第八章 期权定价的数值方法 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
主要内容 二叉树期权定价模型 蒙特卡罗模拟 有限差分方法 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
二叉树模型的基本方法 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
无套利定价法 构造投资组合包括 D份股票多头和1份看涨期权空头 当SuD – ƒu = Sd D – ƒd ，则组合为无风险组合 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
无套利定价法（续） 组合在 T 时刻价值为 Su D – ƒu 组合现值应为： (Su D – ƒu )e–rT 组合现值的另外一个表达式为：S D – f 因此：ƒ = S D – (Su D – ƒu )e–rT Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
无套利定价法（续） 将代入上式就可得到： 其中 将 代入上式，可以得到： 其中： 将 代入上式，可以得到： 其中： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
风险中性定价法 在风险中性世界里： （1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。 在风险中性的条件下, 参数值满足条件： 同样可以推得： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
证券价格的树型结构 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
倒推定价法 得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价 值得注意的是，如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
举例说明 假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该期权的价值。 利用倒退定价法，可以推算出初始结点处的期权价值为4.48元。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
续 为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.0833年）。可以算出： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
美式看跌期权二叉树 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
二叉树方法的一般定价过程 以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权有效期划分成N个长度为 的小区间，令 表示在时间 时第j个结点处的美式看跌期权的价值，同时用 表示结点 处的证券价格，可得： 后 ，假定期权不被提前执行，则在风险中性条件下： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
支付连续红利率资产的期权定价 当标的资产支付连续收益率为q的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为r-q，因此： 其中 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
支付已知红利率资产的期权定价 如果 时刻在除权日之前，则结点处证券价格仍为： 如果 时刻在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为： 如果 时刻在除权日之前，则结点处证券价格仍为： 如果 时刻在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为： 对在期权有效期内有多个已知红利率的情况， Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
已知红利额 假设红利数额已知且波动率为常数时的二叉树图 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
已知红利额 把证券价格分为两个部分：一部分是不确定的，其价值用 表示，而另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值，假设在期权有效期内只有一次红利。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
利率是时间依赖的情形 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
P=0.5的二叉树图 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
三叉树图 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
三叉树图:一些参数 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
控制方差技术 控制方差技术是数值方法的一个辅助技术，可以应用在二叉树模型、蒙特卡罗模拟和有限差分方法上。其基本原理为：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
适应性网状模型 在使用三叉树图为美式期权定价时，当资产价格接近执行价格时和接近到期时，用高密度的树图来取代原先低密度的树图。即在树图中那些提前执行可能性较大的部分，将一个时间步长 进一步细分，如分为 ，每个小步长仍然采用相同的三叉树定价过程，这样使得树图更好地反映了实际情形，从而大大提高了定价的效率和精确程度。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
隐含树图 通过构建一个与目前市场上的期权价格信息相一致的资产价格树图，从而得到市场对标的资产价格未来概率分布的看法。其具体方法是在二叉树图中，通过前一时刻每个结点的期权价格向前推出（注意不是倒推）下一时刻每个结点的资产价格和相应概率 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
二叉树定价模型的深入理解 二叉树图模型的基本出发点在于：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。同时二叉树模型与风险中性定价原理相一致，即模型中的收益率和贴现率均为无风险收益率，资产价格向上运动和向下运动的实际概率并没有进入二叉树模型，模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率，从而为期权定价。实际上，当二叉树模型相继两步之间的时间长度趋于零的时候，该模型将会收敛到连续的对数正态分布模型，即布莱克－舒尔斯偏微分方程。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗模拟是一种通过模拟标的资产价格的随机运动路径得到期权价值期望值的数值方法，也是一种应用十分广泛的期权定价方法 基本过程：蒙特卡罗模拟要用到风险中性定价原理，其基本思路是：由于大部分期权价值实际上都可以归结为期权到期回报的期望值的折现，因此，尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种路径结果下的期权回报均值，之后贴现可以得到期权价值。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
蒙特卡罗模拟的技术实现 在风险中性世界中， 为了模拟的路径，我们把期权的有效期分为N个长度为△t时间段，则上式的近似方程为 或 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
举例说明 假设无红利的股票价格运动服从式（8.12），年预期收益率为14％，收益波动率为每年20％，时间步长为0.01年，则根据式（8.12）有 通过不断从标准正态分布样本中抽取 的值，代入上式，我们可以得到股票价格运动的一条路径。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
表：股票价格模拟 每步开始时的股票价格 随机抽样值 该时间步长中的股票价值变化 20.000 0.52 0.236 20.236 1.44 0.611 20.847 －0.86 －0.329 20.518 1.46 0.628 21.146 －0.69 －0.262 20.883 －0.74 －0.280 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
单个变量和多个变量的蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗模拟的优点之一在于无论回报结果依赖于标的变量S所遵循的路径还是仅仅取决于S的最终价值，都可以使用这一方法。同时，这个过程也可以扩展到那些回报取决于多个标的市场变量的情况。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
当回报仅仅取决于到期时S的最终价值时 可以直接用一个大步（ ）（假设初始时刻为零时刻）来多次模拟最终的资产价格，得到期权价值 ： 可以直接用一个大步（ ）（假设初始时刻为零时刻）来多次模拟最终的资产价格，得到期权价值 ： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
当回报依赖于多个市场变量时 当存在多个标的变量时，每次模拟运算中对每个变量的路径都必须进行抽样，从样本路径进行的每次模拟运算可以得出期权的终值，假设期权依赖于n个变量, ，其离散形式可以写成： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
随机利率的蒙特卡罗模拟 如果期权模型中的变量之一本身就是短期无风险利率或是其他与有关的变量，例如利率衍生产品，则蒙特卡罗模拟方法与前类似，只是要模拟风险中性世界中r的路径，每次模拟时既要计算r到期时终值相应带来的期权回报，又要计算期权有效期内r的平均值。最后折现的时候使用的贴现率是这个平均值，用数学符号表示为： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
随机样本的产生 是服从标准正态分布的一个随机数。大多数程序语言都为抽取0到1之间的随机数编制了程序。如果只有一个单变量,则 可以通过下式获得： 其中 是0到1的相互独立的随机数。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
模拟运算次数的确定 如果对估计值要求95％的置信度，则期权价值应满足 式中， 为运算次数， 为均值， 是标准差，期权估计值的标准误差为 ： 式中， 为运算次数， 为均值， 是标准差，期权估计值的标准误差为 ： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
减少方差的技巧 对偶变量技术 控制方差技术 重点抽样法 间隔抽样法 样本矩匹配法 准随机序列抽样法 树图取样法 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
有限差分方法 在金融界，有限差分方法越来越多地用在期权定价当中。其主要思想是：应用有限差分方法将衍生证券所满足的偏微分方程 转化为一系列近似的差分方程，即用离散算子逼近 、 和 各项，之后用迭代法求解， 得到期权价值。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
有限差分方法的格点图 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
隐性有限差分法 隐性有限差分法可以理解为从格点图内部向外推知外部格点的期权价值 ，如图所示： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
的近似 对于坐标方格内部的点 ，期权价值对资产价格的一阶导数可以用三种差分来表示： 对于坐标方格内部的点 ，期权价值对资产价格的一阶导数可以用三种差分来表示： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
的近似 对于点 处的 ，我们则采取前向差分近似以使时刻 的值和时刻 的值相关联： 对于点 处的 ，我们则采取前向差分近似以使时刻 的值和时刻 的值相关联： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
的近似 这个二阶差分也是中心差分，其误差为 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
差分方程 把以上三个近似代入布莱克－舒尔斯偏微分方程，整理得到： 其中： Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
边界条件 1 其中 2 3 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
求解期权价值 用方程差分方程和边界条件，我们可以写出联立方程： 和 ， ， 和 ， ， Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
显性有限差分法 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
显性有限差分法 其中 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
有限差分方法和树图方法的比较分析 有限差分方法和树图方法是相当类似的。实际上很多人认为树图方法就是解出一个偏微分方程的一种数值方法，而有限差分方法其实是这个概念的一个扩展和一般化。这两种方法都用离散的模型模拟资产价格的连续运动，主要差异在于树图方法中包含了资产价格的扩散和波动率情形，而有限差分方法中的格点则是固定均匀的，只是参数进行了相应的变化，以反映改变了的扩散情形。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
隐性和显性有限差分方法的比较 显性方法计算比较直接方便，无需象隐性方法那样需要求解大量的联立方程，工作量小，易于应用。但是如前所述，显性方法存在一个缺陷：它的三个“概率”可能小于零，这导致了这种方法的不稳定，它的解有可能不收敛于偏微分方程的解。而隐性方法则不存在这个问题，它始终是有效的。 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
变量的置换 在使用有限差分方法时，人们常常把标的变量S 置换为 。这样偏微分方程改为 Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University