解直角三角形应用举例

例1 如图1,某海防哨所O发现在它的北偏西30°,距离500m的A处有一艘船. 该船向正东方向航行,经过3分到达哨所东北方向的B处 例1 如图1,某海防哨所O发现在它的北偏西30°,距离500m的A处有一艘船.该船向正东方向航行,经过3分到达哨所东北方向的B处.求这船的航速是每时多少km( 取1.7)? 解: 设AB与正北方向线交于点C,则OC⊥AB. 图1 在Rt△AOC中,OA= ,∠AOC= ,  500m 30° ∴AC=OAsin∠AOC=500sin30°=500× =250(m). OC=OAcos∠AOC=500cos30°=500× =250 (m). 在Rt△COB中, ∠BOC= 45°,  ∴BC=OC=250 (m). ∴AB=AC+BC= 250+250 =250(1+ ) ≈250(1+1.7)=675 675÷3×60＝13500 (m) 答:这船的航速是每时13.5km.

练一练 如图2,建筑物B在建筑物A的正北方向. 在O地测得Ａ在O地的东南方向60m处,Ｂ在O地的北偏东30º方向 练一练 如图2,建筑物B在建筑物A的正北方向.在O地测得Ａ在O地的东南方向60m处,Ｂ在O地的北偏东30º方向.求O,B的距离和A,B的距离. 答:O,B的距离为 m, A,B的距离为 m. C 图2

图3 引例 如图3,在高为100米的山顶A测得地面C处的俯角为45°,地面D处的俯角为30°(B,C,D三点在一条直线上),那么 ∠CAE 45º ⑴∠ACB＝ ＝45°, ∠ ＝∠ ＝30°; ⑵在Rt△ABC中,BC＝ 米, 在Rt△ABD中,BD＝ 米; ⑶ CD＝ －BC＝ 米. DAE ADB 30º 100 100 －100 100 ( ) BD 图3 NEXT

仰角、俯角的定义: 仰角和俯角: 指视线和水平线所成的角. ⑴仰角:视线在水平线上方时 ⑵俯角:视线在水平线下方时 BACK

这时通常可考虑用线段的和或差这一间接方法. 例2 如图4,河对岸有水塔AB.在C处测得塔顶A的仰角为30º,向塔前进12m到达D,在D处测得A的仰角为45º,求塔高. 解: 在Rt△ADB中, BD= ABcot∠ADB=ABcot45°. 图4 D C B A ﹚ 45° 30° 12m 图4 在Rt△ACB中, BC= ABcot∠ACB=ABcot30°. ∵ BC －BD=CD,CD = 12m, 即 ABcot30º － ABcot45º = 12, ∴ 答:塔高为( )m. 评注: 因CD不是可解直角三角形的一边, 这时通常可考虑用线段的和或差这一间接方法. 想一想 : 还可以怎 么解?

图4 例2 如图4,河对岸有水塔AB.在C处测得塔顶A的仰角为30º,向塔前进12m到达D,在D处测得A的仰角为45º,求塔高. 另解: 若设AB＝x , 则易得 BD= x. BC= x＋12. ∴在Rt△ACB中,由∠ACB=30º,得 解得x＝ D C B A ﹚ 45° 30° 12m 图4 小结:本例告诉我们在应用解直角三角形解决测量问题时,一般要先画 出测量示意图, 然后借助示意图,利用直角三角形中角、边之间的 数量关系求出所要求的距离或角度.

例3 如图6,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30º,点A处有一所中学,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?说明理由;如果受影响,已知拖拉机速度为18千米/时,那么学校受到影响的时间为多少秒? 假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到 点C处,学校开始受到噪声影响, 图6 （中学） 解: 作AB⊥MN于B, 在Rt△ABP中, ∵ ∠ABP=90º, ∠APB=30º,AP=160 ∴ AB= ·AP=80 ∵点A到直线MN的距离小于100米 ∴这所中学会受到噪声的影响.  . 那么 AC＝100(米), A Q N M P 30º 图6 由勾股定理 BC＝ ＝60(米) C D B 同理拖拉机行驶到点D处,学校开始脱离 噪声影响,那么BD＝60米. ∴CD＝120(米)＝0.12千米 ∴学校受噪声影响的时间t＝

【课堂点睛】 : 1.解直角三角形,就是在直角三角形中,知道除直角外的其他 2.与之相关的应用题有:求山高或建筑物的高;测量河的宽度 五个元素中的两个(其中至少有一个是边),求出其它元素的 过程. 2.与之相关的应用题有:求山高或建筑物的高;测量河的宽度 或物体的长度;航行航海问题等.解决这类问题的关键就是 把实际问题转化为数学问题,结合示意图,运用解直角三角 形的知识. 3.当遇到30º,45º,60º等特殊角时,常常添加合适的辅助线分割 出包含这些角度的直角三角形来解决某些斜三角形的问题. 4.应用解直角三角形知识解应用题时,可按以下思维过程进行: ⑴寻找直角三角形,若找不到,可构造; ⑵找到的直角三角形是否可解,若不可直接求解,利用题中 的数量关系,设x求解.