大 綱 大 綱 習題解答 習 題 5-1　機率概說 5-2　機率的方法 5-3　機率法則

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5-1 機率概說 我們現在討論統計學的另一個層面，也就是計算某事可能發生的機率。 5-1　機率概說 我們現在討論統計學的另一個層面，也就是計算某事可能發生的機率。 本章將介紹機率的基本名詞，諸如實驗、事件、加法、乘法原理等術語。

5-1-1　何謂機率？

1.機率(probability)描述某事件發生的相對可能（機會）的值，介於0與1之間，包括0與1。在機率的研究中使用的三個重要的字：實驗(experiment)、結果(outcome)與事件(event)。這些術語在日常語言中都會使用，但在統計學中有其特殊的意義。 2.實驗(experiment)在數個可能的觀察值中一個（且只有一個）出現的過程。在提及機率時，實驗有2個或2個以上的可能結果，而且不確定哪個會發生。

3.結果(outcome)一項實驗的特定結果。例如，擲硬幣便是一項實驗。我們可以觀察硬幣的投擲，但不知道結果是正面（頭）還是反面（尾）。同樣地，問1,500名大學生他們是否會以特定的價格購買宏碁的Notebook電腦也是一項實驗。在擲硬幣實驗中，一個特定的結果為正面，另一個結果則為反面。在電腦購買實驗中，一個可能的結果是773名學生表示他們會買這部電腦，另一個結果是617個學生會買電腦，還有另一個結果是623名學生表示他們願意購買。當觀察到一個或一個以上實驗的結果時，我們稱這個結果為一個事件。

4.事件(event)是一個實驗中出現的一個或一個以上結果的集合。以下有一些例子可說明實驗、結果與事件的定義。 在擲骰子實驗中有6個可能結果，但有許多可能事件，當計算500大公司董事會成員大於60歲的人數時，可能結果的人數可以介於0至成員總數之間，此實驗的可能事件甚至還更多。

機率是可以小數點來表示，例如0.70、0.25或0.50；也可以用分數表示，如7/10、25/100或1/2。機率可以是0到1之間的任何數字，包括0與1。如果某電子公司只有5個分公司，將每個分公司的名稱或數字寫在小紙條上，將紙條投入帽子中，那麼抽中這5個分公司之中一個的機率為1，在帽中抽到上面寫著「中國石油」的紙條的機率為0，亦即機率為1代表某事確定會發生，機率為0代表某事不可能發生。 機率愈接近0，就愈不可能發生；機率愈接近1，就愈有可能發生。

5-2　機率的方法

例題5.1 例如，投擲一6面骰子的實驗，「出現偶數點」事件的機率為何？

解 可能的結果為：

1.互斥(mutually exclusive)：任何一事件的發生代表同一時間其他事件不可能發生。例如在擲骰子實驗中，「偶數」事件與「奇數」事件便為互斥，如果奇數事件發生，就不可能同時發生偶數事件。 2.周延(collectively exhaustive)：在實驗進行中至少有一個事件會發生，例如在擲骰子實驗中，所有結果不是奇數就是偶數，所以事件組合便是周延。

古典機率方法在17、18世紀發展，並應用於機率遊戲，例如紙牌與骰子。在使用古典方法時，不一定要從事實驗，以決定事件發生機率，例如我們可以推論知道擲硬幣一次得到反面或擲硬幣三次得到三次正面的機率；如果你居住地區有一百萬人，而有3千個人會接受所得稽核，我們不必進行實驗也可以知道你的所得被稽核的機率。假設每個人接受稽核的機會皆相等，你被稽核的機率便為0.003（由3,000/1,000,000算出），被稽核的機會顯然很小。

例題5.2 一份針對某大學800名企管畢業生的研究指出，800名學生中有377名目前從事的工作領域並非在學校的主修。例如，某主修企管的學生目前是公司的總機。試求任一企管畢業生從事非主修科目及領域工作之機率。

解

5-3 機率法則 5-3-1 加法原理(Rules of Addition) 5-3　機率法則 我們已經定義了機率並描述不同的機率方法。接下來的重點討論利用加法與乘法原理合併事件。 5-3-1　加法原理(Rules of Addition) 特殊加法原理(special rule of addition)為了應用特殊加法原理，事件必須為互斥。所謂互斥，係指當一事件發生時，其他事件不可能同時發生。互斥事件的例子為擲骰子實驗中，「出現4或4以上數字」的事件與「出現2或2以下數字」的事件即為互斥事件。如果結果屬第一類｛4、5、6｝，就不可能同時屬於第2類｛1、2｝。工廠生產線的產品不可能同時為故障品以及良好品，故障品和良好品也是互斥事件。

如果事件A和B互斥，特殊加法原理說明任一事件發生機率等於其機率總和，如下列所示： 特殊加法原理＝P（A或B）＝P(A)+(B) [式5-3] 對3個互斥事A、B、C而言，此原理為 P（A或B或C）＝P(A)+P(B)+P(C) [式5-4]

解 過輕的結果為事件A，過重的結果為事件C。應用特殊加法原理如下： P（A或C）= P(A) + P(C) = 0.025 + 0.075 = 0.10 注意：事件屬互斥事件，因此混合蔬菜的包裝不可能同時過重、過輕以及合格。

英國邏輯學家文氏(J. Ven, 1834~1888)，發展一種圖表圖示實驗的結果，可使用此工具說明互斥概念以及各種其他合併機率的原現。為了建立文氏圖，首先繪出所有可能結果的空間，這個空間通常是矩形。事件所代表的圖形面積通常（大約）與事件機率成比例。以下以文氏圖說明3種常見機率狀態的概念；假設有2個事件分別為A和B；它們的機率寫成P(A)和P(B)：

1.互斥機率： P(A∪B) = P(A) + P(B) P(A∩B) = 0 「互斥」套句武俠片中常見的台詞就是「有我無他，有他無我」，用這場景與氛圍來解釋，相信讀者一定可以明白。

2.獨立機率： P(A∪B) = [P(A) - P(A∩B)] + P(A∩B) + [P(B) - P(A∩B)] = P(A) + P(B) - P(A∩B) P(A∩B) = P(A)．P(B) 「獨立」是每個人在青少年時期最想要的，可以自己決定想做什麼，不受爸媽的影響；換言之「獨立機率」就是討論兩個彼此不受影響事件之間的機率。

3.相依機率： 「相依」是兩者彼此依存，互相影響的；生活中的夫妻，男女朋友之間，是這種狀態最貼切的詮釋。 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) P(A∩B)可以用「條件機率」來解釋；我們到§5-3-3再進一步說明。

4.互補原理： 例如：選出的混合蔬菜包裝過輕的機率，寫成P(A)，加上非過輕包裝的機率，寫成P(~A)（讀做非A）兩者總和為1。 P(A) + P(~A) = 1 這也可以寫成 互補原理 = P(A) = 1-P(~A) [式5-5] 互補原理是以1減去事件不發生的機率以決定事件發生的機率。文氏圖可說明互補原理。

例題5.4 過輕混合蔬菜的機率為0.025，過重機率為0.075，試使用互補原理證明合格機率為0.900，並使用文氏圖來解答。

解 包裝不合格的機率等於包裝過重加上過輕的機率，也就是 P（A或C）= P(A)+P(C) = 0.025+0.075 = 0.100。包裝如果未過重或過輕即屬合格，所以P(B) = 1－[P(A)+P(C)] =1－[0.025+0.075] = 0.900。說明此情況的文氏圖如下：

5-3-2 聯合機率(Joint Probability) 一般加法原理 = P（A或B） = P(A)+P(B)-P（A與B） [式5-6] P（A或B）代表A可能發生或B可能發生，亦包含A與B可能發生，「或」的使用有時稱為可容(inclusive)。換句話說，不論A與B發生或者A或B發生，你都很滿意。

例題5.5 由標準撲克牌中隨機抽出一張為老K或紅心的機率為何？

解

以下文氏圖可表示這些非互斥的結果。

5-3-3 乘法原理(Rules of Multiplication) 特殊乘法原理(special rule of multiplication)要求事件A、B互相獨立。如果某事件的發生並不影響另一事件發生的機率，則稱其為獨立，所以如果A、B事件獨立，則A的發生並不影響B發生的機率。 1.獨立(independent) 某事件的發生並不影響任何其他事件發生的機率。對獨立事件A、B而言，A、B皆發生的機率可由兩機率相乘得知，這稱為特殊乘法原理。

2.特殊乘法原理(special rule of multiplication) P（A和B）= P(A)P(B) [式5-7] 此定理假設了第二件事件結果不受第一件事件結果的影響。舉例說明結果獨立性的意義，投擲幣二枚，一硬幣的結果（正面或反面）不受另一枚硬幣的影響（正面或反面）。換句話說，如果第二件事件的結果並不受第一件事件結果的影響，則二事件為獨立。 若對三獨立事件A、B、C而言，決定三事件皆發生的特殊乘法原理為： P（A和B和C）= P(A)P(B)P(C) [式5-8]

例題5.6 擲硬幣2枚，兩枚皆為反面的機率為何？

解

解 我們可以列出所有可能結果，二個反面是4種可能結果之一：

如果兩事件非獨立，就稱為相依。為了說明相依性，假說箱子裡有100個蘋果，已知其中三個是壞的。由箱中拿出一個蘋果，很明顯地，選中壞蘋果的機率為3/100，選中好蘋果的機率為97/100。接著選出第二個蘋果，且選中的第一個不丟回箱中，則第二次選中壞蘋果的機率視第一次選出蘋果的好壞而定。第二個蘋果是壞的機率為： 2/99，如果第一次選出壞蘋果（箱裡只剩2個壞蘋果）。 3/99，如果第一次選出好的蘋果（箱裡還有3個壞蘋果）。 2/99（或3/99）一般稱為條件機率，因為其數值視第一次選出蘋果的好或壞而定。

3.條件機率(conditional probability) 已知另一事件已發生之情況下，某一特定事件發生的機率對於A、B兩事件而言，兩事件發生的聯合機率為A事件發生的機率乘以B事件發生的條件機率。 P（A和B）的聯合機率如下所示： 一般乘法原理 = P(A和B) = P(A)P(B|A) [式5-9] 其中P(B|A)代表已知A已經發生之情況下，而B將要發生的機率，「|」代表已知。 除了用以上數學式來表示，我們嘗試用「樹狀圖」再次講解「條件機率」，利用圖解法來說明數學式的「條件」關係。

例題5.7 為了說明此公式，讓我們使用箱子中包含有100個蘋果，其中已知三個壞的。依序選出兩個蘋果，則連續選出兩個壞蘋果的機率為何？

解

5-3-4　貝氏定理

假設第三世界國家有5%的人口患有該國特有的疾病。若A1代表「有病」的事件，A2代表「沒病」的事件。所以，我們知道如果從該國隨機選出一人，有病的機率為0.05，即P(A1) = 0.05，此機率P(A1) = P（有病）= 0.05稱為事前機率，之所以稱為事前是因為在獲得任何實驗資料前就可得知此機率。

1.事前機率(prior probability) 根據現有的資訊得到某人不受此疾病感染的機率為0.95，或是P(A2) = 0.95，即1-0.05 = 0.95。 現有一種診斷方法可以檢查此疾病，但並非完全準確。若B代表「診斷有病」的事件，假設根據歷史證據顯示如果某人真的有病，診斷指出此人患病的機率為0.90，使用條件機率定義，我們可以寫成： P(B|A1) = 0.90

若某人沒病，但診斷指出他有病的機率為0.15。 P(B|A2) = 0.15 現在我們隨機選出一人進行診斷，診斷結果顯示有病，請問此人真正患病的機率為何？若以符號表示，我們想要知道P(A1|B)，即P（有病|診斷有病），P(A1|B)的機率我們稱為事後機率。