第一单元 集合与常用逻辑用语 知识体系

1.集合是高考的必考内容.高考对集合问题的考查一般有两种形式：一是考查集合的有关概念、集合之间的关系、集合的运算等，题型以选择题和填空题为主；二是考查考生对集合语言、集合思想的理解与运用，往往与其他知识融为一体，题型可以是选择题、填空题，也可以是解答题.其中，集合的特征性质描述和集合的运算是高考考查的重点，常常会与求函数的定义域和值域、解不等式、求范围等问题联系在一起. 2.常用逻辑用语主要包含三部分内容：命题以及命题的四种形式、充分必要条件、量词.本单元内容在高考试题中每年必考，主要体现在三个方面：一是充分必要条件的推理判断；二是命题的四种形式；三是全称量词与存在量词、全称命题与特称命题.对于充分必要条件的推理判断问题，一般是以其他的数学知识为载体，具有较强的综合性；对于全称命题与特称命题，一般是考查对两个量词的理解，考查两种命题的否定命题的写法，这是考查的热点.

通过对本单元近几年高考试题以及命题立意的发展变化趋势，尤其是新课改地区的高考试题的分析，复习时宜采用以下应试对策： 1. 在复习中首先要把握基础知识，深刻理解本单元的基本知识点，基本的数学思想方法，重点掌握集合的概念和运算,掌握充分条件、必要条件和充要条件的判断和应用. 2. 涉及本单元知识点的高考题既有基本的选择题和填空题，也有小型和大型的综合题，因此在复习中既要灵活掌握基本题型，又要对有一定难度的大型综合题进行有针对性的准备. 3. 重视数学思想方法的复习.本单元体现的主要有数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法，而且图示法、反证法等数学方法也得到了广泛应用.

第一节 集合 1. 集合的含义与表示 （1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系. （2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题. 2. 集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义.

(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. 3. 集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. (2)理解在给定集合中的一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. (3)能使用Venn图表达集合的关系及运算. 1. 元素与集合 （1）集合中元素的三个特征: 确定性 、 互异性 、无序性. （2）集合中元素与集合的关系 文字语言 符号语言 属于 ∈ 不属于

(4)集合的表示法：列举法 、描述法 、Venn图法. (3)常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N N*或N+ Z Q R C (4)集合的表示法：列举法 、描述法 、Venn图法. 2. 集合间的基本关系表示 表示 关系 文字语言 符号语言 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 相等 A是B的子集且B是A的子集 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，B中至少有一个元素不是A中的元素 A B 或 B A 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

3.集合的基本算法 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 意义 {x|x∈A, 或x∈B} 且x∈B}

2. （2009·福州市高中毕业班单科质量检查）集合A={x|x(x-1)＜0},B={y|y= ,x∈R}，则A∩B是（ ） 1. (教材改编题)用适当符号填空. 0 {0，1}；{a,b} {b,a};0 ; 答案： 2. （2009·福州市高中毕业班单科质量检查）集合A={x|x(x-1)＜0},B={y|y= ,x∈R}，则A∩B是（ ） A. (0,2) B. (1,2) C. (0,1) D. (-∞,0) 解析: 由已知得A={x|0＜x＜1}，B={y|y＞0}.∴A∩B=(0,1) 答案： C 3. （2009·福州市高三第二次质检）设集合A={x|1≤x≤2},B={x|x≥a}.若AB,则a的范围是（ ） A. a＜1 B. a≤1 C. a＜2 D. a≤2

解析: 集合A、B如图所示：，∵AB,∴a≤1. 4. （2009·全国Ⅰ)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合 （A∩B）中的元素共有( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 解析: ∵U=A∪B={3,4,5,7,8,9}, 又∵A∩B={4,7,9},∴ (A∩B)={3,5,8}. 答案: A

5. 设全集U={1,3,5,7},集合M={1，|a-5|},MU,  ={5,7},则a的值为（ ） A. 2或-8 B. -8或-2 C. -2或8 D. 2或8 解析: ∵ M={5,7},∴M={1,3},∴|a-5|=3,∴a=8或a=2. 答案: D 1. 集合中元素的三个基本性质的应用 (1)确定性：任意给定一个对象，都可以判断它是不是给定集合的元素，也就是说，给定集合必须有明确的条件，依此条件，可以明确地判定某一对象是这个集合的元素或不是这个集合的元素，二者必居其一，不会模棱两可. 如：“较大的数”、“著名科学家”等均不能构成集合.

（2）互异性：即一个集合中的任何两个元素都应该是不相同的，特别是含有字母的问题，解题后需进行检验. （3）无序性. 2. 集合中三种语言的互化是解决集合问题的关键 即文字语言、符号语言、图象语言的互化. 3. 利用集合间的关系建立不等式求参数范围时，要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用. 4. 进行集合的运算时，应把参与运算的集合化到最简形式，再进行运算，运算时要借助于Venn图、数轴或函数图象等工具. 5. 注意分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想在集合运算中的应用.

题型一 集合的基本概念 【例1】已知集合A={m,m+d,m+2d},B={m,mq,mq2},其中m≠0,且A=B,求q的值. 分析 由A=B可知A,B两个集合中的元素相同，观察A,B两个集合中有一共同元素，则其他两个元素应对应相等，由于情况不确定，需要分类讨论. 解 由A=B可知， 解（1）得q=1;解（2）得q=1,或 又因为当q=1时，m=mq=mq2,不满足集合中元素的互异性，应舍去，所以 学后反思 本题考查集合元素的基本特征——确定性、互异性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少.

举一反三 1. 设A={-4,2a-1, },B={9,a-5,1-a},已知A∩B={9}，求实数a的值. (1)若2a-1=9,则a=5,此时A={-4,9,25},B={9,0,-4},A∩B={9,-4},与已知矛盾，舍去. （2）若a2=9,则a=±3.当a=3时，A={-4,5,9},B={-2,-2,9},B中有两个元素均为-2,与集合元素的互异性相矛盾，应舍去;当a=-3时，A={-4, -7,9},B={9,-8,4}，符合题意. 综上所述，a=-3.

分析 根据A、B间的关系，对B进行分类讨论，然后求解并验证. 题型二 集合之间的关系 【例2】设集合A ={x| +4x=0}，B ={x| +2(a+1)x+a2-1=0，a∈R}，若A∩B=B，求实数a的取值范围. 分析 根据A、B间的关系，对B进行分类讨论，然后求解并验证. 解 先化简集合A={-4,0}. 由A∩B=B，则B A，可知集合B可为，或{0}，或{-4}，或{-4,0}. (1)若B=，则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)＜0，解得a＜-1； (2)若0∈B，代入得a2-1=0 a=1或a=-1， 当a=1时，B=A，符合题意； 当a=-1时，B={0}A，也符合题意. (3)若-4∈B，代入得a2-8a+7=0 a=7或a=1， 当a=1时，已经讨论，符合题意； 当a=7时，B={-12，-4}，不符合题意. 综上可得，a=1或a≤-1.

学后反思 解决集合间的关系问题，关键是将集合化简，特别是含有字母参数时，将字母依据问题的实际情况进行合理分类，分别进行求解，最后综合后得出答案. 举一反三 2. 设集合A={x||x-a|≤2}，集合B={x||4x+1|≥9},且 求a的取值范围. 解析： A={x|a-2≤x≤a+2},B=x|x≥2或x≤ ∵ ,∴A∩B=A,如图所示. ∴a+2≤ 或a-2≥2,∴a≤ 或a≥4.

题型三 集合的运算 【例3】已知全集I=R,A={x|x2>4}, ,求(CRA)∩(CRB). 分析 解决本题的关键： (1)集合B的化简； (2) (CRA)∩(CRB)=CR(A∪B)(等价转化). 解 A={x|x＞2或x＜-2}, ∴A∪B={x|x＜-2或x＞-1}. ∴ (CRA)∩(CRB)=CR(A∪B)={x|-2 ≤x ≤-1}

学后反思 本题是集合的运算与解不等式的综合求解问题 学后反思 本题是集合的运算与解不等式的综合求解问题.解答这类问题时要注意弄清楚集合中的元素是什么，然后对集合进行化简，并注意将集合之间的关系转化为直接关系或等价关系进行求解，同时一定要善于运用数形结合的思想方法帮助分析和运算. 举一反三 3. 设集合A={x||x-2|≤2,x∈R},B={y|y=-x2,-1≤x≤2},则 CR(A∩B)等于( ) A. R B. {x|x∈R,x≠0} C. {0} D.  解析： 由已知，A=［0,4］,B=［-4,0］,∴A∩B={0}, ∴CR(A∩B)={x|x∈R,x≠0}. 答案： B

题型四 利用Venn图解决集合问题 【例4】设全集U是实数集R,M={x| ＞4},N={x|1＜x＜3},则图中阴影部分所表示的集合是( ) A. {x|-2≤x＜1} B. {x|-2≤x≤2} C. {x|1＜x≤2} D. {x|x＜2} 分析 首先用集合符号表示出阴影部分，然后对相应集合化简. 解 依题意，该图形中阴影部分表示的集合应该是N∩( M) ,而M={x| ＞4}={x|x＞2或x＜-2},于是 M={x|-2≤x≤2},因此N∩( M)={x|1＜x≤2}. 学后反思 新课标特别指出“能使用Venn图表达集合的关系及运算”，将对Venn图的要求提高到一个更高的层次，因此我们必须注意Venn图在表达集合关系和运算中的重要作用.应结合交集、并集、补集等的定义进行理解.

举一反三 4. （2009·江西）已知全集U=A∪B中有m个元素，（ A)∪( B)中有n个元素.若A∩B非空，则A∩B的元素个数为( ) A. mn B. m+n C. n-m D. m-n 解析: 如图，∵( A)∪( B)= (A∩B).而阴影部分就表示集合 (A∩B),∴阴影部分有n个元素， 而U=A∪B中有m个元素，∴A∩B中有m-n个元素. 答案: D

题型五 新型集合的概念与运算 【例5】(12分)对于集合M,N，定义M-N={x|x∈M且xN},MN=(M-N)∪(N-M),设A={y|y=x2-3x,x∈R},B={y|y=- ,x∈R},求AB. 分析 充分理解“M-N”与“MN”两种运算法则,然后把A,B两个集合化到最简，再代入进行计算. 解 由y=x2-3x(x∈R), 即 得

∵y=-2x(x∈R),2x＞0,∴-2x＜0,∴y＜0, ∴B={y|y＜0},………………………..6′ 学后反思 新型集合的概念及运算问题是近几年新课标高考的热点问题.在给出新的运算法则的前提下，充分利用已知求解是关键.集合命题中与运算法则相关的问题，是对映射构建下的集合与集合、元素与元素之间的运算相关性及封闭性的研究.

举一反三 5. （2008·江西）定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1，2}，B={0，2}，则集合AB的所有元素之和为( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 6 解析: 依题意，A*B={0,2,4},∴它的所有元素之和为6. 答案: D

【例】已知集合A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若A∪B=A,求实数m的取值范围. ∴m的取值范围是-3≤m≤3. 错解分析 因为A∪B=A,即BA,又A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5},考虑到“空集是任何集合的子集”这一性质，因此需对B= 与B≠两种情况分别讨论，进而确定m的取值范围.

正解 ∵A∪B=A,∴B A. 又∵A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}, (1)若B=，则m+1＞2m-1,即m＜2,此时，总有A∪B=A,故m＜2. (2)若B≠，则m+1≤2m-1,即m≥2,由B A得 ,解得-3≤m≤3,∴2≤m≤3. 综合(1)、(2)可知,m的取值范围是（-∞,3］.

1. （2009·福建）已知全集U=R，集合A={x| -2x＞0}，则 A等于（ ） A. {x|0≤x≤2} B. {x|0＜x＜2} C. {x|x＜0或x＞2} D. {x|x≤0或x≥2} 解析： 计算可得A={x|x＜0或x＞2}，∴CuA={x|0≤x≤2}. 答案： A 2. （2009·泉州市一级达标中学高三期末联考）已知a∈R，设集合A={x||x-1|≤2a- -2}，则A的子集个数共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个

解析： 设u=- +2a-2,Δ=4-8=-4＜0，∴u＜0,a∈R，∴A={x||x-1|＜0}，∴A=.其子集只有. 答案： B 3. (2009·广东)已知全集U=R，集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k=1,2,…}的关系的韦恩（Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多 解析: M={x|-1≤x≤3}，集合N是正奇数集，M∩N={1,3}. 答案: B 4. 已知集合A={x|y= },B={y|y= ,x＞0},R是实数集，则( B)∩A=（） A. ［0,1］ B. ［0,1) C. (-∞,0］ D. 以上都不对

解析: 集合A={x|y= }表示的是函数的定义域，可得A=［0,2］; 而集合B={y|y= ,x＞0}表示的是函数的值域，显然函数y= ,x＞0的值域为（1,+∞）,所以( B)∩A=(-∞,1］∩［0,2］=［0,1］. 答案: A 5. 集合P={(x,y)|y=k,x∈R},Q={(x,y)|y= +1,x∈R,a＞0且a≠1},已知P∩Q=，那么实数k的取值范围是（） A. (-∞,1) B. (-∞,1］ C. (1,+∞) D. (-∞,+∞) 解析: P,Q两个集合都表示点集，画出函数y=k与y= +1的图象，由P∩Q=知，两函数图象无交点，观察图象可得k≤1. 答案: B

6. 设A,B为两个非空集合，定义:A+B={a+b|a∈A,b∈B}，若A={0,2,5},B={1,2,6},则A+B的子集的个数是（ ） A. B. C. D. 解析: 由题意A+B={1,2,3,4,6,7,8,11},有8个元素,故A+B的子集的个数是 . 答案: B 7. 已知M={x|x= +2a+4,a∈R},N={y|y= -4b+7,b∈R},则M,N之间的关系为 . 解析: ∵ +2a+4=(a+1)2+3≥3,∴M={x|x≥3}. 又∵ -4b+7=(b-2)2+3≥3,∴N={y|y≥3}. ∴M=N. 答案: M=N

8. 已知A={x| -2x-3＜0},B={x||x|＜a},若BA,则实数a的取值范围是 . 解析: ∵B,∴B为非空集合，即a＞0,由 -2x-3＜0得-1＜x＜3,∴A=(-1,3). 由|x|＜a得-a＜x＜a.∴B=(-a,a). ∵BA,∴ -a≥-1, a≤3, 即a≤1. 故综上得-1<a≤1. 答案: (0,1] 9. 满足条件{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合A的个数是 . 解析: A有可能为{5},{1,5},{3,5},{1,3,5}. 答案: 4

10. (2010·济宁模拟)设全集U={(x,y)|x,y∈R}，集合M={(x,y) },N={(x,y)|y≠x-4}，那么( M)∩( N)= . 解析: M：y=x-4(x≠2),M代表直线y=x-4，但是去掉点（2，-2）， M代表直线y=x-4外，但是包含点（2，-2）；N代表直线y=x-4外， N代表直线y=x-4，故( M)∩( N)={(2,-2)}. 答案: {(2,-2)} 11. 已知函数f(x)= 的定义域为集合A，函数g(x)=lg(- +2x+m)的定义域为集合B.求当m=3时，求A∩( B). 解析： A={x|-1＜x≤5}. 当m=3时，B={x|-1＜x＜3}, 则 B={x|x≤-1或x≥3}, 故A∩( B)={x|3≤x≤5}.

12. （2010·广东联考）设集合A={x|x2＜4},. (1)求集合A∩B; (2)若不等式2x2+ax+b＜0的解集是B，求a、b的值. 解析: A={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}, (1)A∩B={x|-2＜x＜1}. (2)∵2x2+ax+b＜0的解集为B={x|-3＜x＜1}, ∴-3和1为方程2x2+ax+b=0的两根， ∴

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 1. 理解命题的概念. 2. 了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系. 3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

1. 命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.命题有 真命题 与 之分. 假命题 （1）四种命题 若 q，则 p 逆否命题 若 p，则 q 否命题 若q,则p 逆命题 若p，则q 原命题 表述形式 命题

(2)四种命题之间的关系

3. 充分条件与必要条件 （1）定义：对命题“若p,则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件; q是p的必要条件; 当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件;两种命题均为真时，称p是q的充要条件. （2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论; 其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件. 1. (教材改编题）下列说法： ①2x+5>0；② ＜0；③如果x＞2，那么x就是有理数；④如果x≠0，那么 就有意义. 一定是命题的说法是( ) A. ①② B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 解析: ②③④满足命题定义，只有①不能判断真假. 答案: C

2. (教材改编题）给出如下的命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；② =1；③如果x+y是整数，那么x,y都是整数；④ <3或 >3.其中真命题的个数是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 解析: 正确的只有④. 答案: C 3. (2010·广东汕头）与命题“若a∈M,则bM”等价的命题是( ) A. 若aM，则bM B. 若bM,则a∈M C. 若aM,则b∈M D. 若b∈M,则aM

解析: 原命题与其逆否命题是等价的. 答案: D 4. (2009·浙江)已知a,b是实数，则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析: a>0,b>0时显然有a+b>0且ab>0，充分性成立；反之，若a+b>0且ab>0，则a,b同号且同为正，即a>0,b>0,必要性成立. 答案: C

5. 下列各种说法中，p是q的充要条件的是( ) （1）p:m＜-2或m＞6；q:y= +mx+m+3有两个不同的零点； （2）p: =1;q:y=f(x)是偶函数； （3）p:cos α=cos β;q:tan α=tan β ； （4）p:A∩B=A;q: A. (1)(2) B. (2)(3) C. (3)(4) D. (1)(4) 解析:（2）中由 =1可得f(-x)=f(x)，但y=f(x)的定义域不一定关于原点对称；（3）中cos α=cos β是tan α=tan β的既不充分也不必要条件. 答案: D

1. 在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题被定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”. 2. 四种命题真假关系 原命题与它的逆否命题同真同假；原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假.当一个命题不能直接判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假而得到原命题的真假. 3. 判断命题的充要关系有三种方法 (1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假. (2)等价法：即利用AB与 B A;BA与 A B;A B与 B A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.

4. 以下四种说法所表达的意义相同 (1)命题“若p则q”为真; (2)pq; (3)p是q的充分条件; (4)q是p的必要条件.

题型一 四种命题的关系及命题真假的判定 【例1】以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假. (1)内接于圆的四边形的对角互补； (2)已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d. 分析 首先应当把原命题改写成“若p，则q”形式，再设法构造其余的三种 形式命题. 解(1)原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”； 逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”； 否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”； 逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”. 四种命题都正确.

对(2)原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c＝b＋d”是结论.显然原命题是正确的. 逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”.此命题不正确，如a+c=b+d=2,可有a=c=1,b=0.8,d=1.2,则a≠b,c≠d. 否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”(注意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”，只需要至少有一个不等即可)；此命题不正确，a=1,c=1,b=1.5,d=0.5,a≠b或c≠d,但a+c=b+d. 逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a≠b或c≠d”. 逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d,则a＝b，c＝d两个等式至少有一个不成立”,由原命题为真得此命题显然正确. 学后反思 要注意对大前提的处理以及等价命题之间的真假关系. 试一试：写出命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假.

举一反三 1. 写出命题“等式两边都乘同一个数，所得结果仍是等式”的逆命题、否命题、逆否命题. 解析： 方法一：选取“两边乘同一个数”为前提 原命题：若一个式子为等式，两边也乘以同一个数，所得的结果仍是等式； 逆命题：若一个式子两边都乘同一个数所得结果是等式，则这个式子是等式； 否命题：若一个式子不是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍不是等式； 逆否命题：若一个式子两边都乘以同一个数所得的结果不是等式，则这个式子不是等式. 方法二：选取“一个式子为等式”为前提 原命题：一个等式，若两边乘以同一个数，则所得结果仍为等式； 逆命题：一个等式,若两边分别乘以一个数， 所得结果仍为等式，则两边乘的是同一个数； 否命题：一个等式,若两边乘以不同的数，则所得结果不是等式； 逆否命题：一个等式，若两边分别乘以一个数，所得结果不是等式，则两边乘的不是同一个数.

题型二 两个命题之间充要条件的判定 【例2】用“充分条件、必要条件、充要条件”填空: (1)“a+b<0且ab>0”是“a<0且b<0”的 ; (2)“x>1”是“ <1”的 ; (3)“(x-4)(x+1)≥0”是“ ≥0”的 ; (4)“x=2”是“ -7x+10=0”的 . 分析 先把条件或结论化简，若条件能推出结论，则条件是结论的充分条件;反之，条件是结论的必要条件. 解 （1）充要条件(2)充分条件(3)必要条件(4)充分条件 学后反思 判断充分、必要条件时,多与数学上其他知识内容相联系，要考查到其他内容掌握的程 .

举一反三 2. （2009·四川）已知a,b,c,d为实数，且c>d.则“a>b”是“a-c>b-d”的( ) 解析: 由a-c>b-d,c>d两个同向不等式相加得a>b,但c>d,a>ba-c>b-d.例如a=2,b=1,c=-1,d=-3时，a-c<b-d. 答案: B

题型三 三个或三个以上命题之间充要条件的判定 【例3】已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s，r，p分别是q的什么条件？ 分析 画出关系图，观察求解. 解 s是q的充要条件 ； r是q的充要条件 ; p是q的必要条件 . 学后反思 图可以画得随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系,利用它们的传递性和对称性判断.

举一反三 3. 设A、B、C三个命题，若A是B的充要条件，C是B的充分不必要条件，则C是A的 条件. 答案：充分不必要

题型四 利用充分、必要条件求实数的范围 【例4】(12分)已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m＞0)，若 的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 分析 可以有两个思路: (1)先求出 ，然后依据 ， 求的m的取值范围 （2）若原命题为“ ”，其逆命题是“若p,则q”.由于他们是等价的，可将是的必要不充分等价转化为求p是q的充分不不要条件来求解。 解 “ 必要不充分条件”的等价命题是： p是q的充分不必要条件. 3′ ∴ 设p:A={x|-2≤x≤10}，q:B={x|1-m≤x≤1+m,m＞0}. 6′ ∵p是q的充分不必要的条件，∴A B. 10′ 12‘ 学后反思 本题采用了等价转化的方法将原命题的条件转化为等价命题的形式，然后从集合的角度去解决此类问题，既简便又快捷.

举一反三 4. 本例把“ 的必要而不充分条件”改为“ 的充分而不必要条件”，求实数m的取值范围. 解析: ∵“ 的充分而不必要条件”的等价命题是：q是p的充分而不必要条件,∴BA. ∴ m>0, 1-m≥-2,（等号不同时成立） 1+m≤10, 解得0<m≤3.

【例】写出命题“若 ，则实数m，n，a，b全为零”的否定及否命题. 错解分析 错解（1）混淆了命题的否定与否命题的概念，错解（2）“全为零”的否定是“不全为零”而不是“全不为零”. 正解 命题的否定：若 ,则实数m,n,a,b不全为零. 命题的否命题：若 ，则实数m,n,a,b不全为零.

1.下面有四个命题： ①集合N中最小的数是1； ②若-a不属于N，则a属于N； ③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2； ④ 的解集可表示为{1,1}. 其中真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析：①假命题，集合N中最小的数是0；②假命题，如 时,命题不成立；③假命题，如a=0,b=1,则a+b=1；④假命题，{1,1}与集合元素的互异性矛盾，其解集应为{1}. 答案：A

2. （创新题）命题“若ab=0,则a=0或b=0”的逆否命题是（） A. 若ab≠0，则a≠0或b≠0 B. 若a≠0或b≠0，则ab≠0 C. 若ab≠0，则a≠0且b≠0 D. 若a≠0且b≠0，则ab≠0 解析: “或”否定后变为“且”. 答案: D 3. 有下列四个命题： ①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题； ③“若b≤－1，则方程 有实根”的逆否命题； ④“若A∪B=B,则A B”的逆否命题. 其中真命题是( ) A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④

解析：写出相应命题并判定真假. ①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题； ②“不相似三角形的周长不相等”为假命题； ③“若方程 没有实根，则b＞－1”为真命题； ④“若AB，则A∪B≠B”为假命题. 答案：C 4. “α≠β”是“cos α≠cos β”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 解析： 答案：B

5. 已知不等式|x-m|＜1成立的充分不必要条件是 ＜x＜ ，则m的取值范围是 ( ) A. {m|- ≤m≤ } B. {m|m＜ } C. {m|- ≤m≤ } D. {m|m≥- } 解析: |x-m|＜1-1+m＜x＜1+m， ∵ ＜x＜ 时，|x-m|＜1， ∴(-1+m,1+m) . ∴-1+m≤ ，且1+m≥ ,由此得- ≤m≤ . 答案: C 6. （2009·福建）设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α//β的一个充分不必要条件是 （ ） A. m//β且l1//α B. m//l1且n//l2 C. m//β且n//β D. m//β且n//l2

解析： 因mα,l1β，若α∥β，则有m∥β且l1∥α，故α∥β的一个必要条件是m∥β且l1∥α,排除A 解析： 因mα,l1β，若α∥β，则有m∥β且l1∥α，故α∥β的一个必要条件是m∥β且l1∥α,排除A.因m，nα,l1,l2β且l1与l2相交，若m∥l1且n∥l2，因l1与l2相交，故m与n也相交，∴α∥β；若α∥β，则直线m与直线l1可能为异面直线，故α∥β的一个充分而不必要条件是m∥l1且n∥l2，应选B. 答案： B 7. (2010·宁夏银川模拟)原命题：“设a、b、c∈R，若a >b ，则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有个. 解析: 由题意可知，原命题正确，逆命题错误，所以否命题错误，而逆否命题正确. 答案: 1 8. 命题“若x,y是奇数，则x+y是偶数”的逆否命题是 ; 它是 命题. 解析：原命题是真命题,所以其逆否命题也是真命题. 答案：若x+y不是偶数，则x,y不都是奇数 真

9. （2008·全国）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件：① ; 充要条件:② . （写出你认为正确的两个充要条件） 解析：本题为开放性填空题，下面给出了四个充要条件，任写两个即可，写出其他正确答案也可. 答案： 两组相对侧面分别平行 一组相对侧面平行且全等 对角线交于一点 底面是平行四边形 10. (x-1)(x+2)＜0的一个必要不充分条件是 . 解析：这是一道开放题，答案不唯一，只要满足x＞-2或x＜1均可，但不可以是-2＜x＜1. 答案：x＞-2(或x＜1)

11. 写出命题“若m＞0，则方程 +x-m=0有实数根”的逆否命题，判断其真假，并加以证明. 解析：原命题的逆否命题是：“若方程 +x-m=0没有实数根，则m≤0”.它是真命题. 证明：∵方程 +x-m=0没有实数根，∴Δ=1+4m＜0， ∴m＜ ，∴m≤0成立.(也可以证明原命题正确) 12. 已知p: ,q: ≥0.求p是q的什么条件. 解析： p:A= ; q:B= , 由图知A B,故p是q的充分不必要条件.

第三节 简单的逻辑结构、全称量词与存在量词 1. 了解逻辑联结词 “或”、“且”、“非”的含义. 2. 理解全称量词与存在量词的意义. 3. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 1. 命题p∧q,p∨q, 的真假判断 p q p∧q p∨q   真 假

2. 全称量词 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题. （3）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记 为: x∈M,p(x)，读作“对任意x属于M,有p(x)成立”. 3. 存在量词 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （2）含有存在量词的命题，叫做特称命题. （3）特称命题“存在M中的元素 ,使 成立”可用符号简记为:  ,读作“存在M中的元素 ”. 4. 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定 命题 命题的否定

设集合M={x|x＞2},P={x|x＜3},那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的 （ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析: “x∈M或x∈P”不能推出“x∈M∩P”，反之可以. 答案: A 2. (教材改编题)已知命题p且q为假命题，则可以肯定( ) A. p为真命题 B. q为假命题 C. p,q中至少有一个是假命题 D. p,q都是假命题 解析: 利用真值表判断. 答案: C

3. 下列命题中正确的是（） A. 对所有正实数t，有 ＜t B. 不存在实数x，使x＜4，且 +5x-24=0 C. 存在实数x，使|x+1|≤1且x2＞0 D. 不存在实数x，使 +x+1=0 解析: A不正确，如t= ，有 ＞t;B不正确，如x=3＜4,而x2+5x-24=0;D不正确. 令f(x)= +x+1,则f(-1)=-1<0,f(0)=1>0,又因为函数f(x)的定义域为R,所以f(x)= +x+1在(-1,0)上必存在零点，即存在实数x使 +x+1=0. 答案: C 4. （2009·福建省普通高中毕业班单科质量检查）命题：“x∈R, -x+2≥0”的否定是（ ） A. x∈R, -x+2≥0 B. x∈R, -x+2≥0 C.x∈R, -x+2＜0 D. x∈R, -x+2＜0

解析： 全称命题的否定是特殊命题. 答案： C 5. （2009·泉州市一级达标中学高三期末联考）有关命题的说法错误的是（ ） A. 命题“若 -3x+2=0则x=1”的逆否命题为“若x≠1， 则 -3x+2≠0”； B. 命题“sinx≥1”是一个复合命题，而且是个真命题； C. 若( p)∨( q)为真命题，则命题p、q至少有一个为真命题； D. 对于命题p∶x∈R，使得 +x+1＜0.则 p∶x∈R，均有 +x+1≥0 解析： C中若（ p）∨( q)为真命题，则命题p、q至少有一个为假命题. 答案： C 1. 命题：“p∧q”,“p∨q”,“ ”的真假判断方法 （1）“p∧q”形式复合命题判断真假的方法是：“一假必假”. (2)“p∨q”形式复合命题判断真假的方法是:“一真必真”. (3)“ ”形式复合命题判断真假的方法是:“真假相对”.

2. 判断复合命题真假的步骤 （1）首先确定复合命题的结构形式; （2）判断其中简单命题的真假; （3）根据其真值表判断复合命题的真假. 3. 含有一个量词的命题的否定（全称命题与特称命题）,常见 的有: “对所有x成立”的否定是“存在某x不成立”; “对任意x不成立”的否定是“存在某x成立”; “至少有一个”的否定是“没有一个”; “至多有一个”的否定是“至少有两个”; “至少有n个”的否定是“至多有n-1个”; “至多有n个”的否定是“至少有n+1个”. 4. 复合命题的否定 （1）“ p”的否定是“p”. （2）“p或q”的否定是“ p且 q”. （3）“p且q”的否定是“ p或 q”.

题型一 判断含有逻辑联结词的命题的真假 【例1】分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断其真假. (1)5或7是30的约数; (2)菱形的对角线互相垂直平分; (3)8x－5＜2无自然数解. 分析 由含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的形式及其真值表直接判断.

学后反思 判断含有逻辑联结词的命题的真假的一般步骤: (1）把复合命题写成两个简单命题，并确定复合命题的构成形式； （2）判断简单命题的真假； （3）根据真值表判断复合命题的真假. 举一反三 1. 分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假. (1)8或6是30的约数； (2)矩形的对角线互相垂直平分； (3)方程 -2x＋3＝0没有实数根. 解析: (1)p或q，p：8是30的约数(假)，q：6是30的约数(真).为真命题. (2)p且q，p：矩形的对角线互相垂直(假)，q：矩形的对角线互相平分(真). 为假命题. (3)非p, p： －2x＋3＝0有实根(假).为真命题.

题型二 全称命题、特称命题及其真假判断 【例2】判断下列语句是不是命题，如果是，说明其是全称命题还是特称命题,以及真假情况，并用符号“ ”或“ ”来表示. (1)有一个向量a，a的方向不能确定; (2)存在一个函数f(x)，使f(x)既是奇函数又是偶函数; (3)对任意实数a,b,c,方程 都有解; (4)在平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗? 分析 根据语句中所含联结词判断其是何命题. 解 (1)(2)都是真命题，(3)是假命题，(4)不是命题.其中(1)(2)是特称命题，(3)是全称命题. 上述命题用符号“ ”或“ ”表示为： （1）a∈{向量}，使a的方向不能确定； （2）f(x)∈{函数},使f(x)既是奇函数又是偶函数； （3）a,b,c∈R,方程 都有解.

学后反思 含有“所有的”、“任意一个”、“任意的”、“一切的”、“每一个”、“任给”等全称量词的命题，叫做全称命题 学后反思 含有“所有的”、“任意一个”、“任意的”、“一切的”、“每一个”、“任给”等全称量词的命题，叫做全称命题.含有“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”、“存在着”等存在量词的命题，叫做特称命题. 要判定全称命题“ x∈M, p(x) ”是真命题，需要对集合M中每个元素x, 证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素 ,使得 不成立，那么这个全称命题就是假命题.要判定特称命题 “ x∈M, p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素 ,使 成立即可;如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，则特称命题是假命题. 举一反三 2. 用符号“ ”与“ ”表示含有量词的命题,并判断真假. （1）实数的平方大于等于0; （2）存在一对实数，使2x＋3y＋3>0成立. 解析：（1）x∈R， ≥0，真命题; (2）x∈R，y∈R，2x＋3y＋3>0，真命题.

题型三 全称命题、特称命题的否定 【例3】写出下列命题的否定并判断真假. （1）p:对任意的正数x， >x-1； （2）q:三角形有且仅有一个外接圆; （3）r:存在一个三角形，它的内角和大于180°; （4）s:有些质数是奇数. 分析 以上这几个命题中（1）（2）是全称命题，（3）（4）是特称命题，在否定时既要对结论否定，又要对量词否定. 解（1） :存在正数x，x≤x-1,真命题. （2） :存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆，假命题. （3) :所有三角形的内角和小于或等于180°，真命题. （4） :所有的质数都不是奇数，假命题. 学后反思 含有全称量词（或存在量词）的命题的否定与命题的否定有着一定的区别，含有全称量词（或存在量词）的命题的否定是将其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定；而命题的否定，则直接否定结论即可.从命题形式上看，含有全称量词的命题的否定是含有存在量词的命题，含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题.

举一反三 3. 下列命题的否定表述正确的有 . ①p :面积相等的三角形是全等三角形； ：面积相等的三角形不是全等三角形. 3. 下列命题的否定表述正确的有 . ①p :面积相等的三角形是全等三角形； ：面积相等的三角形不是全等三角形. ②p ：有些质数是奇数； ：所有的质数都不是奇数. ③ ④ ① 应为：有些面积相等的三角形不是全等三角形；③ 应为： 解析： 答案：②④

题型四 对复合命题真假判断的综合应用 【例4】(12分)已知命题p：方程 +ax-2=0在［-1,1］上有解；命题q：只有一个实数 x满足不等式 +2ax+2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围. 分析 首先对所给命题进行化简，然后再通过对含逻辑联结词的命题的真假判断的知识给予讨论解决. 解 由 +ax-2=0,得(ax+2)(ax-1)=0,…………………2′ 显然a≠0,∴x=- 或x= .………………………………4′ ∵x∈［-1,1］，故 ≤1或 ≤1, ∴|a|≥1.……………………………………………………6′ “只有一个实数x满足 +2ax+2a≤0”，即抛物线y= +2ax+2a与x轴只有一个交点，∴Δ=4 -8a=0,∴a=0或2.…………8′ ∴命题“p或q”为真命题时,|a|≥1或a=0.…………………10′ ∵命题“p或q”为假命题, ∴a的取值范围为-1＜a＜0或0＜a＜1.……………………12′

学后反思 解决这类问题时，关键在于对所给命题的等价转化 学后反思 解决这类问题时，关键在于对所给命题的等价转化.它所涉及的命题往往是方程根的问题或不等式解的问题，所以首先要熟知它们的等价转化，化到最简后，再应用真值表以及数轴或函数图象进行分析. 举一反三 4. 命题p:方程 +mx+1=0有两个不等的正实数根，命题q:方程 4 +4(m+2)x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题，求m的取值范围. 解析:“p或q”为真命题，则p为真命题，或q为真命题，或p和q都是真命题. (1)当p为真命题时，则 得m＜-2; (2)当q为真命题时，则 ,得-3＜m＜-1; (3)当q和p都是真命题时，得-3＜m＜-2. 综上，m的取值范围是m＜-1.

【例】若p: -2x-3>0;q: >0，则 p是 q的什么条件. 错解 p: -2x-3≤0-1≤x≤3. q: ≤0-2<x<3 ∴ p是 q的既非充分又非必要条件. 错解分析 q的求解是错误的，产生错误的原因在于对命题的否定的概念理解错误，误认为： q: ≤0，事实上当 -x-6=0也属于 q的一部分，这样导致了不等价变换引起失误. 正解 ∵p: -2x-3>0x<-1或x>3, ∴ p:-1≤x≤3. q: >0x<-2或x>3, ∴ q:-2≤x≤3.∴ p q,但 q/ p, ∴ p是 q成立的充分不必要条件.

1. 若命题p∧q为假，且 为假，则( ) A. p或q为假 B. q假 C. q真 D. p假 答案：B 解析： 为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假.

2. 若条件p:x∈A∩B,则 是( ) A. x∈A且xB B. xA或xB C. xA且xB D. x∈A∪B 解析： :xA∩B,∴x至少不属于A,B中的一个. 答案：B 3. （2009·福州市高中毕业班单科质量检查）下列有关命题的说法正确的是（ ） A. 命题“若 =1，则x=1”的否命题为：“若 =1，则x≠1”. B. “x=-1”是“ -5x-6=0”的必要不充分条件. C. 命题“x∈R”使得“ +x+1＜0”的否定是：“x∈R，均有“ +x+1＜0”. D. 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题. 解析： A中命题的否命题应为“若 ≠1，则x≠1，”A错；B中x=-1是 -5x-6=0的充分条件B错；C中命题的否定应为“x∈R，有 +x+1≥0”.C错. 答案： D

4. 如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论： ①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题； ③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题. 其中正确的结论是 （） A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④ 解析: “非p或非q”是假命题“非p”与“非q”均为假命题,即p和q均为真命题.故“p或q”和“p且q”都是真命题. 答案: A 5. （2009·厦门一中）若命题“x∈R, +(a-1)x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是（ ） A. ［-1，3］ B. ［1，4］ C. （1，4） D. (-∞,1］∪［3,+∞) 解析： 原命题即对“x∈R，有 +(a-1)x+1≥0，”即Δ= -4≤0.∴-1≤a≤3. 答案： A

6.（2010·潍坊模拟）已知命题p:x∈R,使tan x=1,命题q: -3x+2<0的解集是{x|1<x<2},下列结论：①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧ q”是假命题； ③命题“ p∨q”是真命题; ④命题“ p∨ q”是假命题.其中正确的是（） A. ②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 解析: 命题p:x∈R，使tan x=1正确，命题q: -3x+2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题，∴①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧ q”是假命题；③命题“ p∨q”是真命题;④命题“ p∨ q”是假命题. 答案: D 7. 用“充分、必要、充要”填空： (1)p∨q为真命题是p∧q为真命题的 条件； (2) 为假命题是p∨q为真命题的 条件. 答案：必要 充分 8. “末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是 ；否命题是 . 答案：至少存在一个末位数是0或5的整数，它不能被5整除所有末位数不是0且不是5的整数，不能都被5整除

9. 命题“ -3x+2=0的两根是1或2”是 的形式，此命题是 (真、假)命题. 答案：p∨q 真 10. 已知p(x): +2x-m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是 . 解析: 因为p(1)是假命题，所以1+2-m≤0，解得m≥3,又因为p(2)是真命题，所以4+4-m>0，解得m<8，故实数m的取值范围是3≤m<8. 答案: ［3,8) 11. 写出下列命题的否定，并指出真假. (1)p:x∈R, -x+ ≥0; (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:x∈R, +2x+2≤0; (4)s:至少有一个实数x，使 +1 0.

解析：（1） p:x∈R, -x+14<0,假命题; (2) q:至少有一个正方形不是矩形，假命题; (3) r:x∈R, +2x+2>0,真命题; (4) s:x∈R, +1≠0,假命题. 12. 给定两个命题, P：对任意实数x都有 恒成立；Q：关于x的方程 有实数根.如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围. 解析：对任意实数x都有 恒成立 a=0或 ;关于x的方程 有实数根 .如果P真Q假，有0≤a＜4, 且a＞ ,∴ ＜a＜4;如果Q真P假，有a＜0或a≥4,且a≤ ,∴a＜0.所以实数a的取值范围为 .

一、对集合的理解以及集合思想的应用 集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想在函数与方程、不等式中的运用.通过复习,考生应树立运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用. 【例1】设A={(x,y)| －x－1=0},B={(x,y)|4 +2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=，证明此结论. 分析 本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.解决此题的关键是将条件(A∪B)∩C=转化为A∩C=且B∩C=，这样难度就降低了. 由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、k∈N,进而可得值.

解 ∵(A∪B)∩C=，∴A∩C=且B∩C=. ∵ =x+1, y=kx+b,∴ +(2bk－1)x+ －1=0, ∵A∩C=, ∴Δ1= <0, ∴4 －4bk+1<0,此不等式有解的充要条件是16 －16>0, 即 >1;① ∵ 4 +2x-2y+5=0, y=kx+b, ∴4 +(2－2k)x+5-2b=0. ∵B∩C=,∴Δ2= －4(5－2b)<0, ∴ －2k+8b－19<0, 从而8b<20, 即b<2.5.② 由①②及b∈N,得b=2,代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得 4 -8k+1＜0, -2k-3＜0且k∈N, ∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=.

二、数形结合思想在集合问题中的应用 在解决一些集合问题时，求数集常用的方法为数轴法,取交并集，如果是点集,常常通过画出函数的图象，观察图象的交点以及位置关系来解决问题.Venn图法在解决有限集之间的关系时也会经常用到. 【例2】向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人,问:对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

分析 解答本题的关键是考生能由题目中的条件画出Venn图，形象地表示出各数量关系间的联系. 解 赞成A的人数为50× =30，赞成B的人数为30+3=33，如图， 记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A,赞成事件B的学生全体为集合B. 设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为 ,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.

依题意(30－x)+(33－x)+x+ +1=50,解得x=21. 所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人. 三、充要条件的理解与判定方法 充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系,力求通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系. 【例3】已知数列 的前n项和 ,求数列 是等比数列的充要条件. 分析 本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性.以等比数列的判定为主线，本题的关键在于抓住数列前n项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定. 由关系式 去寻找 与 的比值，但同时要注意充分性的证明.

解 , 当n≥2时， , ∵p≠0,p≠1,∴ , 若 为等比数列，则 ,∴ , ∵p≠0，∴p-1=p+q，∴q=－1. 这是{ }为等比数列的必要条件. 下面证明q=－1是 为等比数列的充分条件. 当q=－1时， , . 当n≥2时， , ∴ ∵ 为常数, ∴q=－1时，数列 为等比数列. 即数列 是等比数列的充要条件为q=－1.

四、逻辑用语在描述数学问题中的应用 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力而设置的.关于逻辑用语的知识较为抽象，在高考命题中较少单独考查这一方面知识，更多会作为一种描述数学问题的语言出现.所以,结合实际问题对逻辑用语进行理解是掌握这方面知识的关键. 【例4】已知c＞0，设命题P：函数 为减函数;命题Q：当 时， 函数 恒成立.如果P或Q为真命题，P且Q为假命题，求c的取值范围. 分析 首先对命题进行等价转化，然后运用真值表判断题目中复合命题与简单命题的真假关系. 解 由 为减函数,得0＜c＜1. 当 时，因为 , 故函数f(x)在 上为减函数，在(1,2］上为增函数. 故 在 上的最小值为f(1)=2.

当 时,由函数 恒成立， 得 ,解得 . 如果P真，且Q假，则0＜c≤ . 如果P假，且Q真，则c≥1. 所以c的取值范围为(0, )∪［1,+∞). 1. (2008·浙江)已知U=R,A={x|x>0},B={x|x≤-1},则(A∩ B)∪(B∩ A)=( ) A.  B. {x|x≤0} C. {x|x>-1} D. {x|x>0或x≤-1}

解析：A={x|x>0}， A={x|x≤0};B={x|x≤-1}, B={x|x>-1} 解析：A={x|x>0}， A={x|x≤0};B={x|x≤-1}, B={x|x>-1}.A∩ B={x|x>0},B∩ A={x|x≤-1}, 故(A∩ B)∪(B∩ A)={x|x>0或x≤-1}. 答案：D 2. （2008·湖北)若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则( ) A. “x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B. “x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C. “x∈C”是“x∈A”的充要条件 D. “x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件 解析： 由集合的运算特点知x∈Ax∈C,反之不一定成立. 答案： B

3. (2009·宁夏、海南）有四个关于三角函数的命题： p1:x∈R, ; p2:x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y; p3:x∈［0,π］, =sin x; p4:sin x=cos yx+y= . 其中的假命题是( ) A. p1,p4 B. p2,p4 C. p1,p3 D. p2,p3 解析： =1恒成立,p1错；当x=y=0时，sin(x-y)=sin x-sin y,p2对；∵ ,当x∈［0,π］时，sin x≥0,∴ =sin x,p3对；当x= ,y= 时，sin x=cos y成立，但x+y≠ ,p4错. 答案： A

4. （2009·上海）已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是 . 解析： A为(-∞,1］，B为［a,+∞),要使A∪B=R，只需a≤1. 答案： (-∞,1］