第四章 正态分布 主讲教师：王丽艳 徐栋

第一节 正态分布 一、正态分布与正态曲线 120名18岁女孩身高的频数分布直方图：

１、正态分布（常态分布）：中间多，两侧逐渐减少 的基本对称的频数分布。随机变量服 从正态分布，记为 即随机变量服从参数是μ和 σ2的正态 分布。 2、正态曲线：中央高，两侧逐渐下降，两端无限延伸 与横轴相靠而不相交，左右完全对称的 钟形曲线。

二、正态分布的性质 1、曲线是单峰，位于 x 轴上方，且在 处有最大值。 2、曲线以直线 为对称轴，对称地向两边下降， 以 x 轴为渐近线。 2、曲线以直线 为对称轴，对称地向两边下降， 以 x 轴为渐近线。 3、曲线与横轴之间的面积是1。 4、 和 是正态分布的两个参数。 决定曲线的位置，称为位置参数； 决定曲线的形状，称为形状参数。 当 较小时，曲线“高”且“瘦”； 当 较大时，曲线“矮”且“胖”。

第二节 标准正态分布 一、标准正态分布 对于任一均数为 ，标准差为 的随机变量 的 正态分布，都可以作一个变量代换，使其成为 =0， 第二节 标准正态分布 一、标准正态分布 对于任一均数为 ，标准差为 的随机变量 的 正态分布，都可以作一个变量代换，使其成为 =0， =1 的标准正态分布，记为 , 表示随机变 量U服从参数为0和1的标准正态分布。

二、标准正态密度函数的图象

三、标准正态分布表 （一）表的构造 1、标准正态分布的横轴变量 u ,即表中左上角所对 应的行与列。 围成的面积。 （二）正态分布表的使用 1、已知变量 u 值查出对应的面积。(u φ) 2、已知面积去找出相对应的变量 u 值。(φ u)

(三)计算方法 1、已知求对应的面积（概率） （1）求某个值以左的面积 P(u＜0.25) P(u＜-0.84) （2）求某个值以右的面积 （3）求两个值所围成的面积 P(1.25＜u＜2.34) P (-2.4＜u＜-1.3) P(-1＜u＜2)

P(u＜0.25)= Φ(0.25)=0.5987 P(u＜-0.84)=Φ(-0.84)=0.2005 P(u＞2.58)=1-Φ(2.58)=1-0.9951=0.0049 P(u＞-1.93)=1-Φ(-1.93)=1-0.0268=0.9732 P(1.25＜u＜2.34)=Φ(2.34)-Φ(1.25) =0.9904-0.8944=0.096 P(-2.4＜u＜-1.3)=Φ(-1.3)-Φ(-2.4) =0.0968-0.0082=0.0886 P(-1＜u＜2)=Φ(2)-Φ(-1) =0.9773-0.1587=0.8186

2、已知面积（概率）求对应的值 例: 已知变量服从正态分布， 求 解：直接反查正态分布表可知，与概率0.8907相对应的 u值为1.23，与概率0.0918相对应的值u为- 1.33， 即 =1.23， = -1.33。

第三节 正态分布在体育中的应用 一、估计达到某标准的人数(x u φ) 例：设某年级学生跳远测验的样本统计量x=5.00m, S=0.40m。根据这个样本定出标准为5.60m以上为5 分， 5.40m以上为4分， 4.60m以上为及格。求各 等级人数百分比各是多少？(田赛)

估计达到某标准人数的步骤： 1、 将某标准的 x 转换为 u 值。 2、制作正态分布草图，以确定估计范围。 3、查表找到估计范围的面积。 4、计算估计范围的人数。

练习：在某市区初三女生中随机抽测立定跳 远的成绩：x=158.6 cm, S=18.3 cm.若该地区初 三女生共有850人,试估计成绩分别超过150 cm、 185 cm、 200 cm的人数百分比及人数。

例：某校初二女生100人，50m跑成绩的x=9.3s ， S=0.59s 。现规定小于或等于8.8s 为优秀， 9.2 s为 良好， 9.6 s为及格，问该年级女生达到各标准的 人数百分比及人数各为多少？(径赛)

练习：某年龄组180人100跑 x=15.24s ，S =0.53s。 若优秀定为14 s,良好为14.68 s,及格定为 16s ，试分 别求成绩达到优秀、良好、及格和不及格的人数及 百分比。

例：某大型网球运动中心，每天接待的人数服从 正态分布，x～N(800,1502)，试求： （1）每天接待人数在650～1000人之间的概率； （2）每天接待人数超过1100人的概率； （3）每天接待人数不足350人的概率。

练习： 现有10000名成年男子，假定身高服从正态分 布其均数μ=175cm，标准差σ=15cm。 (1)试估计其中有多少人身高在177厘米以下; （2）试估计其中有多少人身高至少是183厘米。

二、制定考核标准(φ u x) 例:测得某年级男生铅球成绩x=7.20m， S=0.39m。 若规定按现有水平让10％达到优秀 ,60％达到 良好（不含优秀），5％不及格。问各标准是 多少？(田赛)

制定考核标准的步骤： 1、制定正态曲线的分布草图。 2、计算出从-∞到各u值所围成的面积。 3、查表求各等级的u值。 4、求各等级标准的x值。

练习：随机抽取某年级部分学生测试跳高 x=1.40, S=0.10 . 若规定15％达到优秀，25％达到 良好，7％不及格。试确定各等级的成绩。

例：某年级学生100米跑的 x=14.7s，S=0.7 s 。 按现有水平要求10％达到优秀，30％达 到良好，8％不及格，其余为及格。求各 等级的成绩标准各是多少？（径赛）

练习：测得某校初三女生800米跑成绩的 x=236.36s ( 即 3min56.36 s ), S = 20.08s, 规定优秀、良好、及格 人数的百分比分别是15%、30%、 45%，问各标准各为多少？

三、审核可疑数据（确定正常值范围） 数据的审核方法还有很多，如以事物出现的概率为依 据，依据正态分布规律可知，实测值在[ ]范围 据，依据正态分布规律可知，实测值在[ ]范围 内的数目占所有实测值的99.73%，即1000个数据中平均只 有2个多（不到3个）数据在上述范围之外。因此，随机抽 样时要抽到上述范围之外数据是可能性极小的小概率事 件，可视为可疑数据。

例：随机抽测某地500名初三女生同学的体重(服从正态分布） x=48.2kg S=5.14kg. 该地区初三女生的体重实测值分别是 x1=65 kg , x2=53kg , x3=32.5kg .试审核这三个数据是否可疑。 解： 所以，检验区间为[32.78，63.62]。x1、x2为可疑数据， x3 在区间内，不是可疑数据。

复习思考题

返 回

取不同值时的曲线 返 回

取不同值时的曲线 返 回