常用逻辑用语复习

知识网络 常用逻辑用语 命题及其关系 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 四种命题 充分条件与必要条件 量词 全称量词 存在量词 含有一个量词的否定 或 且 非或 并集 交集 补集 运算

1.1.1命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题． 其中判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题． 命题的形式：“若P, 则q” 也可写成 “如果P,那么q” 的形式 也可写成 “只要P,就有q” 的形式 通常,我们把这种形式的命题中的P叫做命题的条件,q叫做结论. 记做:

原命题： 若p 则q 逆命题： 若q 则p 否命题： 若 p 则 q 逆否命题： 若 q 则 p 二、 四 种 命 题 一个符号 二、 四 种 命 题 条件Ｐ的否定，记作“Ｐ”。读作“非Ｐ”。 原命题： 若p 则q 逆命题： 若q 则p 否命题： 若 p 则 q 逆否命题： 若 q 则 p

结论1：要写出一个命题的另外三个命题关键是分清命题的题设和结论（即把原命题写成“若P则Q”的形式） 注意：三种命题中最难写 的是否命题。 结论2：（1）“或”的否定为“且”， （2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。

三、四种命题之间的 关系 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 互为 逆否 若p则q 若q则p 互逆 互否 互否 若﹁p则﹁q 若﹁q则﹁p 互为 逆否 否命题 若﹁p则﹁q 逆否命题 若﹁q则﹁p 互逆

四、命题真假性判断 结论： (1)原命题与逆否命题同真假。 (2)原命题的逆命题与否命题同真假。 （1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。 （2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。 结论： (1)原命题与逆否命题同真假。 (2)原命题的逆命题与否命题同真假。

反证法 反证法的一般步骤： 假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立； 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； 反设 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； 归谬 (3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。 结论

充要条件

如果命题“若p则q”为真，则记作p q（或q p）。

从集合角度理解： p q，相当于P q ， 即 P q 或 P、q

判别充要条件问题的 6 判别步骤： 7 判别技巧： ① 认清条件和结论。 ② 考察p q和q p的真假。 ① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件 充要条件定义: 称:p是q的充分必要条件,简称充要条件 显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件 p与q互为充要条件 (也可以说成”p与q等价”)

各种条件的可能情况 1、充分且必要条件 2、充分非必要条件 3、必要非充分条件 4、既不充分也不必要条件

1）A B且B A，则A是B的 2）若A B且B A，则A是B的 4）A B且B A，则A是B的 2、从逻辑推理关系看充分条件、必要条件: 1）A B且B A，则A是B的 充分非必要条件 2）若A B且B A，则A是B的 必要非充分条件 3）若A B且B A，则A是B的 既不充分也不必要条件 4）A B且B A，则A是B的 充分且必要条件

1）若A B且B A，则甲是乙的 2) 若A B且B A，则甲是乙的 3、从集合与集合的关系看充分条件、必要条件 一般情况下若条件甲为ｘ∈Ａ，条件乙为ｘ∈Ｂ 1）若A B且B A，则甲是乙的 充分非必要条件 2) 若A B且B A，则甲是乙的 必要非充分条件 3）若A B且B A，则甲是乙的 既不充分也不必要条件 4）若A=B ，则甲是乙的充分且必要条件。

注意点 1.在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出. 2.搞清 ①A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间的区别与联系； ②A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间的区别与联系 ３、注意几种方法的灵活使用： 　　　定义法、集合法、逆否命题法

2：填写“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要。 1）sinA>sinB是A>B的___________条件。 2）在ΔABC中，sinA>sinB是 A>B的 ________条件。 既不充分又不必要 充要条件 注、定义法（图形分析）

3、a＞b成立的充分不必要的条件是（　） A. ac＞bc B. a/c＞b/c C. a+c＞b+c D. ac2＞bc2 D 4.关于x的不等式：｜x｜+｜x-1｜＞m的 解集为R的充要条件是( ) (A)m＜0 (B)m≤0 (C)m＜1 (D)m≤1 C

练习2、 B 注、集合法 A 1、设集合M={x|x>2},N={x|x<3},那么”x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的 A.充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要 D不充分不必要 B 注、集合法 2、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是 A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2 A

那么┐p是┐q的_______________. 练习3、 1.已知p是q的必要而不充分条件， 那么┐p是┐q的_______________. 充分不必要条件 注、等价法（转化为逆否命题） 2：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充　要条件,则A为C的（ ）条件 　　A.充要 B必要不充分 　　C充分不必要 D不充分不必要 Ａ

练习4、 A A 集合法与转化法 1.已知P：｜2x-3｜＞1；q：1/(x2+x-6)＞0， 则┐p是┐q的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 A 2、已知p：|x+1|＞2，q：x2＜5x－6, 则非p是非q的（　） A.充分不必要条件　B.必要不充分条件　 C.充要条件　 D.既非充分又非必要条件 A 集合法与转化法

我们再来看几个复杂的命题: (1)10可以被2或5整除. (2)菱形的对角线互相垂直且平分. (3)0.5非整数. “或”,“且”, “非”称为逻辑联结词.含有逻辑联结词的命题称为复合命题,不含逻辑联结词的命题称为简单命题. 复合命题有以下三种形式: (1)P且q. (2)P或q. (3)非p.

1.3.1 逻辑联结词 或、且、非

一般地,用逻辑联结词”且”把命题p和命题q联结起来.就得到一个新命题,记作

规定:当p,q都是真命题时, 是真命题;当p,q两个命题中有一个命题是假命题时, 是假命题. 全真为真,有假即假. p q

一般地,用逻辑联结词”或”把命题p和命题q联结起来.就得到一个新命题,记作 假命题时, 是假命题.

当p,q两个命题中有一个是真命题时, 是真命题;当p,q两个命题都是假命题时, 是假命题.

一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作 读作”非p”或”p的否定” 若p是真命题,则 必是假命题;若p是假命题,则 必是真命题.

“非”命题对常见的几个正面词语的否定. 正面 = > 是 都是 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 否定 ≠ ≤ 不是 不都是 至少有两个 没有一个 某个 某些

1.4 全称量词与 存在量词

短语”对所有的””对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 “ ”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题, 短语”对所有的””对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号 “ ”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题. 常见的全称量词还有: “对所有的”,”对任意一个”,”对一切”,”对每一个”,”任给”,”所有的”等.

符号 全称命题”对M中任意一个x有p(x)成立”可用符号简记为 读作”对任意x属于M,有p(x)成立”.

1.4.2 存在量词

短语”存在一个””至少有一个”在逻辑上通常叫做存在量词,并用符号” ”表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题. 常见的存在量词还有”有些””有一个””有的””对某个”等.

特称命题”存在M中的一个x,使p(x)成 立”可用符号简记为 读做”存在一个x,使p(x)成立”.

1.4.3 含有一个量词 的命题的否定

从命题形式上看,这三个全称命题的否定都变成了特称命题. 一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论: 全称命题p: 全称命题的否定是特称命题.

特称命题的否定是全称命题. 从命题形式上看,这三个特称命题的否定都变成了全称命题. 一般地,对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论: 它的否定 特称命题的否定是全称命题.