13.1 斜率 A 斜坡的斜率 B 斜率和傾角 C 根據等高線求斜率 目錄

13.3 方位 基本方位 A 準確表示方位的方法 B 涉及方位的實際問題 C 目錄

13.1 斜率 A) 斜坡的斜率 1. 對於右中的斜坡 AB ，我們可以用斜率來表示它的傾斜程度： AB 的斜率 目錄

13.1 斜率 例題演示 A) 斜坡的斜率 2. 斜率通常表示成 (或1 : n) 的形式，其中 n 是一個整數。 目錄 13.1 目錄

13.1 斜率 求圖中 AB 的斜率。 AB 的斜率 目錄

13.1 斜率 求圖中 PQ 的斜率。 PQ 的斜率 重點理解 13.1.1 目錄

斜率和傾角 B) ‧ 在右圖 中， 是斜坡 AB 與水平線 AC 的夾角，稱為 AB 的傾角。 AB 的斜率 = tan 目錄 13.1 斜率 例題演示 B) 斜率和傾角 ‧ 在右圖 中， 是斜坡 AB 與水平線 AC 的夾角，稱為 AB 的傾角。 AB 的斜率 = tan 目錄 13.1 目錄

13.1 斜率 求圖中 PQ 的斜率，準確至三位小數。 PQ 的斜率 = tan18° = 0.325 (準確至三位小數) 目錄

圖中的路標表示某道路的斜率是 1 : 10。如果該道路的傾角是 ，求 的值，準確至最接近的 0.1° 。 13.1 斜率 圖中的路標表示某道路的斜率是 1 : 10。如果該道路的傾角是 ，求 的值，準確至最接近的 0.1° 。 tan  ∴  = 5.7° (準確至最接近的 0.1°) 目錄

在圖中， AB 和 AD 代表兩條直路。已知 AC  BD ，∠ABC = 12° ， AC = 2 m 及 BD = 19 m 。 13.1 斜率 在圖中， AB 和 AD 代表兩條直路。已知 AC  BD ，∠ABC = 12° ， AC = 2 m 及 BD = 19 m 。 (a) 求每條路的斜率，準確至三位小數。 (b) 哪一條路比較斜？ 目錄

(a) AB 的斜率 = tan 12° = 0.213 (準確至三位小數) 在 △ABC 中， ∴ CD = BD – BC 目錄 13.1 斜率 返回問題 (a) AB 的斜率 = tan 12° = 0.213 (準確至三位小數) 在 △ABC 中， ∴ CD = BD – BC 目錄

(a) AD 的斜率 = 0.209 (準確至三位小數) (b) ∵ AB 的斜率 > AD 的斜率 ∴ 直路 AB 比較斜。 13.1 斜率 返回問題 (a) AD 的斜率 = 0.209 (準確至三位小數) (b) ∵ AB 的斜率 > AD 的斜率 ∴ 直路 AB 比較斜。 習題目標 涉及斜率、傾角或斜坡上距離的綜合題。 重點理解 13.1.2 目錄

13.1 斜率 例題演示 C) 根據等高線求斜率 ‧ 根據等高線地圖上的比例尺和等高線，我們可以求出地圖上兩點之間的上升距離和平移距離，從而求出連接該兩點的直線的斜率。 目錄 13.1 目錄

附圖是大嶼山昂坪附近的地圖。現正計劃沿 AB 興建一條纜車路軌，連接東涌和昂坪。在地圖上， AB 的水平距離是 4.8 cm 。 13.1 斜率 附圖是大嶼山昂坪附近的地圖。現正計劃沿 AB 興建一條纜車路軌，連接東涌和昂坪。在地圖上， AB 的水平距離是 4.8 cm 。 目錄

(a) 求 AB 的斜率，答案以 1 : n 的形式表示， 其中 n 須準確至最接近的整數。 13.1 斜率 (a) 求 AB 的斜率，答案以 1 : n 的形式表示， 其中 n 須準確至最接近的整數。 (b) (i) 求 AB 的傾角，準確至最接近 的度。 (ii) 求 AB 的實際長度，準確至最 接近的10 m 。 目錄

(a) AB 的上升距離 = 400 m AB 的平移距離 = 4.8  60 000 cm = 4.8  = 2 880 m 13.1 斜率 返回問題 (a) AB 的上升距離 = 400 m AB 的平移距離 = 4.8  60 000 cm = 4.8  = 2 880 m ∴ AB 的斜率 目錄

(a) 設 AB 的斜率是1 : n 。 = 7 (準確至最接近的整數) ∴ AB 的斜率是 is 1 : 7。 目錄 13.1 斜率 13.1 斜率 返回問題 (a) 設 AB 的斜率是1 : n 。 = 7 (準確至最接近的整數) ∴ AB 的斜率是 is 1 : 7。 目錄

(b) (i) 設 AB 的傾角是  ， 則 tanθ θ = 8° (計確至最接近的度) ∴ AB 的傾度是 8°。 目錄 13.1 斜率 返回問題 (b) (i) 設 AB 的傾角是  ， 則 tanθ θ = 8° (計確至最接近的度) ∴ AB 的傾度是 8°。 目錄

(b) (ii) ∵ ∴ = 2 910 m (準確至最接近的 10 m) ∴ AB 的實際長度是 2 910 m 。 習題目標 目錄 13.1 斜率 返回問題 (b) (ii) ∵ ∴ = 2 910 m (準確至最接近的 10 m) ∴ AB 的實際長度是 2 910 m 。 習題目標 涉及等高線地圖的問題。 重點理解 13.1.3 目錄

仰角和俯角 1. 當一個人觀察位於他上方的物體時，視線與水平線所形成的角稱為仰角。 例如：在右圖中，由 P 測得 Q 的仰角是  。 目錄 13.2 仰角和俯角 例題演示 仰角和俯角 1. 當一個人觀察位於他上方的物體時，視線與水平線所形成的角稱為仰角。 例如：在右圖中，由 P 測得 Q 的仰角是  。 目錄

仰角和俯角 2. 當一個人觀察位於他下方的物體時，視線與水平線所形成的角稱為俯角。 例如：在右圖中，由 P 測得 Q 的俯角是 。 目錄 13.2 仰角和俯角 仰角和俯角 2. 當一個人觀察位於他下方的物體時，視線與水平線所形成的角稱為俯角。 例如：在右圖中，由 P 測得 Q 的俯角是 。 目錄

仰角和俯角 由一點 B 測得另一點 A 的仰角等於由 A 點測得 B 點的俯角。 13.2 仰角和俯角 例題演示 仰角和俯角 由一點 B 測得另一點 A 的仰角等於由 A 點測得 B 點的俯角。 4. 透過測量仰角或俯角及運用三角比的知識，我們可以計算出一些難以直接量度的距離和高度。 目錄

參看附圖，求 (a) 由 Q 測得 P 的俯角； (b) 由 R 測得 Q 的仰角。 (a) 由 Q 測得 P 的俯角 = 30° 13.2 仰角和俯角 參看附圖，求 (a) 由 Q 測得 P 的俯角； (b) 由 R 測得 Q 的仰角。 (a) 由 Q 測得 P 的俯角 = 30° (b) 由 R 測得 Q 的仰角 = 15° + 60° = 75° 目錄

13.2 仰角和俯角 在圖中， 一架飛機 A 正飛近大帽山的山頂 B 。已知大帽山的高度是 958 m 。如果 A 高於海平面 2 500 m 及 AB = 5 000 m ，求由山頂 B 測得 A 的仰角，準確至最接近的 0.1° 。 目錄

參看下圖，其中 CD 代表海平面，  是所求的仰角。 13.2 仰角和俯角 返回問題 參看下圖，其中 CD 代表海平面，  是所求的仰角。 目錄

在 △AEB 中， sinθ = 0.308 4 ∴ θ= 18.0° (準確至最接近的 0.1°) 13.2 仰角和俯角 返回問題 在 △AEB 中， sinθ = 0.308 4 ∴ θ= 18.0° (準確至最接近的 0.1°) 即 由山頂 B 測得 A 的仰角是 18.0° 。 習題目標 求仰角或俯角。 目錄

附圖所示的建築物為香港的中環廣場。已知從距離該大廈 100 m 的地面上一點 B ，測得大廈頂部 A 的仰角是 75° 。 13.2 仰角和俯角 附圖所示的建築物為香港的中環廣場。已知從距離該大廈 100 m 的地面上一點 B ，測得大廈頂部 A 的仰角是 75° 。 (a) 求中環廣場的高度，準確至最接近的 10 m 。 (b) 由中環廣場某單位的窗口 D 測得 B 點的俯角是 ∠ABC 。判斷 D 是否 AC 的中點。 目錄

(a) 在 △ABC 中， AC = 100 tan 75° m = 370 m (準確至最接近的10 m) 13.2 仰角和俯角 返回問題 (a) 在 △ABC 中， AC = 100 tan 75° m = 370 m (準確至最接近的10 m) ∴ 中環廣場的高度是 370 m。 目錄

13.2 仰角和俯角 返回問題 (b) 參看右圖， 設該俯角是。 = 37.5° 在 △BCD 中， DBC = 37.5° 目錄

(b) ∴ DC = 100 tan 37.5° m = 80 m (準確至最接近的10 m) 但 13.2 仰角和俯角 返回問題 習題目標 涉及仰角或俯角、水平或鉛垂距離的綜合題。 (b) ∴ DC = 100 tan 37.5° m = 80 m (準確至最接近的10 m) 但 = 190 m (準確至最接近的10 m) ∴ 即 D 點不是 AC 的中點。 目錄

由 369 m 高的中銀大廈頂層，測得鄰近的滙豐銀行 大廈頂部及底部的俯角分別 是 29° 和 47°。求滙豐銀行大 13.2 仰角和俯角 由 369 m 高的中銀大廈頂層，測得鄰近的滙豐銀行 大廈頂部及底部的俯角分別 是 29° 和 47°。求滙豐銀行大 廈的高度，準確至二位有效 數字。 目錄

PS’ = CC’ = 369 m 在 △CPS’ 中， ∴ CP 13.2 仰角和俯角 返回問題 【 如圖所示，設 CC’ 和 SS’ 分別代表中銀大廈和滙豐銀行大廈。延長 S’S 使其與通過 C 點的水平線相交於 P 點，則∠SPC = 90° 。】 PS’ = CC’ = 369 m 在 △CPS’ 中， ∴ CP 目錄

在 △CPS 中， ∴ PS = CP tan29° ∴ SS’ = PS’ – PS = 180 m (準確至二位有效數字) 13.2 仰角和俯角 返回問題 在 △CPS 中， ∴ PS = CP tan29° 習題目標 已知仰角或俯角，求水平或鉛垂距離。 ∴ SS’ = PS’ – PS = 180 m (準確至二位有效數字) ∴ 滙豐銀行大廈的高度是180 m 。 目錄

13.2 仰角和俯角 在圖中，由兩艘觀光船 P 和 Q 測得自由神像頂部 A 的仰角分別是 30° 和 40° 。兩船相距 271 m ，並且 PBQ 成一直線。求自由神像的高度 (AB)，準確至二位有效數字。 目錄

13.2 仰角和俯角 返回問題 參看右圖， 設 AB = h m。 在 △APB 中， ∴ 在 △AQB 中， ∴ 目錄

∵ PB + BQ = PQ ∴ = 93 (準確至二位有效數字) ∴ 自由神像的高度是 93 m。 習題目標 目錄 13.2 仰角和俯角 13.2 仰角和俯角 返回問題 ∵ PB + BQ = PQ 習題目標 涉及仰角或俯角、水平或鉛垂距離的綜合題。 ∴ = 93 (準確至二位有效數字) ∴ 自由神像的高度是 93 m。 重點理解 13.2.1 目錄

基本方法 A) ‧ 右圖所示為常用的方位： 東(E)、東南(SE)、南(S)、 西南(SW)、西(W)、西北(NW) 13.3 方位 A) 基本方法 ‧ 右圖所示為常用的方位： 東(E)、東南(SE)、南(S)、 西南(SW)、西(W)、西北(NW) 、北(N) 和東北(NE)。 目錄 13.3 目錄

O A B 在圖中， 我們說： (a) A 點 位於 O 點的 西方 (正西方) ； (b) B 點 位於 O 點的 東南方。 目錄 13.3 方位 O A B 在圖中， 我們說： (a) A 點 位於 O 點的 西方 (正西方) ； (b) B 點 位於 O 點的 東南方。 重點理解 13.3.1 目錄

13.3 方位 例題演示 B) 準確表示方位的方法 1. 象限角 它的形式是 Nx°E 、Nx°W 、Sx°E 或 Sx°W ，其中 x° 是由 N 或 S 開始量得的角度，且 0 < x < 90 。 例如：在右圖中，由 A 測得 B 的象限角是 S58°E 。 目錄

13.3 方位 例題演示 B) 準確表示方位的方法 2. 方位角 方位角的形式是 y°，其中 y° 是由正北開始，並按順時針方向量得的角度，其中 0 ≤ y < 360 。 例如：在右圖中，由 A 測得 B 的方位角是 073° (或只寫成 73°)。 目錄 13.3 目錄

參看附圖，求由 O 點分別測得 A 點和 B 點的象限角。 13.3 方位 參看附圖，求由 O 點分別測得 A 點和 B 點的象限角。 由 O 點測得 A 點的象限角是 N50°E 。 ∵ θ = 90° – 62° = 28° ∴ 由 O 點測得 B 點的象限角是 S28°W 。 目錄

參看附圖，求由 O 點分別測得 A 點和 B 點的方位角。 13.3 方位 參看附圖，求由 O 點分別測得 A 點和 B 點的方位角。 由 O 點測得 A 點的方位角是 008° 。 由 O 點測得 B 點的方位角是 290° 。 目錄

在圖中， A 、B 、C 是三艘船，其中∠CAB = 70° 及∠ACB = 45° 。如果由 A 測得 C 的象限角是 N10°E ，求 13.3 方位 在圖中， A 、B 、C 是三艘船，其中∠CAB = 70° 及∠ACB = 45° 。如果由 A 測得 C 的象限角是 N10°E ，求 由 A 測得 B 的象限角； (b) 由 C 測得 B 的方位角。 目錄

(a) 設 P 是位於 A 正北方的一點。 PAB = 10° + 70° = 80° ∴ 由 A 測得 B 的象限角是 N80°E。 13.3 方位 返回問題 (a) 設 P 是位於 A 正北方的一點。 PAB = 10° + 70° = 80° ∴ 由 A 測得 B 的象限角是 N80°E。 目錄

(b) 作 DC // AP。 (參看右圖。) ACD = PAC = 10° DCB = 45° – 10° = 35° 13.3 方位 返回問題 (b) 作 DC // AP。 (參看右圖。) ACD = PAC = 10° DCB = 45° – 10° = 35° 由 C 測得 B 的方位角 = 180° – 35° = 145° 習題目標 求象限角、方位角或與方位相關的角度。 重點理解 13.3.3 目錄

13.3 方位 例題演示 C) 涉及方位的實際問題 ‧ 根據已知的方位(象限角或方位角)，我們可以求出一些未知距離或角度，所用的方法是在圖形中辨認出適當的直角三角形，然後應用三角比的知識。 目錄 13.3 目錄

一艘船從碼頭 P 出發，向東航行 4 km ，然後向北航行 8 km ，再向東航行 2 km 到達碼頭 Q 。 13.3 方位 一艘船從碼頭 P 出發，向東航行 4 km ，然後向北航行 8 km ，再向東航行 2 km 到達碼頭 Q 。 求由 P 測得 Q 的方位。(答案以象限角表示，並須準確至最接近的度。) (b) 求兩個碼頭 P 和 Q 之間的距離。 目錄

(a) 連接 PQ ，延長 PA 至 C 使 QC ⊥ PC 。 13.3 方位 返回問題 (a) 連接 PQ ，延長 PA 至 C 使 QC ⊥ PC 。 在 △PQC 中， PC = PA + AC = PA + BQ = (4 + 2) km = 6 km 目錄

∴ θ = 37° (準確至最接近的度) ∵ = θ ∴ 由 P 測得 Q 的方位是 N37°E 。 (b) PQ 13.3 方位 返回問題 ∴ θ = 37° (準確至最接近的度) ∵ = θ ∴ 由 P 測得 Q 的方位是 N37°E 。 (b) PQ 習題目標 涉及方位和距離的綜合題。 ∴ 兩個碼頭之間的距離是 10 km 。 目錄

13.3 方位 在圖中， A 和 B 代表兩艘船， C 代表蒲台島上的一座燈塔，它是香港境內最南端的燈塔。由 C 測得 A 和 B 的方位分別是 197° 和 160° ，而由 A 測得 B 的方位是 070° 。如果 BC = 100 m ，求燈塔 C 和船 A 之間的距離，準確至最接近的 m 。 目錄

如圖標明， x + 160° = 180° x = 20° ∴ y + 70° = 180° y = 110° 在 △BCD 中， 13.3 方位 返回問題 如圖標明， x + 160° = 180° x = 20° ∴ y + 70° = 180° y = 110° 在 △BCD 中， ABC + x = y ABC + 20° = 110° ABC = 90° ∴ 即 △ABC是直角三角形。 目錄

在 △ABC 中， ACB = 197° – 160° = 37° cos ACB = 125 m (準確至最接近的 m) 13.3 方位 返回問題 在 △ABC 中， ACB = 197° – 160° = 37° cos ACB 習題目標 根據已知方位求未知距離。 = 125 m (準確至最接近的 m) ∴ 燈塔 C 和船 A 之間的距離是 125 m 。 目錄

一艘船以 10 km/h 的速率向東航行。在上午 10:00 時，該船到了浮標 P 。從那况該船測得正 13.3 方位 一艘船以 10 km/h 的速率向東航行。在上午 10:00 時，該船到了浮標 P 。從那况該船測得正 北方有一座燈塔 A ，而在 080° 的方位有另一座 燈塔 B 。在上午 10:30 時，該船到了位於燈塔 B 正南方的浮標 Q ， 而從那 裏測得燈塔 A 的方位是 320° 。哪一個燈塔( A 或 B) 較接近浮標P ？ 目錄

PQ = 30 分鐘內船航行的距離 = 5 km 在 △APQ 中， AQP = 320° – 270° = 50° tan AQP 13.3 方位 返回問題 PQ = 30 分鐘內船航行的距離 = 5 km 在 △APQ 中， AQP = 320° – 270° = 50° tan AQP PA ∴ = PQ tan AQP = 5 tan50° km = 5.96 km (準確至三位有效數字) 目錄

在 △BPQ 中， BPQ = 90° – 80° = 10° PB ∴ = 5.08 km (準確至三位有效數字) 13.3 方位 返回問題 在 △BPQ 中， BPQ = 90° – 80° = 10° PB ∴ 習題目標 根據已知方位求未知距離。 = 5.08 km (準確至三位有效數字) 因此 PA > PB. 即 燈塔 B 較接近浮標 P 。 重點理解 13.3.4 目錄