以 由 A 经过一系列初等变换得到. 记为 A ~ B . 2. 等价关系的性质 (i) 反身性 A ~ A; (ii) 对称性 若 A ~ B, 则 B ~ A; (iii) 传递性 若 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C.

4. 矩阵与其标准形的关系 定理 5 任意一个 s  n 矩阵 A 都与它的标准 证明 形等价，并且其标准形的主对角线上 1 的个数等于 4. 矩阵与其标准形的关系 定理 5 任意一个 s  n 矩阵 A 都与它的标准 形等价，并且其标准形的主对角线上 1 的个数等于 矩阵 A 的秩 ( 1 的个数可以是零) . 证明 如果 A = O，那么它已经是标准形了. 以下无妨假设 A  O . 经过初等变换，A 一定可以 变成一左上角元素不为零的矩阵.

当 a11  0 时，把其余的行减去第一行的 ( i = 2, 3, … , s ) 倍，其余的列减去第一列的 然后，用 乘第一行，A ( j = 2, 3, … , s ) 倍. 就变成

证毕 例 1 任意输入一个矩阵，用初等变换把它 A1 是一个 ( s - 1 )  ( n - 1 ) 的矩阵. 对 A1 再重复以 上的步骤. 这样下去就可得出所要的标准形. 显然，标准形矩阵的秩就等于它主对角线上 1 的个数. 而初等变换不改变矩阵的秩，所以 1 的个 数也就是矩阵 A 的秩. 证毕 例 1 任意输入一个矩阵，用初等变换把它 化为标准形. 单 击 这 里 开 始

5. 两个矩阵等价的充要条件 根据引理，对一矩阵作初等变换相当于用相应 的初等矩阵去乘这个矩阵. 因此，矩阵 A，B 等价 5. 两个矩阵等价的充要条件 根据引理，对一矩阵作初等变换相当于用相应 的初等矩阵去乘这个矩阵. 因此，矩阵 A，B 等价 的充分必要条件是有初等矩阵 P1 , … , Pl , Q1,…,Qt 使 A = P1 P2 … Pl B Q1 Q2 … Qt . (1) n 级可逆矩阵的秩为 n ，所以可逆矩阵的标准 形为单位矩阵； 反过来显然也是对的. 由 (1) 即得

定理 6 n 级矩阵 A 为可逆的充分必要条件是 推论 1 两个 s  n 矩阵 A，B 等价的充分必 它能表成一些初等矩阵的乘积： A = Q1 Q2 … Qm . (2) 由此即得 推论 1 两个 s  n 矩阵 A，B 等价的充分必 要条件是，存在可逆的 s 级矩阵 P 与可逆的 n 级 矩阵 Q 使 A = PBQ .

推论 2 可逆矩阵总可以经过一系列的初等行 证明 证毕 变换化成单位矩阵. 设 A 为可逆矩阵，则由定理 6 知，存 推论 2 可逆矩阵总可以经过一系列的初等行 变换化成单位矩阵. 证明 设 A 为可逆矩阵，则由定理 6 知，存 在初等矩阵 Q1 , Q2 , … , Qm 使 A = Q1 Q2 … Qm , 把它改写一个，有 Qm-1 Qm -1-1 … Q1-1A = E . 因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，同时在矩 阵 A 的左边乘初等矩阵就相当于对 A 作初等行变 换，所以结论得证. 证毕

四、求逆矩阵的初等行变换法 当 |A|  0 时, 由 A = P1P2 ... Pl , 有 Pl-1Pl-1-1 ... P1-1A = E, (i) 及 Pl-1Pl-1-1 ... P1-1E = A-1. (ii) (i) 式表明 A 经一系列初等行变换可变成 E , (ii) 式表明 E 经这同一系列初等行变换即变成 A-1 . 用分块矩阵形式, (i)、(ii) 两式可合并为:

Pl-1Pl-1-1 ... P1-1(A E) = ( E A-1) , 即对 n × 2n 矩阵 (A E) 施行初等行变换, 当把 A变成 E 时, 原来的 E 就变成 A-1 . 利用初等行变换求逆矩阵的方法, 还可用于 求矩阵 A-1B. 由 A-1(A B) = (E A-1B) 可知, 若对矩阵 (A B) 施行初等行变换, 当把 A 变为 E 时, B 就变为 A-1B.

例 2 设矩阵 用初等行变换法, 判断 A 是否可逆? 若可逆, 求 A-1. 解 单 击 这 里 开 始 所以

例 3 任意输入一个 3 级矩阵 A , 判断其是否 可逆, 若可逆, 求其逆矩阵 A-1 . 解 单 击 这 里 开 始 所以

例 4 任意输入一个 4 级矩阵 A , 判断其是否 可逆, 若可逆, 求其逆矩阵 A-1 . 单 击 这 里 开 始 解 所以

例 5 用初等行变换法解矩阵方程 AX = B , 其中 解 初等行变换 故

本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.

第七节 分块乘法的初等变换及应用举例 主要内容 分块初等矩阵 应用举例

一、分块初等矩阵 1. 定义 定义15 把单位矩阵 E 如下进行分块： 等矩阵. 对它进行三种初等变换所得到的矩阵称为分块初 1. 定义 定义15 把单位矩阵 E 如下进行分块： 对它进行三种初等变换所得到的矩阵称为分块初 等矩阵. 分块初等矩阵有以下三种：

1) 分块对换矩阵 对换两行(列)所得到 2) 分块倍乘矩阵 某一行(列)左乘(右乘)一个 矩阵 P 所得到 3) 分块倍加矩阵 一行(列)加上另一行(列)的 P (矩阵)倍数所得到

2. 分块初等矩阵的性质 和初等矩阵与初等变换的关系一样，分块初等 矩阵有与初等矩阵类似的性质： 2. 分块初等矩阵的性质 和初等矩阵与初等变换的关系一样，分块初等 矩阵有与初等矩阵类似的性质： 用分块初等矩阵左乘分块矩阵 A, 在保证可乘的 情况下，其作用相当于对分块矩阵 A 进行一次相应 的初等行变换； 用分块初等矩阵右乘分块矩阵 A， 其作用相当于对分块矩阵 A 进行一次相应的初等列 变换. 例如，设有如下分块矩阵

分别用三种分块初等矩阵左乘它，其结果如下：

分别用三种分块初等矩阵右乘它，其结果如下：

在 中，适当先择 P，可使 C + PA = O . 例如 A 可逆 时，选 P = - CA-1，则 C + PA = O . 于是上式右端 成为 这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其他问 题时是比较方便的，因此这种运算非常有用.

二、应用举例 例 1 设 其中 A，D 可逆，求 T -1 . 解 因为

且 所以

例 2 设 其中T1 , D可逆，试证(A - BD-1C)-1 存在，并求T1-1. 证明 因为

因为 T1 可逆，对它进行初等变换后仍可逆，即 可逆，故 (A - BD-1C)-1 存在. 由 解得

再由例 1，得

例 3 证明行列式的乘积公式 | AB | = | A | | B |. 作 设 A，B 为 n  n 矩阵，作 i , j = 1, 2, … , n , 这里 Eij 为 n  n 矩阵，除了第 i 行第 j 列元素为 aij 外，其他元素皆为零. 则由初

等矩阵与初等变换的关系，易得下列关系式 又由 Pij 所对应的初等变换是某行加上另外一行的 倍数，它不改变行列式的值，故 (第二章第六节 )

证毕 又因为矩阵 作 n 次列对换可变成矩阵 即 所以 这就证明了 | AB | = | A | | B |. 第 j 列与第 n + j 列对换 j = 1, 2, … , n 所以 这就证明了 | AB | = | A | | B |. 证毕

例 4 设 A = ( aij )n  n , 且 证明 则有下三角形矩阵 Bn  n 使 BA = 上三角形矩阵. 对 n 作归纳法. 既是上三角形又是下三角形，故命题成立.

设对 n - 1 命题为真，我们来看 它仍满足命题中所设的条件. 由归纳法假设，有下 三角形矩阵 ( B1 )( n - 1)  ( n - 1) 满足 B1A1 = 上三角形矩阵.

对 A 作如下分块： 则 再作

这时矩阵已成为上三角形了. 将两次乘法结合起来 就得到： 此即为所要求的下三角矩阵. 证毕

本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.