本章内容小结 本章题型小结 作业问题 总复习题一 课堂练习 第一章 函数与极限 第一章 习题课 本章内容小结 本章题型小结 作业问题 总复习题一 课堂练习 内容回顾

本章内容小结 函数 极限 连续 概念 性质 计算法 基本结论 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 （函数基本初等函数初等函数） 法则、准则 无穷小的性质 定义、左右极限 重要极限 等价代换 连续性 （函数基本初等函数初等函数） 基本结论 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质

题型小结 有关函数概念的命题 极限的计算 连续性的讨论 其他 求定义域；有界性、奇偶性、单调性分析等。 用定义证明极限； 不定式的极限； “定式”的极限； 分段函数的极限等。 连续性的讨论 共11种手段，详见指导书 分段函数连续性的讨论；判别间断点的类型 其他 无穷小的比较； 方程的根的分析等。

当 时, 问 等于多少,则当 时, 1.习题1－3，p38. 3 是否唯一？ 解: 设 从而 于是 要使 只要 于是取

2. 习题1－4 ，P42，6 分析： 有界 无界 ？ ② 取 ① 取 解：

2. 习题1－4 ，P42，6 分析 是无穷大 不是无穷大

. ) ( M x y > . ) ( M x y > 习题1－4，p42，7 证明：函数 在区间 上无界，但这函数不是 时的无穷大。 证明： 函数 在区间 上无界 上总能找到点 . ) ( M x y > ， 当k充分大时， 但函数不是 时的无穷大。 . ) ( 1 M x y > 无论正数 多小，总能找到这样的点 ， 使 但是

习题1－4，p42，7 证明：函数 在区间 上无界，但这函数不是 时的无穷大。 当k充分大时， 但

习题1－6，p56，4 (3) 数列 的极限存在。 证明： (Ⅰ) 数列 有界。用数学归纳法， (Ⅱ) 数列 单调递增。 (3) 数列 的极限存在。 证明： (Ⅰ) 数列 有界。用数学归纳法， (Ⅱ) 数列 单调递增。 由极限存在准则2知： =2 你能求出A的值吗？

习题1－6，p56，4 (4) 可否用等价无穷小代换的方法求此极限？ 证明： 为保证 有意义，得定义域为 讨论： 当 时， 当 时， 对于上述两种不同的情况，分别应用夹逼准则，即可得出结论。

习题1－6，p56，4 (5) 函数 表示不超过 的最大整数。 证明： 利用夹逼准则，得

利用无穷小代换求极限 习题1－9，p69，4 (6)

总习题一 选择以下题中给出的四个结论中有一个正确的结论： 设 ，则当 时，有（ ） (A) 与x 是等价无穷小 (B) 与x 同阶但非等价无穷小 (C) 是比x 高阶的无穷小 (D) 是比x 低阶的无穷小 B 解：

利用重要极限 求极限 总习题一，p74，8 (5),(6) (5) 解：

解：原式＝

10. 解： 0， 0，

M(x,y)到直线L的距离d(M,L) →0,则称L为曲线y=f(x) 的渐近线。当直线L的斜率K≠0时，称L为斜渐近线 13. 如果存在直线 ，使得当 时，曲线y=f(x)上的动点 M(x,y)到直线L的距离d(M,L) →0,则称L为曲线y=f(x) 的渐近线。当直线L的斜率K≠0时，称L为斜渐近线 (1) 证明：直线L:y=kx+b为曲线y=f(x)的渐近线的充要条件是 (2) 求曲线 的斜渐近线。 x o L M P C N y=f(x) y=kx+b y

y y=f(x) y=kx+b x o (1) 证明：先证必要性 已知直线L:y=kx+b为曲线y=f(x) 的渐近线,为了确定它，就必须求 M P C N y=f(x) y=kx+b (1) 证明：先证必要性 已知直线L:y=kx+b为曲线y=f(x) 的渐近线,为了确定它，就必须求 出其中的常数k与b。为此，观察 曲线上动点P到渐近线的距离。 根据渐近线的定义，当 时， ,从而由(1)式应有 或 又由 得到

由此可知，求曲线的斜渐近线问题就化为求(4)、(3)两式的 极限问题。 于是，若曲线 y=f(x)有斜渐近线 y=kx+b, 则其中常数k与b，可由(4)式、(3)式来确定。 充分性 略。 由此可知，求曲线的斜渐近线问题就化为求(4)、(3)两式的 极限问题。 (2) 解略。

1.举例说明“分段函数一定不是初等函数”这种说法 是不对的？ 课堂练习 1.举例说明“分段函数一定不是初等函数”这种说法 是不对的？ Why？ 解： 分段函数 就是初等函数。 与 因为 是表示同一个函数。 又因 为初等函数，所以此函数为初等函数。

解：原式＝

1. 技巧！ 解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则 这是无穷乘积的极限问题； 不能直接用法则！

2. 解

2 解：

3. 分析： 这是一类有关中值 的命题； 因所涉及到的函数是闭区间上的连续函数，应考虑利用介值定理； 由此出发构造函数F(x)! 这是一类有关中值 的命题； 因所涉及到的函数是闭区间上的连续函数，应考虑利用介值定理； 由此出发构造函数F(x)! 问题的关键是对哪一个函数在哪个区间上运用介值定理？

3. 证明 讨论:

由零点定理知, 综上,

例2（P55T7) 无界 分析： 不是无穷大 证明： ① 反证法，设函数有界，即有M＞0，使得 取 矛盾，即证函数无界

例2（P55T7) 分析： 无界 不是无穷大 证明： ②反证法，设函数为无穷大，即 取 而 矛盾，即证函数不是无穷大

例4 解法讨论 取对数法

解

另解：用重要极限2； 而

例5 解

例7 分析： 其他 这是一类有关中值 的命题； 因所涉及到的函数是闭区间上的连续函数，应考虑利用介值定理； 由此出发构造函数F(x)! 这是一类有关中值 的命题； 因所涉及到的函数是闭区间上的连续函数，应考虑利用介值定理； 由此出发构造函数F(x)! 问题的关键是对哪一个函数在哪个区间上运用介值定理？

其他 例7 证明 讨论:

由零点定理知, 综上,

-2 例9（3分）设函数 在x=0处连续，则a= 【2002.考研关注】 【求解思路】x=0 处连续f（0-0）=f（0+0） =f（0）= a 即： 左边=右边=a

例10（8分）设数列 【2002.考研关注】 证明该数列有极限，并求此极限 【求解思路】利用准则二证明极限存在，而后求出极限： 1） 有界性： 2） 单增： 3）求极限a ： （舍去）

练习题 2、

知识回顾 1.函数在一点x0处连续： 2.间断点的分类与判别; 可去型 跳跃型 间 断 无穷型 点 振荡型 … 3.连续函数的性质; 第一类间断点: 间 断 点 无穷型 振荡型 … 第二类间断点: 3.连续函数的性质; 4.初等函数的连续性质; 5.闭区间上的连续函数的特性; 最值定理、介值定理（零点定理）。

作业： ：大作业 预习：第二章 第1节