第3章 比與比例式 3-2 比例式 一、章節內容

1.比的相等：兩個比相等，它們的比值也會相等；而兩個 比的比值相等時，則這兩個比也會相等。

2.比的性質：一個比的前項與後項同乘或同除一個不為0的數 字時，它的比值不變。 即 a：b=(a ×m)：(b ×m) ，m≠0 a：b=(a ÷m)：(b ÷m) ，m≠0 例1： 15：24 = (15 ÷3)：(24 ÷3) = 5：8 例2： 3：5 = (3 ×2)：(5 ×2) = 6：10

3.最簡整數比：如果一個比的各項都是整數，且它們的最大公 因數是1，那麼就說這個比是最簡整數比。

4.比例式：若兩個比a：b與c：d (b≠0，d≠0)的比值相同， 等式就做比例式。a和d叫做這個比例式的外項， b和c叫做這個比例式的內項。

5.比例積：比例式中的外項乘積等於內項乘積。也就是 若a：b = c：d，則ad=bc。

6.比值法：如果x：y = a：b (a≠0)，則 ，也就是 x：a =y：b，由此可設 x=ar，y=br (r≠0)。

二、範例講解

令x=2r，y=3r，則 (2x+3y)：(6x-7y) = 13r：(-9r) = 13：(-9) 1.若3(x+y)：2y=5：2，求(2x+3y)：(6x-7y)的比值。 解: 3(x+y)：2y=5：2 23(x+y)=52y 6x+6y=10y 6x=4y x：y = 2：3 令x=2r，y=3r，則 (2x+3y)：(6x-7y) = 13r：(-9r) = 13：(-9) 答:

(x-1)：(y+1) = (16-1)：(20+1) = 5：7 = 5/7 2.設x：y=4：5，且2x-y=12，求(x-1)：(y+1)的比值。 令x=4r，y = 5r 解: x：y = 4：5 2(4r)-(5r)=12 3r=12 r=4 (x-1)：(y+1) = (16-1)：(20+1) = 5：7 = 5/7 答:

解 : (x-y+1)：(x+y-3) = 3：2 2(x-y+1)=3(x+y-3) 2x-2y+2=3x+3y-9 11=x+5y 6 1 注意：x=1、y=2 使得 x-y+1=0 所以，x=1、y=2不合。 1 2 答: x=6、y=1

解 : (1)-(2)得 x-4y=0 x=4y x：y = 4 ：1 x=8時，y=2 2(8)-3(2)+z=2 10+z=2 4.若2x-3y+z=2，且3x-2y+2z=4。(1)求x：y=？ (2)當x=8時，求z=？ 解 : (1)-(2)得 x-4y=0 x=4y x：y = 4 ：1 x=8時，y=2 2(8)-3(2)+z=2 10+z=2 z= -8 答: (1)x：y = 4：1 (2)z= -8

解 : 設甲、乙兩人每月收入分別為4x與5x 甲、乙兩人每月支出分別為6y與7y ，則 x=4000 (2)-(1)得 2x=8000 5.甲、乙兩人每月收入比為4：5，支出比為6：7，若甲每月結 餘4000元，乙每月結餘6000元，求兩人每月收入各多少元？ 解 : 設甲、乙兩人每月收入分別為4x與5x 甲、乙兩人每月支出分別為6y與7y ，則 (2)-(1)得 2x=8000 x=4000 4x=16000，5x=20000 答: 甲每月收入為16000元、乙每月收入為20000元

解 : 設兄弟原有錢數分別為7x與9x，則 21x-180 = 18x-120 (7x-60) : (9x-60) = 2 : 3 6.兄弟原有錢數的比為7：9，各用去60元後，兄弟剩下錢數 的比為2：3，則兄原有 元，弟原有 元。 解 : 設兄弟原有錢數分別為7x與9x，則 (7x-60) : (9x-60) = 2 : 3 21x-180 = 18x-120 3x=60 x=20 7x=140，9x=180 答: 兄原有140元、弟原有180元

解 : 設女性人數與男性人數分別為4x與5x，則 7.某公司原有員工若干人，女性人數與男性人數的比例為4：5， 今該公司又新進26名員工，其中6人為女性，最後女性員工占 全體員工的七分之三。試問該公司原有員工多少人？ 解 : 設女性人數與男性人數分別為4x與5x，則 最後女性員工有4x+6 最後全體員工有9x+26 (4x+6) : (9x+26) = 3 : 7 28x+42 = 27x+78 x=36 9x=324 答: 公司原有324人

解 : 設4年前兄的年齡為4x，弟的年齡為3x，則 8.兄弟二人4年前的年齡比為4：3，距今4年後的年齡比為6：5， 求兄弟兩人現年各是幾歲？ 解 : 設4年前兄的年齡為4x，弟的年齡為3x，則 現年兄的年齡為4x+4，弟的年齡為3x+4 4年後兄的年齡為4x+8，弟的年齡為3x+8 (4x+8) : (3x+8) = 6 : 5 20x+40 = 18x+48 2x=8 x=4 答: 兄現年20 歲，弟現年16歲

甲、乙二國中學生總數之比= 8x : 5y = 8x : 10x =4 : 5 9.甲、乙二國中男女生人數之比分別為5：3及3：2，二國中 合併後，男女生人數之比為11：7，求甲、乙二國中學生 總數之比為多少？ 解 : 設甲國中男生有5x，女生有3x 乙國中男生有3y，女生有2y 合併後男生有5x+3y，女生有3x+2y (5x+3y) : (3x+2y) = 11 : 7 35x+21y=33x+22y 2x=y 甲、乙二國中學生總數之比= 8x : 5y = 8x : 10x =4 : 5 答: 4 : 5

解 : 設錄取的男生有3x，女生有2x 未錄取的男生有2y，女生有y 男生總共有3x+2y，女生有2x+y 10.某國中應屆畢業生，參加高中升學考試男女生人數之比為 15：8，錄取者男女生之比為3：2，未錄取者男女生之比為 2：1，求男生錄取率為多少？ 解 : 設錄取的男生有3x，女生有2x 未錄取的男生有2y，女生有y 男生總共有3x+2y，女生有2x+y (3x+2y) : (2x+y) = 15 : 8 24x+16y=30x+15y y=6x 男生錄取率= =20 ﹪ 答: 20 ﹪

三、自我測驗

解 : (x-1)：3=(x+1)：6 6x-6=3x+3 x=3 9：15=3：x 9x=45 x=5 x=12 3：5=x：20 1.下列何式中的x的值最小？ (A)(x-1)：3=(x+1)：6 (B)9：15=3：x (C)3：5=x：20 (D)24：x=12：7 。 解 : (x-1)：3=(x+1)：6 6x-6=3x+3 x=3 9：15=3：x 9x=45 x=5 x=12 3：5=x：20 60=5x 24：x=12：7 168=12x x=14 答: A

(x+y)：(x-y) = (3r+7r)：(3r-7r) = 5：(-2) 2.設x：y=3：7，則 (A)(x+y)：y=10：7 (B)(x-y)：y= -4：7 (C)(x+y)：(x-y)=5：(-2) (D)以上全對 。 解 : (x+y)：y = (3r+7r)：7r = 10：7 (x-y)：y = (3r-7r)：7r = -4：7 (x+y)：(x-y) = (3r+7r)：(3r-7r) = 5：(-2) 答: D

解 : a=5，b=15 答: C 3.若7：3=7×5：3×a=35：b，則a、b的大小關係為 (A)a＞b (B)a=b (C)a＜b (D)以上皆非 。 解 : a=5，b=15 答: C

4.下列選項中，那兩個比相等？ (A)11：8，4：3 (B)0.4：1.2， 0.5：1.3 (C)6：8， ： (D)7：6，6：5 。 解 : 11：8 = 33：24 ，4：3 = 32：24 0.4：1.2 = 0.52：1.56，0.5：1.3 = 0.6：1.56 6：8 = 3：4 ， ： = 3：4 7：6 = 35：30，6：5 = 36：30 答: C

解 : 令a=8r，b=5r 8r-5r=1500 3r=1500 r=500 a=4000，b=2500 a+b=6500 答: B 5.設a：b=8：5，且a-b=1500，則a+b= (A)6300 (B)6500 (C)3400 (D)1200。 解 : 令a=8r，b=5r 8r-5r=1500 3r=1500 r=500 a=4000，b=2500 a+b=6500 答: B

解 : 令男生有9r，女生有8r，則 9r+8r=4607 r=271 9r=2439 答: B 6.某校共有學生4607人，其中男生人數與女生人數的比為9：8， 則男生有多少人？ (A)2166 (B)2439 (C)2176 (D)2451 人。 解 : 令男生有9r，女生有8r，則 9r+8r=4607 r=271 9r=2439 答: B

解 : 設兩段鐵線長為2r與3r，則 r=12 2r+3r=60 兩段鐵線長為24公分與36公分 兩正方形的邊長為6公分與9公分 7.一條鐵線長60公分，按2：3的比剪成兩段，每段折成正方形， 則這兩正方形的面積和為多少平方公分？ (A)24 (B)36 (C)117 (D)119 平方公分。 解 : 設兩段鐵線長為2r與3r，則 2r+3r=60 r=12 兩段鐵線長為24公分與36公分 兩正方形的邊長為6公分與9公分 兩正方形的面積和為36+81=117 答: C

解 : 5x=4y x : y = 4 : 5 令x=4r，y=5r (x2+y2)：(x2-y2) 8.設x、y皆不為0，若5x=4y，則(x2+y2)：(x2-y2)的比值= (A) (B) (C) (D) 。 解 : 5x=4y x : y = 4 : 5 令x=4r，y=5r (x2+y2)：(x2-y2) =(16r2+25r2)：(16r2-25r2) =41r2：(-9r2) 答: B

解 : (x+y)：(x+2y) = 2：3 3x+3y=2x+4y x=y x：y=1：1 (x+3y)：(x+4y)=4 ：5 9.(x+y)：(x+2y)=2：3，則 (A)x：y=2：3 (B)(x+3y)：(x+4y)=5：4 (C)(x+3y)：(x+2y)=3：4 (D) (2x+3y)：(x+2y) =5：3。 解 : (x+y)：(x+2y) = 2：3 3x+3y=2x+4y x=y x：y=1：1 (x+3y)：(x+4y)=4 ：5 (x+3y)：(x+2y)=4：3 (2x+3y)：(x+2y)=5：3 答: D

解 : a：b=c：d bc=ad a：c=b：d bc=ad d：b=c：a bc=ad b：a=d：c bc=ad a：d=c：b 10.設a、b、c、d都不是0，若a：b=c：d，則下列何者不成立？ (A)a：c=b：d (B)d：b=c：a (C)b：a=d：c (D)a：d=c：b。 解 : a：b=c：d bc=ad a：c=b：d bc=ad d：b=c：a bc=ad b：a=d：c bc=ad a：d=c：b dc=ab 答: D

解 : 設5年前父的年齡為3x，子的年齡為x，則 11.父子兩人五年前年齡比為3：1，若五年後年齡比為a：b，則 (A) (B) (C) (D)以上皆非 。 解 : 設5年前父的年齡為3x，子的年齡為x，則 現在父的年齡為3x+5，子的年齡為x+5 5年後父的年齡為3x+10，子的年齡為x+10 (假分數分子分母同加正數愈加愈小) 答: C

解 : 設女性人數與男性人數分別為5x與7x，則 最後女性員工有5x+5 12.某公司原有員工若干人，女性人數與男性人數的比率為5：7 ，今該公司又新進32名員工，其中5人為女性，最後女性員工 佔全體員工的 ，試問該公司原有員工多少人？ (A)100 (B)108 (C)120 (D)140 人。 解 : 設女性人數與男性人數分別為5x與7x，則 最後女性員工有5x+5 最後全體員工有12x+32 (5x+5) : (12x+32) =5 :14 70x+70=60x+160 10x=90 x=9 12x=108 答: 公司原有108人

解 : 設酒精溶液中，酒精重為5x，水重7x，則 13.已知酒精溶液中，若酒精與水的比為5：7，若水比酒精多 300公克，則溶液中含酒精 公克。 解 : 設酒精溶液中，酒精重為5x，水重7x，則 7x-5x=300 2x=300 x=150 5x=750 答: 750公克

解 : 設現在父的年齡為10x，子的年齡為3x，則 14.父子現年年齡比為10：3，五年前父子年齡比為9：2，則 父親現在 歲。 解 : 設現在父的年齡為10x，子的年齡為3x，則 5年前父的年齡為10x-5，子的年齡為3x-5 (10x-5)：(3x-5) = 9：2 20x-10=27x-45 35=7x x=5 10x=50 答: 50歲

解 : 設兄弟原有資本額分別為7x與4x，則 後來兄弟資本額分別變為7x-5600與4x+5600，則 15.兄弟二人經商，最初資本額的比是7：4。以後兄損失5600元 ，弟獲利5600元，則兄弟資本額的比是5：6。則兄原有資本 額 元；弟原有資本額 元。 解 : 設兄弟原有資本額分別為7x與4x，則 後來兄弟資本額分別變為7x-5600與4x+5600，則 (7x-5600) : (4x+5600)=5 : 6 42x-33600 = 20x-28000 42x-33600 = 20x+28000 22x = 61600 x = 2800 7x=19600；4x=11200 答: 兄原有資本額19600元；弟原有資本額11200元

解 : 依題意設原有男生有3x+15，女生有4x 最後男生有3x，女生有4x-11 3x : (4x-11) = 5 : 3 16.在一群男女生中，男生走了15人時，剩下來的男女生之 比為3：4，之後女生走了11人時，男女生之比變為5：3 ，則最初男女生各有多少人？ 解 : 依題意設原有男生有3x+15，女生有4x 最後男生有3x，女生有4x-11 3x : (4x-11) = 5 : 3 9x = 20x-55 55 = 11x x = 5 3x+15=30；4x=20 答: 最初男生有30人；女生有20人

解 : 設錄取高中的人數為4x，五專的人數為x 17.某年度，報考高中與五專升學考試的人數比為2：1，高中與 五專錄取者之比為4：1，落榜者比為3：2，則高中的錄取率 = 。 解 : 設錄取高中的人數為4x，五專的人數為x 未錄取高中的人數為3y，五專的人數為2y 考高中的人數為4x+3y，五專的人數為x+2y (4x+3y) : (x+2y) = 2 : 1 4x+3y = 2x+4y 2x = y 高中錄取率= = 40 ﹪ 答: 40 ﹪

設甲需再加x 杯水，則 (5+7) : (12+7+x) = 4 : 10 120 = 76+4x x = 11 18.甲、乙兩個人調酸梅湯。甲用5杯酸梅原汁加7杯水調成， 乙用4杯酸梅原汁加6杯水調成，則 (1)甲、乙兩個人所調出的酸梅湯，誰的較酸？ (2)若甲再添加7杯酸梅原汁，則甲需再加多少杯水才和乙 的酸梅湯一樣酸？ 解 : 甲調出的酸梅湯濃度= 乙調出的酸梅湯濃度= 設甲需再加x 杯水，則 (5+7) : (12+7+x) = 4 : 10 120 = 76+4x x = 11 答: (1)甲 (2)11