§2 向量组的线性相关性

回顾：向量组的线性组合 定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am ， 对于任何一组实数 k1, k2, …, km ，表达式 k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组 A 的一个线性组合． k1, k2, …, km 称为这个线性组合的系数． 定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am 和向量 b，如果存在一组 实数 l1, l2, …, lm ，使得 b = l1a1 + l2a2 + … + lmam 则称向量 b 能由向量组 A 的线性表示．

引言 问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表 示？ 问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的 系数是否不全为零？

P.83 定理1 的结论： 向量b 能由 向量组 A 线性表示 线性方程组 Ax = b 有解 问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表示？ 问题1′：齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在解？ 回答：齐次线性方程组 Ax= 0 一定存在解． 事实上，可令k1 = k2 = … = km =0 ，则 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量）

问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的系数 是否不全为零？ 问题2′：齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在非零解？ 回答：齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数 不一定全等于零． 例：设 若 则 k1 = k2 = k3 =0 ．

向量组的线性相关性 定义：给定向量组 A：a1, a2, …, am ，如果存在不全为零的实 数 k1, k2, …, km ，使得 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量） 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它是线性无关的． 向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关 m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解 R(A) < m

备注： 给定向量组 A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一． 向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关，通常是指 m ≥2 的情形. 若向量组只包含一个向量：当 a 是零向量时，线性相关；当 a 不是零向量时，线性无关． 向量组 A：a1, a2, …, am (m ≥2) 线性相关，也就是向量组 A 中，至少有一个向量能由其余 m－1 个向量线性表示． 特别地， a1, a2 线性相关当且仅当 a1, a2 的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线． a1, a2, a3 线性相关的几何意义是三个向量共面．

向量组线性相关性的判定（重点、难点） 向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关 存在不全为零的实数 k1, k2, …, km ，使得 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量） ． m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解． 矩阵A = (a1, a2, …, am ) 的秩小于向量的个数 m ． 向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m－1 个向量线性 表示．

向量组线性无关性的判定（重点、难点） 向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关 如果 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量），则必有 k1 = k2 = … = km =0 ． m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解． 矩阵A = (a1, a2, …, am ) 的秩等于向量的个数 m ． 向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m－1 个向量线 性表示．

向量组线性无关性的判定（重点、难点） 向量组 A：a1, a2, …, am 线性无关 如果 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量），则必有 k1 = k2 = … = km =0 ． m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解． 矩阵A = (a1, a2, …, am ) 的秩等于向量的个数 m ． 向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m－1 个向量线 性表示． 向量组线性相关性的判定（重点、难点） 向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关 存在不全为零的实数 k1, k2, …, km ，使得 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量） ． m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解． 矩阵A = (a1, a2, …, am ) 的秩小于向量的个数 m ． 向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m－1 个向量线性 表示．

例：试讨论 n 维单位坐标向量组的线性相关性． 例：已知 试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性． 解： 可见 R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组 a1, a2, a3 线性相关； 同时，R(a1, a2 ) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关．

例：已知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且 b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1， 试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关． 解题思路： 转化为齐次线性方程组的问题； 转化为矩阵的秩的问题．

例：已知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且 b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1， 试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关． 解法1：转化为齐次线性方程组的问题． 已知 ，记作 B = AK ． 设 Bx = 0 ，则(AK)x = A(Kx) = 0 ． 因为向量组 a1, a2, a3 线性无关，所以Kx = 0 ． 又 |K| = 2 ≠0，那么Kx = 0 只有零解 x = 0 ， 从而向量组 b1, b2, b3 线性无关．

例：已知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且 b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1， 试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关． 解法2：转化为矩阵的秩的问题． 已知 ，记作 B = AK ． 因为|K| = 2 ≠ 0，所以K 可逆，R(A) = R(B)， 又向量组 a1, a2, a3 线性无关， R(A) = 3， 从而R(B) = 3，向量组 b1, b2, b3 线性无关．

定理（P.89定理5） 若向量组 A ：a1, a2, …, am 线性相关， 则向量组 B ：a1, a2, …, am, am+1 也线性相关． 其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关． m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时，一定线性相关． 特别地， n + 1个 n 维向量一定线性相关． 设向量组 A ：a1, a2, …, am 线性无关， 而向量组 B ：a1, a2, …, am, b 线性相关，则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表示式是唯一的．