新课导入 巴甫洛维奇·契诃夫是19世纪末俄国现实主义代表作家之一，是杰出的短篇小说家与戏剧家．他在上大学期间，就为当时的幽默杂志撰写短篇小说．契诃夫的作品对俄国文学和戏剧的发展有重大影响．他对数学也很感兴趣，在短篇小说《家庭教师》中就有下面一道趣题： 　

某商人花540卢布买了黑布料和蓝布料共138俄尺，已知蓝布料每俄尺5卢布，黑布料每俄尺3卢布．请问商人买来黑布料、蓝布料各有几俄尺？ 　　某商人花540卢布买了黑布料和蓝布料共138俄尺，已知蓝布料每俄尺5卢布，黑布料每俄尺3卢布．请问商人买来黑布料、蓝布料各有几俄尺？ （卢布和俄尺分别是俄罗斯的货币单位和长度单位） 如何解决这个问题呢？

怎样使这个方程转化为x = a的形式？ 3x＋5（138－x） = 540 解：设买了蓝布料x俄尺，那么买黑布料（138－x）俄尺；因而买蓝布料花了3x卢布，买黑布料花了5（138－x）卢布，根据买两种布料共用540卢布，列得方程 　　3x＋5（138－x） = 540 怎样使这个方程转化为x = a的形式？

3.3　解一元一次方程（二） 　　　——去括号与去分母

教学目标 知识与能力 1．掌握解一元一次方程中“去分母”、“去括号”的方法，并能解此类型的方程． 2．了解一元一次方程解法的一般步骤．

教学目标 过程与方法 1．通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程，体会到列方程解应用题更为简捷明了；掌握去括号解方程的方法，会用去分母的方法解一元一次方程． 　　2．培养分析问题，解决问题的能力．

教学目标 情感态度与价值观 　 通过列方程解决实际问题，感受数学的应用价值，激发学习数学的信心．

教学重难点 重点 解含有括号、分母的一元一次方程的解法． 难点 1．弄清列方程解应用题的思想方法； 2．会用去括号、去分母解一元一次方程．

化简下列各式： （1）3a＋2b＋（6a－4b） 9a－2b （2）（－3a＋2b） ＋3（a－b） （3）－5a＋4b－（－3a＋b） 想一想去括号时符号变化规律． 化简下列各式： （1）3a＋2b＋（6a－4b） 9a－2b （2）（－3a＋2b） ＋3（a－b） －b （3）－5a＋4b－（－3a＋b） －2a＋3b

知识回顾 去括号法则 2．括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 1．括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． 　　2．括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．

问题：王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44 000元，其中种茄子每亩用了1700元，种西红柿每亩用了1800元．问两蔬菜各种了多少亩？ 分析：设王大伯共种了x亩茄子，则他种西红柿__________亩．种茄子每亩用了1700元．那么种茄子一共用去了________元； 种西红柿每亩用了1800元，则他种西红柿共用去了______________元．根据王大伯种这两种蔬菜共用去了44000元，可列方程 （25－x） 1700x 1800 （25－x） 怎样解这个方程？ 1700x＋ 1800 （25－x）＝44 000．

解这个方程： 解： 3x＋5（138－x） = 540 去括号法则 去括号 3x＋690－5x＝540 移项 3x－5x＝540－690 合并同类项 由上可知，顾客买蓝布料75俄尺．所以买黑布料：138－75＝63（俄尺）． －2x＝－150 系数化为1 x＝75

1 700x＋ 1 800 （25－x）＝44 000． 去括号 解： 1 700x＋45 000－1 800x＝44 000 移项 1 700x－1 800x＝44 000－45 000 合并同类项 去括号是解方程时常用的变形． －100x＝－1 000 系数化为1 x＝10

由上可知，种茄子10亩． 所以种西红柿：25－10＝15（亩）． 答：种茄子10亩，种西红柿15亩．

例1 解方程 （1）x＋5（2x－1）=3－2（－x－5） 解：去括号，得 x＋10x－5＝3＋2x＋10 移项，得 x＋10x－2x＝3＋10＋5 合并同类项，得 9x＝18 系数化为1,得 x＝2．

（2）4x－3（15－x） ＝6x－7（11－x） 解：去括号，得 4x－45＋3x＝6x－77＋7x 移项，得 4x＋3x－6x－7x＝－77＋45 合并同类项，得 －6x＝－32 系数化成1，得

讨论：解一元一次方程的步骤是什么？ （1）去括号 （2）移项 （3）合并同类项 （4）系数化成１

练一练 解下列方程． （1） 3x－5（x－3）=9－（x+4） （2） 6x ＝－2（3x－5） ＋10

练一练 1．某校准备将2000元奖金全部发给20名三好生，其中市级三好生每人得奖金200元，校级三好生每人得奖金50元，请问全校市级三好生、校级三好生各有多少人？ 解：高全校市级三好生x人，列方程 　　200x＋50（20－x） ＝2000 　　解，得x＝5． 　　所以校级三好生： 20－x＝15（人） 答：市级三好生5人；校级三好生15人．

2．一个笼中装有鸡、兔若干只，从上面看，共有21个头；从下面看，共有66只脚，问鸡、兔各有多少只． 解：设鸡x只，列方程 　　2x＋4（21-x） ＝66 　　解，得 x＝9 　　所以兔的个数为：21－x＝12（只） 答：笼中有鸡9只，兔12只．

（3）李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗;三遇店和花，喝光壶中酒，试问酒壶中原有多少酒? 斗：古代的一个计量单位； 1斗 = 10升 ．

解：设：设酒壶中原有x斗酒． 　　第一次遇店： 　　第一次遇花： 　　第二次遇店： 　　第二次遇花： 　　第三次遇店： 　　第三次遇花： 2x 2x－1＝2x－1 2（2x－1） ＝4x－2 4x－2 －1＝4x－3 2（4x－3） ＝8x－6 8x－6－1＝8x－7 列方程，得 8x－7＝0 解，得 x＝0.875 答：酒壶中原有0.875斗酒．

例2：一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水行驶需要5小时，水流的速度是2千米/时，求轮船在静水中的行驶速度． 分析：已知两个码头之间的距离相等 所以：顺流速度×顺流时间＝逆流速度×逆流时间

解：设轮船在静水中的行驶速度为x千米/时， 　　可列方程 　　4× （x ＋2）＝5× （x－2 ） 　　去括号，得 　　4x＋8＝5x－10 　　移项及合并同类项，得 　　－x＝－18 　　系数化为1，得 　　x＝18． 答：船在静水中的行驶速度为18千米/时．

归纳 常用的关系式 顺流时的速度=静水中的速度+水流的速度 逆流时的速度=静水中的速度-水流的速度

练一练 （1） 一艘轮船从一码头逆流而上，再顺流而下．如果轮船在静水中的速度为每小时15千米，水流速度为每小时3千米，那么这艘轮船最多开出多远然后返回才能保证在 7．5小时内回到原码头？ 　　解：设这艘轮船开出x小时后多返回，才能保证在 7.5小时内回到原码头． 列方程 　　（15－3）x＝（15＋3） ×（7.5－x） 　　解，得： x＝4.5 　　即轮船开出后： （15－3）x＝54（千米）后，返回才能保证在 7.5小时内回到原码头．

1. 两人同时同地同向跑，多长时间两人第一次相遇，此时两人一共跑了几圈？ 2. 两人同时同地反向跑，几秒后两人第一次相遇？ （2） 甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步．甲的速度是360米/分，乙的速度是240米/分． 1. 两人同时同地同向跑，多长时间两人第一次相遇，此时两人一共跑了几圈？ 2. 两人同时同地反向跑，几秒后两人第一次相遇？ 3. 两人同时同向跑，甲先跑30秒，问还要多长时间两人第一次相遇？ 4. 两人同时同向跑，乙先跑30秒，问还要多长时间两人第一次相遇？ 5 40 11秒 26秒

（3）一小船由A港到B港顺流行驶航行需6h，由B港到A港逆流航行需要8h，一天,小船从早晨6时由A港出发顺流到达B港时，发现救生圈在途中掉落了水中，立即返回,1h后找到救生圈． 1. 若小船按水流速度由A港漂流到B港,需要多长时间? 2. 救生圈是在什么时候掉入水中的? 48小时 11时

例3：（1）某工厂计划用26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时不但完成了任务，而且比原计划多生产了60件，问原计划生产多少件零件？ 分析：原计划生产x件零件，所以 计划每小时生产零件数×26＝实际每小时生产零件数×24－60．

解：设原计划每小时生产x件零件，列方程     24x×（x+5） －60＝26x 去括号，得         24x+120-60＝26x 移项及合并同类项，得          2x＝60 系数化成1,得          x＝30           所以原计划26×30＝780（件） 答：原计划生产780件零件．

（2）一个服装车间，共有90人，每人每小时加工1件衣服或2条裤子，问怎样安排工作才能使衣服和裤子正好配套？（一件衣服配一条裤子） 分析：为了使每天生产的衣服和裤子正好配套，应使生产的衣服和裤子数量相等．

解：设做衣服人数为x人，则做裤子的人数为（90－x）人．列方程 　　去括号，得 　　x＝180－2x   　　移项及合并同类项，得 　　3x＝180 　　系数化为1,得 　　x＝60． 　　所以做裤子的人数为： 60－x＝20（人）． 　　答：做衣服人的人数为40人，做裤子的人为20人．

练一练 （1）某车间每天能生产甲种零件100个，或者乙种零件100个．甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套．要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 解：设生产甲种零件x天，列方程： 　　2×100x＝3×100（30－x） 　　解，得： 　　x＝18 　　则生产乙种零件的天数为：30－x＝12（天） 答：应安排生产甲种零件18天，乙种零件12天．

（2）某水利工地派40人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？ 解：设每天派x人挖土，列方程 5x＝3（40－x） 解，得 x＝15 所以每天运土人数为: 40－x＝25（人） 答：每天派15人挖土，25人运土，正好能使挖出的土及时运走．

（3）用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身16个或制盒底45个一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有100张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套，又能充分地利用白铁皮？ 解：设x张白铁皮做盒身,列方程 2×16x＝45×（100－x） 解，得 x＝60 则做盒底的铁皮为：100－x＝40（张） 答：用60张白铁皮做盒身，40张白铁皮做盒底．

目前初中数学主要分成代数与几何两大部分，其中代数学的最大特点是引人了未知数，建立方程，对未知数加以运算．而最早提出这一思想并加以举例论述的，是古代数学名著《算术》一书，其作者是古希腊后期数学家一“代数学之父”丢番图．

读一读 丢番图的生平 丢番图是希腊数学家，他的13卷巨著《算术》在代数符号、数论、代数方程解法等方面均有重要贡献，其不定方程理论对后世产生了巨大影响，以至后人把整系数不定方程称为“丢番图方程”． 　　关于丢番图的生平，我们仅能从其墓志铭中略知梗概，这篇墓志铭本身就是一个有趣的数学问题，因为被4世纪数学家麦特劳德尔收入一部数学问题集中，得以流传至今：

这是一座石墓， 里面安葬着丢番图． 请你告诉我， 丢番图寿数几何？ 他一生的六分之一是幸福的童年， 十二分之一是无忧无虑的少年． 　　里面安葬着丢番图． 　　请你告诉我， 　　丢番图寿数几何？ 　　他一生的六分之一是幸福的童年， 　　十二分之一是无忧无虑的少年． 　　再过去七分之一的年程， 　　他建立了幸福的家庭． 　　五年之后儿子出生， 　　不料儿子竟先其父四年而终， 　　只活到父亲一半的年龄． 　　晚年丧子老人真可怜， 　　悲痛之中渡过风烛残年．

请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄？ 　　解：设丢番图去世时的年龄为x岁，由题意可列方程　 怎样使这个方程转化为x = a的形式？

分析： 为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？ 各分母的最小公倍数84.

解： 14x＋7x＋12x＋420＋42x＋336＝84x 移项 14x＋7x＋12x＋42x －84x ＝－420－336 合并同类项 去分母（方程两边同乘各分母的最小分倍数） 解： 14x＋7x＋12x＋420＋42x＋336＝84x 移项 14x＋7x＋12x＋42x －84x ＝－420－336 合并同类项 －21x＝－756 系数化为1 x＝84． 答：丢番图去世时的年龄为84岁．

这件珍贵的文物是纸莎草文书，是古代埃及人用象形文字写在一种特殊的草上的著作，至今已有3700多年的历史了，在文书中记载了许多有关数学的问题． 问题： 一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33．

解：设这个数为x，可得方程： 为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？ 各分母的最小公倍数42．

解：去分母，得 　　28x＋21x＋6x＋42x＝1386． 　　合并同类项，得 　　97x＝1386． 　　系数化为1，得

归纳 去分母时须注意 　 1.确定各分母的最小公倍数； 　　2.不要漏乘没有分母的项； 　　3.去掉分母后，若分子是多项式，要加括号，视多项式为一整体．

归纳 解有分数系数的一元一次方程的步骤： 主要依据：等式的性质和运算律等． 1．去分母； 2．去括号； 3．移项； 4．合并同类项； 5．系数化为1． 以上步骤是不是一定要顺序进行，缺一不可？ 主要依据：等式的性质和运算律等．

练一练 （1）碧空万里，一群大雁在飞翔，迎面又飞来一只小灰雁，它对群雁说：“你们好，百只雁！你们百雁齐飞，好气派！可怜我是孤雁独飞．”群雁中一只领头的老雁说：“不对！小朋友，我们远远不足100只．将我们这一群加倍，再加上半群，又加上四分之一群，最后还得请你也凑上，那才一共是100只呢，请问这群大雁有多少只？ 提示： 解：设这群大雁有x只， 列方程 解方程，得 x＝36

（2）火车用26秒的时间通过一个长256米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以16秒的时间通过了长96米的隧道，求火车的长度． 解：设火车长度为x米，列方程 解，得 x＝160 答：火车的长度为160米．

例4：解方程 解：去分母（方程两边同乘12），得 3（x－1） －4（2x＋5） ＝－3×12 去括号，得 3x－3－8x－20＝－36 　　去括号，得 　　3x－3－8x－20＝－36 　　移项，得 　　3x－8x＝－36＋3＋20 　　合并同类项，得 　　－5x＝－13 　　系数化为1,得

解：去分母（方程两边同乘12），得 　　4（－x＋4）－12x＋5×12＝4（x－3）－3（x－1） 　　去括号，得 　　－4x－16－12x＋60＝4x－12－3x＋3 　　移项，得 　　－4x－12x－4x＋3x＝－12＋3＋16－60 　　合并同类项，得 　　－17x＝－53 　　系数化为1,得

解：去分母（两边同乘12），得 　　8（x－6） ＝3（－2x－3） －2 　　去括号，得 　　8x－48＝－6x－9－2 　　移项，得 　　8x＋6x＝－9－2＋48 　　合并同类项，得 　　14x＝37 　　系数化为1,得

练一练 解下列方程：

例5：（1）一件工作，甲单独做25小时完成，乙单独做12小时完成．那么两人合作多少小时完成？ 分析：本题是一个典型的工程类应用题． 甲单独做20小时完成的工作量+乙单独做12小时完成的工作量=完成的工作总量1

　　解：设两人合作x小时完成此工作， 可列方程 去分母，得 4x＋6x＝60 合并同类项，得 x＝6 答：两人合作6小时完成． 

（2）一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做12小时完成．甲先单独做6小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？ 分析：把总工作量看作是1． 设还要x小时才能完成工作． 甲的工作总量＋乙的工作总量＝总工作量1．

　　解：设两人合作还需x小时完成此工作，列方程 去分母，得 4x＋24＋5x＝60 移项及合并同类项，得 9x＝36 系数化为1,得 x＝4 答：两人合作还要4小时完成．

（3）一件工作，甲单独做15小时完成，甲、乙合做6小时完成．甲先单独做6小时，余下的乙单独做，那么乙还要多少小时完成？ 分析：把总工作量看作是1． 设乙还要x小时才能完成工作． 甲的工作总量＋乙的工作总量＝总工作量1．

解：设乙还需x小时完成此工作，依题意可得： 去分母，得 24＋（10－4）x＝60 去括号，得 24＋6x＝60 移项，得 6x＝36 系数化为1,得 x＝6 答：乙还要6小时完成．

归纳 工程问题 1．工作量、工作时间、工作效率； 2．这三个基本量的关系是： 工作量=工作时间×工作效率 工作效率=工作量÷工作时间 工程问题　 　　1．工作量、工作时间、工作效率； 　　2．这三个基本量的关系是： 　　工作量=工作时间×工作效率 　　工作效率=工作量÷工作时间 　　工作时间=工作量÷工作效率 　　3．工作总量通常看作单位“1”

练一练 小明预定搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷．在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站，便随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达火车站．已知公共汽车的平均速度是40千米/时，问小明家到火车站有多远？

解:设小明家到火车站路程的 为x千米，列方程： 解，得 x＝60 则小明家到火车站的路程为90千米． 答：小明家到火车站的路程为90千米．

课堂小结 1．解一元一次方程的步骤: 2． 用一元一次方程解决实际问题方面． （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）合并同类项，化为最简方程ax＝b（a≠0）的形式； （5）系数化为1． 2． 用一元一次方程解决实际问题方面．

随堂练习 D A．50（1＋x） ＝72 B．50（1＋x） ＋50（1＋x）2＝72 C．50（1＋x）x2＝72 　　D．50（1＋x）2＝72 D

C A．2000元和5000元 B．5000元和2000元 C．4000元和10000元 D．10000元和4000元 2．甲、乙二人按2:5的比例投资开办了一家公司，约定除去各项开支外，所得利润投资比例分成，若第一年赢得1400元，那么甲、乙二人分别应分得（ ） 　　A．2000元和5000元 　　B．5000元和2000元 　　C．4000元和10000元 　　D．10000元和4000元 C

3．解下列方程： x＝2 x＝－32

4．讨论关于x的方程ax＝b,的情况．

5．已知2x＋１与－12x＋5的值是相反数，求x的值． 解：根据题意得： （2x＋1）＋（－12x＋5）＝０ 去括号，得 2x＋1－12x＋5＝0 称项，得 2x－12x＝－1－5 合并同类项，得 －10x＝－6 系数化为1,得 x＝0.6 答：x的值为0.6．

6． 解：根据题意，得 解，得

习题答案