第四章 弹塑性断裂力学

线弹性断裂力学 脆性材料或高强度钢所发生的脆性断裂 小范围屈服：塑性区的尺寸远小于裂纹尺寸 弹塑性断裂力学 大范围屈服:端部的塑性区尺寸接近或超过裂纹尺寸， 如：中低强度钢制成的构件． 全面屈服：材料处于全面屈服阶段，如：压力容器的 接管部位.

弹塑性断裂力学的任务：在大范围屈服下，确定能定 量描述裂纹尖端区域弹塑性应力，应变场强度的参量．以 便利用理论建立起这些参量与裂纹几何特性、外加载荷之 间的关系，通过试验来测定它们，并最后建立便于工程应 用的断裂准则。 主要包括COD理论和J积分理论.

§4.1 小范围屈服条件下的COD 一.COD COD(Crack Opening Displacement) 裂纹张开位移。 裂纹体受载后，裂纹尖端附近的塑性区导致裂纹尖端表面 张开——裂纹张开位移：表达材料抵抗延性断裂能力 —COD准则 裂纹失稳扩展的临界值 COD准则需解决的3个问题： 的计算公式; 的测定; COD准则的工程应用

二.小范围屈服条件下的COD 平面应力下 —小范围屈服时的COD计算公式 Þ 当 q ＝ p r = r 处时 4 ry v = E 2 p 1 KI r = ( ) 2 y 2 p s s —小范围屈服时的COD计算公式

§4.2 D－B带状塑性区模型的COD D－B模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹尖端两端延 伸呈尖劈带状。塑性区的材料为理想塑性状态，整个裂纹 和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围。塑性区与弹性区 交界面上作用有均匀分布的屈服应力 . 假想：挖去塑性区 在弹性区与塑性区的界面上加上均 匀拉应力 线弹性问题 裂纹尖端的应力强度因子

又因Ｃ点为塑性区端点，应力无奇异性 将 按级数展开，有 当 较小时

又无限大板的穿透裂纹问题： 小范围屈服时平面应力的塑性区尺寸，欧文塑性区修 正的结果（考虑应力松弛）

方向的相对位移为 两点沿Ｆ D Þ Paris位移公式 卡氏定理：物体受一对力作用,力作用点间沿力方向的相对 塑性区分界上的拉应力 产生 远场均匀拉应力产生 卡氏定理：物体受一对力作用,力作用点间沿力方向的相对 位移等于应变能对外力Ｐ的偏导数。 引入虚力Ｆ，物体的应变能 方向的相对位移为 两点沿Ｆ 2 1 D Þ

又有，恒定载荷下的能量释放率为 当取板厚Ｂ＝１时 又 表示裂纹扩展过程时的长度 无裂纹体（a=0）的应变能 虚力Ｆ在裂纹尖端产生的应力强度因子 外力Ｐ在裂纹尖端产生的应力强度因子

当无裂纹时, 的相对位移为零 —Paris位移公式

的计算 又由 当 时 —无限大板的COD利用D－B模型计算结果

D－B模型不适用于全面屈服（ ）。有限元计算表 明：对小范围屈服或大范围屈服。当 时，上式的 预测是令人满意的. D－B模型是一个无限大板含中心穿透裂纹的平面应力 问题。它消除了裂纹尖端的奇异性，实质上是一个线弹性 化的模型.当塑性区较小时，COD参量与线弹性参量Ｋ之间 有着一致性. 将 按级数展开

平面应力情况下的无限大平板含中心穿透裂纹 远小于 欧文小范围屈服时的结果 D－B模型的适用条件 平面应力情况下的无限大平板含中心穿透裂纹 引入弹性化假设后，分析比较简单，适用于 塑性区内假定材料为理想塑性（没有考虑材料强化）

§4.3 全面屈服条件下的COD 高应力集中区及残余应力集中区，使裂纹处于塑性区的 包围中 全面屈服. 包围中 全面屈服. 对于全面屈服问题，载荷的微小变化都会引起应变和COD 的很大变形。在大应变情况下不宜用应力作为断裂分析的依 据。而需要寻求裂尖张开位移与应变，即裂纹的几何和材料 性能之间的关系. 用含中心穿透裂纹的宽板拉伸试验，得到无量纲的COD 与标称应变 的关系曲线。 经验设计曲线

我国CVAD（压力容器缺陷评定规范）设计曲线规定：

§4.4 COD准则的工程应用 实验测定结果：平板穿透裂纹 实际工程构件：压力容器、管道等,必须加以修正 鼓胀效应修正 压力容器表面穿透裂纹，由于内压作用，使裂纹向外 鼓胀,而在裂纹端部产生附加的弯矩。附加弯矩产生附加 应力，使有效作用应力增加，按平板公式进行计算时， 应在工作应力中引入膨胀效应系数Ｍ. Folias分析得到：

取值如下：圆筒轴向裂纹时取1.61，圆筒环向裂纹时取0.32，球形容器裂纹时取1.93. 2.裂纹长度修正 压力容器的表面裂纹和深埋裂纹应换算为等效的穿透裂纹. 非贯穿裂纹 无限大板中心穿透裂纹 令非贯穿裂纹 与无限大板中心穿透裂纹的 相等，则等效穿透裂纹的长度为

3.材料加工硬化的修正 考虑材料加工硬化，当 时，低 碳钢取 代替 。其中 为流变应力。 为材料的抗拉强度。 综合考虑上述3部分内容 D－B模型的计算公式

§4.5 J积分的定义和特性 COD准则的优点： 测定方法简单 经验公式能有效地解决中、低强度强度钢焊接结构及压力 容器断裂分析问题 缺点： 不是一个直接而严密的裂纹尖端弹、塑性应变场的表征 参量. Rice于1968年提出J积分概念，J积分主要应用于发电 工业，特别是核动力装置中材料的断裂准则。

J积分的两种定义： 回路积分：即围绕裂纹尖端周围区域的应力应变和位移所 组成的围线积分。 J积分具有场强度的性质。不仅适用于线弹 性，而且适用于弹塑性。但J积分为一平面积分，只能解决二维 问题。 形变功率定义：外加载荷通过施力点位移对试样所做的 形变功率给出。 根据塑性力学的全量理论，这两种定义是等效的。

设一均质板，板上有一穿透裂纹、裂纹表面无力作 用，但外力使裂纹周围产生二维的应力、应变场。围绕 裂纹尖端取回路 。始于裂纹下表面、终于裂纹上表 面。按逆时针方向转动 路程边界上的位移矢量 应变能密度 作用于路程边界上的力 与积分路径无关的常数。即具有守恒性。

闭合回路：ABDEC 在裂纹面上BD、AC上： 设 ， 为弧元dS的外法线元的方向余弦 微元dS上三角形体元的力的平衡条件

根据格林公式

针对平面问题，不计体力，平衡微分方程为 小应变的几何条件

利用格林积分变换 应变能密度 在全量理论单调加载下 结论成立

§4.6 J积分与能量释放率的关系 线弹性平面应变条件下，应变能密度为 又Ｉ型裂纹尖端的应力分量

积分回路：以裂纹尖端为中心，r为半径的圆周 又积分路径上的力 又张开型位移

线弹性状态下

二.D-B带状塑性区模型导出的J和COD关系 在平面应力条件下，Irwin提出小范围屈服的COD计 算公式 二.D-B带状塑性区模型导出的J和COD关系 D-B模型为一个弹性化的模型，带状塑性区为广大弹 性区所包围，满足积分守恒的条件。

积分路径：塑性区边界ABD AB上：平行于 轴 BD上：平行于 轴 因为D-B模型过于简单，将塑性区考虑为理想塑性， 实际上材料有着硬化现象，在塑性区断面上所受的力是 x的函数，与材料的硬化指数n有关。

其中：k——COD降低系数，与试样塑性变形的程度以及裂 纹前缘的应力状态有关。 罗宾松（Robinson）指出:k随塑性区的增加而增加， 在塑性区较小时，k=1 薛（shih）指出：k随硬化指数n的增加而减小。

§4.8 Ｊ积分准则及其应用 比格莱（Bagley）和兰德斯（Landes）认为：当围 绕裂纹尖端的Ｊ积分达到临界值时，裂纹开始扩展 ： §4.8　Ｊ积分准则及其应用 比格莱（Bagley）和兰德斯（Landes）认为：当围 绕裂纹尖端的Ｊ积分达到临界值时，裂纹开始扩展 ： 对于稳定裂纹扩展：上式代表开裂条件。 对于不稳定的快速扩展：上式代表裂纹的失稳条件。 代表材料性能：由实验测定 上式为开裂判据 若取试样的开裂点确定 若取试样的失稳点确定 上式为失稳判据

大量实验表明：用开裂点确定的 比校较稳定与材 料尺寸无关。而用失稳点确定的 受材料尺寸影响很大， 不宜为材料常数，所以 一般为裂纹的开裂判据。 Ｊ积分准则的优点： 与COD准则比较，理论根据严格，定义明确。 用有限元方法计算不同受力情况、各种形状结构的Ｊ积分。 而COD准则的计算公式只适用于几种最简单的几何形状和受 力情况。 实验求 ，简易可行 。

Ｊ积分准则的缺点 Ｊ积分理论根据塑性的全量理论，不允许卸载。但是裂 纹在稳定扩展时，尖端的应力要释放、要卸载。Ｊ积分 理论不能应用于裂纹临界扩展。（必须在一定的条件下 近似地分析扩展）。 Ｊ积分定义限于二维问题。 材料的 一般由开裂点确定，设计过于保守。

§4.9 临界COD测定 .试样及其制备 测定临界COD值的试样包括：中心裂纹拉伸试件，单 边裂纹拉伸试件，双边裂纹的拉伸试件，三点弯曲试件。 1.试样尺寸 以三点弯曲试样为例，GB2358-80标准规定： 尺寸包括：W=2B，a=(0.45~0.55)W；W=B；a=(0.25~0.35)W 2.裂纹的制备 控制载荷： 极限载荷 的函数

起始裂纹长度 二.试验过程和设备 三点弯曲试样

三.试验结果的处理 裂纹扩展量 0.05mm脆性失稳点或突进点所对 应的载荷 及裂纹嘴张开位移的塑性部分 脆性启 裂COD值

裂纹扩展量 0.05mm脆性失稳点或突进点所对 应的载荷 及裂纹嘴张开位移的塑性部分 脆性 失稳裂COD值

最大载荷点或最大载荷平台开始点对应的 , 最大载荷COD 时的COD值 表现启裂COD 时的COD值 条件启裂COD

阻力曲线的测试 取一组4－７个具有尽可能一致的疲劳裂纹三点弯曲试样 每个试样进行上述加载试验，但在各自不同的加载段停机 采用氧化发篮或二次疲劳法使裂纹扩展区留印 压断试样，测量裂纹稳定扩展量 做出相应的 根据试验标准有

--转动因子，随载荷而变，当载荷较大时，趋于常 数，标准规定 ＝0.45 对应特征点的载荷 —对应特征点的裂纹嘴张开位移的塑性部分 --转动因子，随载荷而变，当载荷较大时，趋于常 数，标准规定 ＝0.45 —安装引伸外刀口的厚度

§4.10 金属材料断裂韧度J积分值的测试 一.试样及其制备 1.试样( ＝4） 标准试样，Ｂ=20mm Ｗ＝24mm（中低强度钢） 1.试样( ＝4） 标准试样，Ｂ=20mm　Ｗ＝24mm（中低强度钢） 标准试样，Ｂ=15mm　Ｗ＝18mm（高强度、低韧性 钢和铝钛合金） 试样尺寸还满足： 其中：钢中Ｒ取50，钛合金中Ｒ取80，铝合金中Ｒ取120. 2.裂纹的制备

二.试验的过程和设备 三.试验结果处理 曲线 取一组5-7个试样，在不同的情况停机

阻力曲线 钝化线：体现裂纹尖端的钝化

可以确定三个特征Ｊ积分值 阻力曲线与钝化线的交点相应的 值 表现启裂韧度 表观裂纹扩展量 ＝0.05mm 时对应的 值 条件启裂韧度 表现裂纹扩展量 0.05mm而发生失稳断裂的 值 启裂韧度