第一章 光的干涉 习 题 课 主讲人 谌晓洪/杜泉

本章主要内容 1．光波的叠加原理 叠加原理成立的条件：光的独立传播定律成立 光波的叠加可分为：相干叠加与非相干叠加

2．相干条件 对于两列光波的叠加： 非相干叠加： △＝0 相干叠加： △≠0 （1）频率相同； （2）具有固定的初相位差； 相干叠加： △≠0 2．相干条件 （1）频率相同； （2）具有固定的初相位差； （3）振动方向相同或具有相同的振动分量

能产生明显干涉现象的补充条件： 3．双光场干涉的光强分布公式 （1） 两列光波之间的振幅不能相差太大； （2） 两列光波的光程差不能相差太大 （光程差应小于相干长度）。 3．双光场干涉的光强分布公式 或

或 或 当 或 时 ， （1）当 ＝2K 或 ＝ K时，相干加强，产生明条纹； 或产生光强极大值。  为两列光波间的相位差： （1）当 ＝2K 或 ＝ K时，相干加强，产生明条纹； 或产生光强极大值。 或 （2）当  ＝（2K＋1） 或  ＝ （2K＋1）/2时， 相干减弱，产生暗条纹； 或产生光强极小值。 或 当 或 时 ，

干涉条纹的可见度 影响干涉条纹可见度的主要因素： （1）两相干光束振幅之比； （2）光源的宽度； （3）光源的单色性。

4．波阵面分割法一类的干涉 实验装置主要有（1）杨氏双缝实验；（2）劳埃德镜实验；（3）菲涅耳双棱镜；（4）菲涅耳双面镜；等等 要求光源点、缝的单色光源。 光程差，明、暗条纹的位置，条纹间距分别为： 对于劳埃德镜实验注意由于大角掠射引入的附加光程差。

5．振幅分割法一类的干涉－薄膜干涉 点光源照射－产生非定域干涉 面光源照射－产生定域干涉（等倾干涉或等厚干涉） 光程差公式： 介质膜干涉一类习题的解题基本思路： （1）首先明确哪两束光是相干光； （2）找出有效光程差＝  1＋  2 ； （3）根据干涉加强、相消的条件列出方程求解。

6．干涉条纹的变化和移动 （1） 干涉场中某一固定点P的光程差，每增加或减少一个波长，就有一个条纹移过该点，故有： （2）对于等倾干涉，膜厚d0增加时，膜厚每增加 在环中心就有一个圆环冒出，向级次低的方向移动条纹。即有： （3)对于等厚干涉，平行光垂直照射，当膜厚d0增加时等厚条纹向干涉级次低的方向移动，当膜厚减小时，等厚条纹向干涉级次高的方向移动。膜厚每改变 ，干涉条纹就增加或减少一个。

7．光源的空间相干性与时间相干性 （1）空间相干性 光源的临界宽度为： 光源的相干距离为： 光源的相干孔径角为： 光源的空间相干性是指由于光源具有一定的宽度，对干涉条纹可见度的影响。 光源的临界宽度为： 为了获得清晰的干涉条纹，光源的宽度应限制在临界宽度的四分之一，即 光源的相干距离为： 光源的相干孔径角为：

两列光波能产生干涉的最大光程差等于波列的长度。 （2）时间相干性 是指由于光源的非单色性引起干涉条纹可见度的下降。 普通光源不是严格的单色光，是由于原子或分子的发光是断断续续的，每次发出光波波列的长度是有限的。 两列光波能产生干涉的最大光程差等于波列的长度。 因此有下列关系成立： 两光波能产生的最大干涉级次为：

习 题 选 讲 1. 菲涅耳双面镜的夹角为20角分，缝光源离双面镜交线10厘米，接收屏幕与光源的双像连线平行，屏幕距离双镜交线210厘米，光波波长600纳米，试求 （1）屏幕上干涉条纹的间距； （2） 屏幕上可以看到几个干涉条纹？ （3）如果光源到两镜交线的距离增大一倍，干涉条纹有什么变化？ （4）如果光源与两镜交线距离不变，只是在横向有一小的位移x，干涉条纹有什么变化？ （5）如果使屏幕上干涉条纹可见度不为零，缝光源的最大宽度为多少？※※※

解：（１）双面镜夹角 角分 弧度， 毫米， 毫米， 屏幕上条纹间距为 : mm （２）屏幕上干涉区宽度为 屏幕上的干涉条纹条数为  L1 解：（１）双面镜夹角 角分 弧度， 毫米， 毫米， 屏幕上条纹间距为 : mm （２）屏幕上干涉区宽度为  L1 Ｓ S1 S2 d  L2 X 屏幕上的干涉条纹条数为

分子中 ，条纹间距将减少为原来的一半，干涉区干涉条纹数增加一 倍． 条。 （３）由于 ，当L1增加一倍时，条纹间距为 分子中 ，条纹间距将减少为原来的一半，干涉区干涉条纹数增加一 倍． 条。 x S1  L1 Ｓ s S1 S2 S2 d  L2 S X （４）如图所示，当光源Ｓ移动s时，双像也作相应地移动，双像S1、S2连线的垂直平分线与屏幕交点O（原点，零级干涉条纹处）在屏幕上移动x．由几何关系，

由于光源的移动是横向的，移动时L1、L2和都不变，因此条纹间距不变，屏幕上干涉图样只作平移，移动的距离为 （５）设光源宽度为b，边缘光源点在屏幕上的干涉图样彼此错开x，当x与干涉条纹的宽度x一样大时，干涉条纹会因非相干叠加而消失，干涉也就消失．就是说，当 时，干涉消失．此时有

是光源的极限宽度， 可见度不为零． 2. 把一个直径32毫米、焦距1米的薄凸透镜沿中心切开后左右拉开1米的距离。一个＝500nm的点光源位于上半个透镜左方1米处。问在下半个透镜的右方10米处的屏上可看到什么形状的条纹？共可见几条条纹？

当＝K时产生同一级明条纹，因此 ，条纹是以P0为圆心的半园形条纹。最大级次为 Q Q P x 解：考察屏上任一点P的光程差＝下－上 上＝QQ + QP0 下 = QQ +QP  = QP－QP0＝  x2/2L 当＝K时产生同一级明条纹，因此 ，条纹是以P0为圆心的半园形条纹。最大级次为 故可见32＋1＝33条明条纹。

解：设直径40mm的范围内在平板玻璃上见N1个条纹，在凹面上N2个条纹。则 3. 将两块曲率半径相同的平凸透镜凸面向下，分别放在一块平凹透镜的凹面上和一块平板玻璃上，以波长为500nm的光垂直照射，发现在直径40mm的范围内所见的干涉条纹数目相差20条，求凹面的曲率半径。 R d2 d1 r 40 解：设直径40mm的范围内在平板玻璃上见N1个条纹，在凹面上N2个条纹。则 1＝2d1＋/2＝N1， 2＝2（d1－d2）＋/2＝N2

1－2＝2d1－2（d1－d2）＝2d2＝（N1 －N2） ＝20 设平凹透镜的凹面曲率半径为R，由 R2=r2+(R-d2)2,得 r2 = 2Rd2， 因而 答：平凹透镜的凹面曲率半径为40米。

条纹清晰时有：2d1=K11=(K1+1)2, 模糊时：2d=K1=(K+1/2) 2 4. 钠灯中含有589.6nm和589.0nm两条强度相近的谱线，问以钠灯照射迈克耳逊干涉仪，调节M1时，条纹为什么会出现清晰－模糊－清晰的周期变化？一个周期中，条纹一共移动了多少条？M1移动了多少距离？ 解：由于1和2强度相近，颜色几乎相同，故当1与 2的极大值重叠时，条纹清晰，而当1的极大值与2的极小值重叠时，条纹模糊不清，甚至条纹消失。 条纹清晰时有：2d1=K11=(K1+1)2, 模糊时：2d=K1=(K+1/2) 2 条纹再次清晰时：2d2=K21=(K2+2)2

答：一个周期中，条纹一共移动了983条；M1移动了0.289mm的距离。 由上式可得 所以 答：一个周期中，条纹一共移动了983条；M1移动了0.289mm的距离。

5. （南开大学99年考研试题）用水银蓝光( =435.8纳米)扩展光源照明迈克耳孙干涉仪，在视场中获得整20个干涉圆条纹．现在使Ｍ１远离Ｍ２，使d逐渐加大，由视场中心冒出500个条 纹后，视场内等倾圆条纹变为40个．试求此干涉装置的视场角、开始时的间距d1和最后的间距d2． d Ｍ1 M2 i2 解:如图，Ｍ1是圆形反射镜,Ｍ2是圆形反射镜Ｍ2的像，二者等效为空气膜面．它们对观察透镜中心的张角2i2是视场角．当Ｍ1和Ｍ2的起始间距为d１时，对于视场中心和边缘，分别有

间距由d１增加到d２的过程中，冒出500个条纹，则此时对中心和边缘有 已知＝435.8纳米,解上面四方程，可得

解：由干涉条纹产生的条件，及明条纹的位置公式 6. 若杨氏实验中光源是一张透明红纸包着的白炽灯，红纸透过的波长范围为600nm –800nm,若两缝间距为0.1mm，观察屏离缝1m，问在屏上可看到条纹的范围有多宽？共可看到多少条条纹？若用一个＝10nm的虑光片代替红纸，则可看到的条纹的范围有多宽？ 解：由干涉条纹产生的条件，及明条纹的位置公式 对于红纸： 则可看到条纹的范围为22.45=4.9cm

干涉条纹的最大干涉级次为： 故可见条纹的级次为0，1，2，3共7条 对于虑光片： 则可看到条纹的范围为249=98cm

解：如图所示，两列电磁波到达探测器的几何光程差1为AB－CB的长度。 7. 在湖面上方h＝0.5米处放一探测器，一射电星体发出波长为21厘米的电磁波，当射电星体从地面渐渐升起的时，探测器探测到极大值。求第一个极大值出现时，射电星体和地面的夹角，如图所示。（99年北工大考研题）  探测器 A B C 解：如图所示，两列电磁波到达探测器的几何光程差1为AB－CB的长度。 1＝AB－CB ＝AB－ABsin(90-2) =2hsin

一般情况下，角非常小，电磁波在湖面上反射时，将会产生半波损失，引入一个附加光程差。2＝/2 则两列光波到达探测器的总光程差为： ＝1＋2＝2hsin＋/2 由产生极大值的条件有： ＝1＋2＝2hsin＋/2＝K 第一个极大值时K＝1，所以 sin=/4h=21/4*50=0.105, =62

8. 以波长为0.6m的单色光照射，在垂直方向的反射光中观察牛顿环，设平凸透镜和平板玻璃接触处的空气层间隔为150nm，问： (1) 牛顿环中心是亮斑还是暗斑？ (2)第 6个亮环所对应的空气层的厚度为多少？ (3)若用白光照射，则可见光中哪些波长的极大值恰 好落在上述厚度的位置上？ 解：由题可知，i1＝0，=0.6m＝600nm，n＝1， h0＝150nm

(1)在中央接触处，空气膜的厚度为h0的光程为： ＝2 h0＋/2＝2×150＋600/2=600nm=1× 恰为波长的整数倍，所以应为一亮斑。 (2) 第6个亮环的干涉级次K＝7（圆心为亮斑，K＝1） ＝2 h＋/2＝7，所以h＝（7－1/2）×0.6/2=1.95m

(3)在h＝1.95m的位置上有 2 h＋/2＝K，所以 当K＝6， 7， 8， 9， 10时，相应的波长为 1＝709nm，2＝600nm，3＝520nm，4＝459nm，5＝410nm 这五种波长均在可见光范围内，其不同级次的亮环恰好落在厚度为1.95m的位置上。