第6-7章 角动量定理与万有引力 另一个守恒量－角动量 万有引力定律

一、孤立体系的角动量守恒 第4章我们介绍了与平动相联系的守恒量——动量，对于转动我们希望能找到这样一个物理量——角动量，它具备以下的条件： 若质点关于空间某一点作平动，它取值为零，它取非零值表示质点关于该空间点作转动； 对于孤立体系，它保持守恒。 下面我们在孤立体系中寻找这样的物理量。

单质点孤立体系和掠面速度 单质点的孤立体系就是不受外力作用的自由质点，它作匀速直线运动（我们取惯性参考系，且静止看成是匀速直线运动的特例）。 如图，设该质点位于P点，沿直线 AB 从 A 向 B 方向运动，在相等的时间间隔 ⊿t的位移是 ⊿s = v⊿t。 由于 OP 的方向（即 r 的方向）在不断改变，故 P 点相对于 O 点有转动。

单质点孤立体系和掠面速度 由图可见，各时间间隔 ⊿t 内矢径 r 扫过的那些小三角形具有公共的高线 OH，因而有相等的面积，于是我们找到的守恒量是：矢径 r 在单位时间内扫过的面积 S，我们称 该面积 S 为质点 P 的掠面速度。设矢径 r 与 AB 线的夹角为θ，故对单质点的孤立体系有： 该式也可以换一种表达法，即掠面速度对时间的微商为零：

单质点孤立体系和掠面速度 当然，上面所考虑的只是平面运动的情况，对于单个的自由质点，它只可能在某个平面上运动。但是我们接下来要考虑多个质点，仅考虑某一个平面就不行了，我们可以利用矢量运算法则，将掠面速度定义为与该平面垂直的矢量。即： 这样，对于单质点的孤立体系，我们找到的守恒量是掠面速度矢量 S。当然，它与参考点的选择有关，若参考点选在直线 AB 上，则掠面速度为零。

两个质点的孤立体系和角动量 对于两个质点的孤立体系，它们虽然不受外力作用，但两个质点之间是有作用力的。我们现在来寻找守恒量，首先我们能想到的是它们每个质点掠面速度的和。为此，在空间建立惯性参考系，如图，两个质点的质量分别为 m1, m2，其位矢和速度分别为 r1, r2 和 v1, v2 。设其掠面速度分别为 S1, S2 ，有：

两个质点的孤立体系和角动量 而掠面速度对时间的微商为： 其中 i =1, 2。为了对上式中的 i 求和，我们列出质点运动的牛顿方程： 因 m1, m2 可以为任意值，故

两个质点的孤立体系和角动量 但从前几式可看出： 其中利用了牛顿第三定律：f 的方向沿两质点 m1, m2 的连线，即 f // (r1﹣r2 )。于是我们找到了守恒量：

两个质点的孤立体系和角动量 定义： 称为单个质点对于原点的角动量或动量矩； 称为体系对于原点的角动量或动量矩。 由上述的推导可知：两个质点孤立体系的角动量守恒。 对于多质点孤立体系同样可以得出角动量守恒的结论，我们在下面介绍。

说明： 角动量是矢量，单个质点的角动量是 r 和 p 的矢积，因而既垂直于 r，又垂直于 p，即垂直于 r 和 p 所确定的平面，其指向由右手定则决定。 2. 角动量的单位是千克·米2 /秒，量纲为 ML2T -1

二、质点系角动量定理 质点角动量定理 我们知道，质点动量的变化等于外力的冲量。质点的角动量如何随外力变化呢？这可以从牛顿运动定律得到。在惯性参考系中考虑一个受力为 F 的质点，设其矢径为 r，动量为 p，角动量为 l，有： 角动量对时间的变化率为： 定义：M = r×F 称为力 F 对于原点的力矩。

质点角动量定理 于是上式又可写为： 即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩。这就是质点角动量定理的微分形式。对上式积分，得： 力矩对时间的积分 称为冲量矩。上式表示质点角动量的增量等于外力的冲量矩，这就是质点角动量定理的积分形式。 不论角动量定理的微分形式还是积分形式，都可以写成分量形式。

质点系角动量定理 设体系有n个质点， 令： 则 L 为体系的总角动量，M 为体系所受的总外力矩。 可以证明

质点系角动量定理 即质点系对给定点的角动量的时间变化率等于作用在体系上所有外力对该点力矩之和。这就是体系角动量定理的微分形式。 对上式积分，可得体系角动量定理的积分形式： 体系角动量定理指出：只有外力矩才对体系的角动量变化有贡献。内力矩对体系的角动量变化无贡献，但对角动量在体系内的分配是有作用的。 角动量守恒定律：当外力对给定点的总外力矩之和为零时，体系的角动量守恒。

说明： 角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量守恒定律或能量守恒定律中。 角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别守恒。 当 Mx = 0，则 Lx = 常量； 当 My = 0，则 Ly = 常量； 当 Mz = 0，则 Lz = 常量；

三、质心系的角动量定理 质心系的角动量定理 由于角动量定理的推导过程中应用了牛顿定律，所以角动量定理在惯性系中才成立。当在质心系中考虑体系相对质心的角动量随时间的变化时，质心是固定点。如果质心系是惯性系，角动量定理当然适用。如果质心系是非惯性系，只要加上惯性力，牛顿定律仍然成立。因此只要加上惯性力的力矩，角动量守恒定理也仍然成立。

质心系的角动量定理 设 LC 为质心系中体系对质心的角动量，MC为外力对质心的力矩， MC惯 为惯性力对质心的力矩。则有： 由于质心系是平动系，作用在各质点上的惯性力与质量成正比，方向与质心加速度相反，对质心的力矩为： 即： 不论质心系是惯性系还是非惯性系，在质心系中，角动量定理仍然适用。

体系的角动量与质心的角动量 说明： 虽然在质心系中角动量定理仍然适用，但体系在质心系中相对质心的角动量与体系在惯性系中相对原点的角动量并不相同。这一点应该是肯定的，因为即使在惯性系中相对不同的点的角动量都不相同，何况质心往往还是一个运动的点。

体系的角动量与质心的角动量 设在惯性系 K 中，体系相对原点的角动量为 L。在质心系 KC 中，质心的角动量为 LC，则有： 令： 称为质心角动量 称为体系相对于质心的角动量 则有： 即：体系的角动量等于质心的角动量与体系相对于质心的角动量之和。 类比于柯尼希定理。

四、万有引力定律 第 谷 第谷环形山 开普勒 开普勒空间望远镜

开普勒的行星运动三定律 在牛顿之前，人类研究得最多也最清楚的运动现象就是行星的运行。肉眼可以看到五颗行星：水、金、火、木、土。对这五颗行星的运动有过长期的观察，特别是丹麦天文学家第谷（Tyeho Brahe, 1546~1601）连续进行了二十年的仔细观测、记录，他的学生开普勒（Kepler Johamnes, 1571~1630）则花费了大约二十年的时间分析这些数据。开普勒前后总结出三条行星运动的规律。

开普勒的行星运动三定律 所有行星都沿着椭圆轨道运行，太阳则位于这些椭圆的一个焦点上。这称为轨道定律。 任何行星到太阳的连线在相同的时间内扫过相同的面积。这称为面积定律。 任何行星绕太阳运动的周期的平方与该行星的椭圆轨道的半长轴的立方成正比，即：T∝ r3/2 (式中，T 是行星运动的周期；r 是椭圆轨道的半长轴）.这称为周期定律。

开普勒的行星运动三定律 把20余年里观测的几千个数据归纳成这样简洁的几条规律，开普勒是应该为此而感到自豪的。只是开普勒尚不理解，他所发现的三大定律已传达了重大的“天机”。 我们知道，角动量正比于矢径的掠面速度，开普勒的面积定律意味着角动量守恒，即行星受到的是有心力；而轨道定律告诉我们该有心力为引力；至于力的大小，开普勒的周期定律给出了定量的描述。 开普勒的行星运动三定律蕴涵着更为简洁、更为普遍的万有引力定律，其中的奥秘直到牛顿才被破译出来。

牛顿的理论 1. 引力的表达式 由开普勒轨道定律，为了简便，可把行星轨道看作圆形。这样，根据面积定律，行星应作匀速圆周运动，只有向心加速度 a = v2/r , 其中 v 是行星的速率；r 是圆轨道的半径。根据开普勒第三定律： T∝ r3/2，而 v =2πr/T，故 于是： 其中 m 是行星的质量。取比例系数为 k，则得： 显然，k 应取决于太阳的性质。由此，牛顿得到第一个重要结果：如果太阳引力是行星运动的原因，则这种力应和r的平方成反比。

2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的 进一步，牛顿认为这种引力是万有的、普适的、统一的，即所有物体之间都存在这种引力作用，称之为万有引力。这一步是关键性的。我们一再强调，寻找各种不同运动的统一原因，是物理学的追求，引力的万有性就是基于这种统一观的一种猜测。 如何来检验这一猜测呢？既然引力是普适的，那么，地球和月亮之间也应当存在这类力，月亮之所以绕地球运动，应当是地球施于月亮的吸引力，就象太阳有吸引行星的力那样。

2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的 地球对月亮的吸引力应为： 其中 r月 为月亮绕地球公转的半径，m月 为月球的质量， k地 应取决于地球的性质。地球对月亮的吸引力提供了月亮绕地球公转所需的向心力，即： 其中，v月 为月球的公转速度，T 为月亮绕地球的公转周期（交点月）。而对于地面上的物体，所受到的引力应为： 其中，m 是物体的质量，R 是地球半径，于是得：

2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的 于是得： 即： 该式就是从引力普适性得出的预言。在这个关系式中，所有量都是可测量的，因此，可以用实验加以检验。

2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的 其中有关量的数值为：R = 6400千米，g = 9.8米/秒2，T = 27天7小时43分或27.3215天， r月 = 384000 千米，这些测量结果能很好地满足该式，这就验证了万有引力假设的正确性。

2. 认为这种引力是万有的、普适的、统一的 牛顿曾描述过在高山顶上用大炮发射炮弹的运动情形，我们知道，炮弹作抛体运动。按牛顿理论，只要炮弹的初速度足够大，炮弹就能绕地球运动，而不再落回地面，成为地球的卫星。因此落体或抛体运动与地球卫星的运动之间的差别，只不过是初速度不同。今天看来，这些结果已没有什么希奇，因为已经成功地发射了很多人造地球卫星。但在三百多年前，就认为原则上我们可制造天体那样的运动，是一个非常大胆的想法。

3. 引力常数 利用万有引力的普适性，可以确定前式中的 k地 值。地球对月亮的引力为： 同理，由万有引力的普适性，月亮对地球的引力应为： 其中 m地 为地球的质量，k月 是和月亮有关的常数。根据牛顿第三定律 由上两式得：

3. 引力常数 上式左边只与地球有关，而右边只与月亮有关，且两边相等，故其值是一个与地球和月亮都无关的普适常数，设其为 G，有： 于是地月之间引力为：

3. 引力常数 普适的万有引力定律：任何具有质量 m1 和 m2、相距为 r 的两质点之间的引力，总是沿着两质点之间的连线方向，其引力的大小为： 式中 G 是对所有质点都具有相同数值的常数，称为万有引力常数。m1 和 m2 称为两质点的引力质量。为了和引力质量相区别，我们以前定义的质量称为惯性质量。由上式可知G的量纲为：

G的测定 卡文迪许扭秤实验：G=6.67×10-11m3 kg-1 s-2

引力的线性叠加性 如图所示，在原点有一质量为 m 的质点，空间分布着质量分别为 m1， m2，……，mn 的 n 个质点组成的体系，它们的位置矢径分别为r1， r2，……，rn，则我们认为该体系对质点的引力可以写成： 这在本质上是认为两质点之间的引力作用只与这两质点有关，而与第三者、第四者等等是否存在毫无关系，可以不加顾及。

引力的线性叠加性 这个新的物理内容是引力的一个重要性质，我们称之为引力的线性叠加性。于是我们引入的新表述为： 两质点间的引力大小与是否存在其它质点无关。（即只有两体作用，没有多体作用） →引力无法屏蔽 并不是所有的力都有这种性质，譬如，强相互作用就没有这种性质。