多缝夫琅和费衍射 黑白型光栅的衍射 正弦型光栅的衍射 闪耀光栅 Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射 §5 衍射光栅 多缝夫琅和费衍射 黑白型光栅的衍射 正弦型光栅的衍射 闪耀光栅 Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射

光栅衍射 一.问题的提出 不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图： 亮纹 I （k=0,1,2,…） I0 I 双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢, 因而主极大的位置很难测准,对测量不利。

二.光栅 a 透光 b不透光 为了测准主极大的位置， 应让主极大又窄又亮， 所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。 光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝 （或反射面）构成的光学元件。 a 透光 b不透光 从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫作光栅。

a b a b 光栅可分透射、反射两大类，如图所示： a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。 b ----是不透光部分的宽度， d 透射光栅 a b d 反射光栅 a b a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。 b ----是不透光部分的宽度， d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离) 实用光栅： 几十条/mm 几千条/mm 几万条/mm 用电子束刻制

光栅常数 设单位长度内的刻痕条数为n，则光栅常数 如每厘米刻 5000 条栅痕的衍射光栅常数 普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm 用电子束刻制可达数万条/mm(d )。

可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、正弦光栅，等等。

衍射光栅：具有周期性空间结构或光学结构的衍射屏。 是Fraunhofer多缝衍射。

通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、明亮。 单缝衍射条纹 光栅衍射谱线

光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。 1 条 缝 5 条 缝 3 条 缝 20 条 缝

二、实验装置  S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。总缝数为N。  A P P0 a f2’ b L1 L2 S S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。总缝数为N。

三、表观现象 I 4 8 -4 -8 光栅衍射 光强曲线 A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度 4 8 -4 -8 光栅衍射 光强曲线 三、表观现象 A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度 较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。 B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2； C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大； D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹 （外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。 E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。 这种条纹通常称为光谱线。

经过光栅的所有光波，进行相干叠加。 光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析； 不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按干涉分析。

四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制 多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。 单缝衍射 多缝干涉 sin 1 -2 -1 2 (/a) 1 -2 -1 2 (/a) 单缝衍射光强曲线 单缝衍射 多缝干涉 (/d) sin N2 4 -8 -4 8 多光束干涉光强曲线 I N2 4 8 -4 -8 sin (/d) 单缝衍射 轮廓线

1、用振幅矢量法求解衍射强度 相邻衍射单缝间的光程差 每一个单缝衍射的复振幅用一个矢量表示。 相邻的单缝间具有位相差Δφ。 所有单缝衍射的矢量和为光栅衍射的复振幅。 相邻衍射单缝间的光程差

相邻衍射单元间的位相差 N个矢量首尾相接，依次转过Δφ，即2β角。

讨论： 光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。 ① ② 为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。 光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。 光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。

2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解 满足近轴条件 先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分相加。

N元干涉因子

满足近轴条件时，单个狭缝在像方焦点处的光强

单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a

三、衍射花样的特点 1．衍射极大值位置 对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数 谱线强度受衍射因子调制。

2．衍射极小值位置 E1 E2 E3 E4 EN 各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的 位相差 暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。

Ep  由数学知识，各振幅矢量构成闭合 多边形时，其外角和必有如下规律: 得暗纹条件 （k=0,1,2,----） 一圈

即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹 次极大 其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。 在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。

主极大的中心到邻近极小的 角距离为它的半角宽。 主极大的半角宽: return

若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组明锐的细线。 讨论： 中央主极大： 若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组明锐的细线。

对于实用的衍射光栅，只有主极大的前几个衍射级是可用的；其它的衍射主极大和次级大完全可以略。 光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）

缺级现象 衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现的现象称为条纹的缺级。 sin 1 -2 -1 2 (/a) (/d) N2 4 -8 -4 8 I 光栅衍射是单缝衍射与多光束干涉合成的结果，光栅中各主极大受到单缝衍射光强的调制。 缺级的条件：衍射角为φ 的光线，既满足光栅方程，又满足单缝衍射暗纹条件时，相应级次的条纹不出现。

缺级的条纹 光栅衍射方程： 单缝衍射暗纹条件: 两式相比 I单 -2 -1 1 2 I 4 8 -4 -8 单缝衍射 轮廓线 光栅衍射 -2 -1 1 2 I 4 8 -4 -8 单缝衍射 轮廓线 光栅衍射 光强曲线 两式相比

假设d=1/1000mm，总刻线数N=10000 光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）

而 单缝中央亮纹范 围内的主极大个数减少， 如果出现缺级的话， 则缺级的级次变低。 d、a 对条纹的影响： 决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。 这是因为 决定衍射中央明纹的宽度， 决定干涉主极大的的间距。 而 ▲ 若 a 不变  单缝衍射的轮廓线不变； d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范 围内的主极大个数减少， 如果出现缺级的话， 则缺级的级次变低。

单缝中央明 纹范围内的主极大个数增加， 缺级的级次变高。 为很平坦，第一暗纹在距中心  处， ▲ 若 d 不变  各主极大位置不变； a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽， 单缝中央明 纹范围内的主极大个数增加， 缺级的级次变高。 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变 极端情形： 为很平坦，第一暗纹在距中心  处， 此时各 主极大光强几乎相同。 多缝衍射图样  多光束干涉图样： sin I

当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角） 则 异侧（－） 同侧（＋）

二、黑白型光栅的衍射强度 是多缝夫琅和费衍射 满足近轴条件 每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍射因子。

正弦光栅的衍射 振幅透过率为 d 光栅的空间周期 光栅的瞳函数为 单元衍射因子为

单元衍射因子为 N元干涉因子不变

最后的复振幅为 衍射光强分布

正弦光栅 的特点 相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。 狭缝中心分别在0，π，-π处。 正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。 其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。

例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的主极大均不出现。 (A) a+b= 2a (B) a+b= 3a (C) a+b= 4a (D) a+b= 6a [ B ]

例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平面光栅上，求第三级光谱的张角. 解 紫光 红光 不可见 第三级光谱的张角 第三级光谱所能出现的最大波长 绿光

　　例2　试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使 得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 　　角 的范围．设该光的波长范围为 　　　　　　　　． 解 每厘米大约有　　条刻痕

例3：分光计作光栅实验，用波长  = 632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300 mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。 解：在分光计上观察谱线，最大衍射角为 90°,

取 能观察到的谱线为11条：

例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每条透光缝宽为 a = 2×10-3 cm ，在光栅后放一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 =600nm 的单色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a 的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？ （2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？

例5. 以氦放电管发出的光垂直照射到某光栅上,测得波长1=0. 668m 的谱线的衍射角为  =20 例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射角为  =20.如果在同样  角处出现波长 2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅常数最小是多少? 解:由光栅公式得

取最小的k1和k2 , 对应的光栅常数

例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的焦距 f 。(1nm=10-9m) 解：光栅常数 设 的第 2 谱线

据上式得： 第二级光谱的宽度 透镜的焦距

有两个相邻的干涉主极大出现在sin ＝0.2和sin =0.3 波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上， 有两个相邻的干涉主极大出现在sin ＝0.2和sin =0.3 的衍射方向上，第四级缺级．试求： (1)光栅常数； (2)光栅每缝缝宽可能是多少？ (3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次． 解: 根据题意可有 由上面诸方程可解得d=6微米，

(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米． 第10级的衍射角为 ，事实上也不能出现， 故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、 ±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．

6. 光栅光谱 6.1光栅光谱 光栅的主极大满足光栅方程 波长相差越大、级次越高, 则分得越开。 如果入射光中包含两个十分接近的波长与’， 由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。 I sin 0级 1级 2级 3级  ’ 波长相差越大、级次越高, 则分得越开。

入射光为白光时， 不同， 不同，按波长分开形成光谱. 一级光谱 二级光谱 三级光谱

如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹按波长的顺序排列，称为光栅光谱。 各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。 光谱分析仪:根据光谱的位置和强度, 分析物质的成分与含量的仪器。 光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。 光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。 如果  与’ 十分接近，它们的主极大就 有可能相重叠而难于分辨。 实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开, 也就是需要分光本领大的光谱仪。

光栅光谱和色散问题 不同波长的光在空间分开称为色散，光栅具有色散能力。 角色散率，光栅的分光能力。 零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。 同一级谱线有相同的色散率。角色散率与N无关。

两条谱线能分辨（或不能分辨） 有没有定量的标准？ 答：有。就是瑞利判据。 瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线 的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。 刚可分辨 0.8 1.0 不可分辨 按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的 分辨本领的大小？

波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的角距离δθ 光栅的分辨本领 波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的角距离δθ 由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。 色分辨本领

A A 例如. 对 Na 双线的分辨 光栅色分辨率 所以, 都可分辨开 Na 双线。 为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利）， 就必须增大光栅的总缝数； 对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的 办法得到较高级次的光谱。

2．自由光谱范围（色散范围） k级光谱不重叠的条件是 对于1级光谱 不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。 同时必须满足光栅对量程的要求

例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条 求：色分辨本领 R 解： Å 可分辨出附近 Å

三棱镜分光

光栅 光谱

闪耀光栅 平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。 而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的一个主要缺点。 对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零级的位置恰好是重合的。 如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可解决上述问题。 闪耀光栅具有这种能力。

闪耀光栅 用磨光了的金属板或镀上金属膜的玻璃板为胚，在上面压出一系列平行的锯齿状槽面，槽面与光栅平面间夹角 (可控制） ——闪跃角 闪耀面a 闪耀角 闪耀面的法线 光栅平面的法线

第一种照明方式 一级闪耀波长 每一个槽面是一个反射单元，也是衍射单元，按惠更斯原理，波面上任一面元都是发射次波的波源。 单槽衍射的中央极大是几何光学的反射方向。 相邻缝间光程差 槽间干涉极大条件 一级闪耀波长

第二种照明方式 一级闪耀波长 而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。 所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加强，可实现强光谱和高分辨本领。 第二种照明方式 相邻缝间光程差 干涉极大条件 一级闪耀波长

通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能利用率。 总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用于一定波长范围。 通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能利用率。

光栅单色仪 入射狭缝S1 球面镜M1 S1处于M1的焦平面处。 反射光栅G（闪耀光栅） 球面镜M2 出射狭缝S2 S2处于M2的焦平面处。

双光栅光谱仪 球面闪耀光栅G1 G1 光谱仪 探测器 G2 引出单色光 单色仪 球面闪耀光栅G2

§5.2 X-RAY在晶体中的衍射 晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以作为衍射光栅。 是一种三维的光栅。 但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中出现衍射。 只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹配。

晶体具有规则的空间结构 这种空间结构可以用空间周期性表示

晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、分子、或离子基团，可以用一个点表示。 周期性的结构可以用晶格表示 晶格的格点构成晶格点阵

晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不同的间距，即，晶格常数，d。

入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X射线出射的方向。

衍射的极大值条件 首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点间干涉，或称为晶面的衍射。 由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。

再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。 取极大值的条件为 Bragg条件，或Bragg方程。 θ为相对于晶面的掠射角。

实验方法 1、劳厄（Laue）照相法 固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转 2θ角。

2、粉末法（得拜法Debye） 样品旋转，单色X光入射。由于样品中多晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光沿圆锥面衍射。