应用运筹学 第六章 预测技术与概率统计 浙江大学管理学院 杜红 博士 副教授

第六章 预测技术与概率统计 预测与预测技术 概率与概率分布 统计分析

预测与预测技术 预测 对未来的发展作出科学的估计，对当前决策具有重要作用的、未来不确定的因素提供信息、数据。 预测技术 定性（判断）预测：主观判断和专家意见 个人见解、座谈、市场调查、历史类推、德尔菲法 定量预测：运用数理统计和因果关系 外推法（时间序列分析）、因果法（回归分析）

预测与预测技术 判断预测适用条件 方法 精确性 成本 短期 中期 长期 个人见解 座谈会讨论 市场调查 历史类推 德尔菲法 差 稍差 很好 较好 好 稍好 可以 低 高 中 稍高

预测与预测技术 时间序列 延续性：过去的状况会延续到未来 不规律：不考虑因果关系，着眼于消除不规律因素（偶然性因素）的干扰。把时间序列作为随机变量序列，运用数学平均或加权平均的方法，作出趋势预测。 常数序列、趋势序列、季节性序列、周期序列

预测与预测技术 时间序列分析方法－－移动平均法 假设未来状况只与邻近几期的状况有关 D(t):第t个周期的实际值 F(t+1):第(t+1)个周期的预测值 N:与预测期邻近的有关的周期数 W(t):D(t)对应的权重

预测与预测技术 时间序列分析方法－－指数平滑法 F(t+1)=αD(t)+(1-α)F(t) α为平滑系数，介于0，1之间 上式等价于： F(t+1)=αD(t)+α (1-α)D(t-1) + α (1-α)2D(t-2)+… α值根据实际情况确定，如要加强近期数据作用，则应取较大值。

预测与预测技术 利用EXECL计算趋势预测值 已知某公司前11个月的销售额，它不符合回归预测拟合曲线，使用移动平均和指数平滑方法预测该公司12月份的销售额。 注意：EXECL指数平滑计算中需输入的是阻尼系数而不是平滑系数，阻尼系数＋平滑系数＝1 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 销售额 200 185 195 197 210 203 230 220 270 235

预测与预测技术 预测精度 平均误差(ME) 平均绝对误差(MAD) 均方差(MSE)

预测与预测技术 因果分析预测 自变量：独立变量，不受其它变量影响 因变量：非独立变量，受其它变量影响 自变量与因变量之间存在因果关系 一元线性回归与多元线性回归 因变量按线性关系依存于自变量 一元回归：因变量、自变量均只有一个 多元回归：因变量一个，自变量多个

预测与预测技术 一元线性回归预测模型 Y=a+bX 预测模型 Yi=a+bXi+Ei Ei 为预测误差 求均方差（MSD）最小(最小二乘法)时a,b值?

预测与预测技术 回归精度－－确定性系数R2 “解释的变异”部分 Y 比重越大说明回归 的精度越高。 确定性系数为解 释的变异占总变异 的比值。 Y Y 回归线(Y’) 未解释的变异 总的变异 均值 从中图可以看出： 由此也可以证明： 解释的变异 X

预测与预测技术 确定性系数R2的计算 总平方和 回归平方和 误差平方和 （X,Y 相关系数的平方）

预测与预测技术 一元线性回归模型应用举例 某商业部门要求预测2002年某商品的销售总额。收集了该地1990－2000年该商品销售总额和职工工资总额的数据。预计2002年工资总额比2000年增长20％。 年份 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 销售额 19.5 22.2 24.9 25.2 29.1 34.5 41.1 46.2 53.1 61.5 66.9 工资额 61 75 107 146 174 211 244 298 349 380

预测技术:一元线性回归模型应用举例 建立模型（需作线性检验）: Y=a+bX Y:销售额 X: 工资额 a,b :回归系数 计算结果： a=8.85 , b=0.15 , R2=.99 回归方程： Y=8.85+0.15X 2002年销售预测： 工资总额：380×120％＝456 销售总额：8.85+0.15×456＝77.25

预测与预测技术 模型预测 将观测值分成若干部分，分别预测 季节性和趋势性模型（了解思路，计算不要求） 趋势：两个连续时期的需求变动 季节：有规律的循环变化状态 季节指数：季节性值/非季节性值 模型预测 将观测值分成若干部分，分别预测 基本值 Ut、趋势Tt、季节指数In、干扰值Nt F(t+1)=[Ut+ Tt]× In

预测与预测技术 季节性和趋势性模型预测值的组成 无干扰 需求 季节因素 趋势调整 基本值

概率与概率分布 独立事件概率 互斥事件：a发生b不可能发生 b发生a不可能发生 a或b发生的概率＝a、b各自发生概率和 加法定理： P(a+b)=P(a)+P(b) 独立事件：a发生对b是否发生不产生影响 b发生对a是否发生不产生影响 a和b同时发生的概率＝ a、b各自概率的积 乘法定理：P(a·b)=P(a) ·P(b)

概率与概率分布 非独立事件的条件概率 非独立事件：一个事件的发生受另一事件 是否发生的影响 贝叶斯定理：两个相互依存事件都发生的 概率是第一事件发生的概率 乘以在第一事件发生情况下 第二个事件发生的条件概率 P(a·b)=P(a) ·P(b︱a) = P(b) ·P(a︱b) 条件概率: P(a︱b)= P(a·b)/ P(b)

概率与概率分布 正态分布 正态分布图： 概率与标准差之间关系 -∞ +∞ -3 -2 -1 +1 +2 +3 Y 负偏态 正偏态 Z -∞ +∞ μ -3 -2 -1 +1 +2 +3 68.26% 95.45% 99.73%

概率与概率分布 标准正态分布 令 （将x值转换成标准Z分数） 则： 标准正态分布的均值、方差和分布函数：

概率与概率分布 二项分布 两个对立 事件（成功或失败）的概率分布 n次试验中有r次成功,成功的概率为p,失败为q。 当P≤q，np≥5(或q≤p，nq≥5)时二项分布接 近正态分布。 二项分布的均值与标准差：

概率与概率分布 二项分布应用： 有判断题（对错）10题，回答者答对几题才能认为他是真会（不是出于猜测）？ （置信度95％，正态分布Z=1.645时该点下（单测左边）包含全体的95％。） 对错的概率均为0.5，p=q=0.5,np=5, 此二项分布接近正态分布。 μ＝np=5, = 1.58 X= μ+ 1.645σ= 7.6≈ 8 可以推论：10题中猜对8题以下的可能性为95％。

概率与概率分布 泊松分布 随机事件，成功与失败的概率相差悬殊（只关注一种概率），简化的二项分布（n很大，P很小） 分布函数（n次试验中r次成功的概率） 泊松分布的均值与标准差： 其中： μ 为平均成功的次数，且 μ ＝ np

概率与概率分布 泊松分布的应用 应用最广的分布之一。 很多“排队”问题都可近似地用泊松分布来描绘。如某段时间内交换台接到电话用户的呼叫次数，候车室内旅客的人数，各种事故、自然灾害、不常见病、不幸事件在一定时间内发生的次数等随机现象都接近泊松分布。

统计分析与检验 基本统计量（SPSS统计软件） 平均数（算术、加权、几何平均数） 中 数：序列中间位置的那个数 众 数：出现次数最多的那个数 中 数：序列中间位置的那个数 众 数：出现次数最多的那个数 方 差：每个数据与该组平均数之差平方后 的均值 标准差：方差的平方根 相关系数：两列相关数据的关系密切程度

统计分析与检验 总体与样本 总体 样本 样本均值 分布 正态 正态 正态 (n≥30) 均值 μ= μ 标准差（误）σ= 总体 样本 样本均值 分布 正态 正态 正态 (n≥30) 均值 μ= μ 标准差（误）σ= 总体均值的95％置信区间为： 到

统计分析与检验 假设检验 对从样本数据估计得到的关于总体特征结果的检验。 假设检验的错误： I类错误：拒绝一个实际上是真的假设 II类错误：没有拒绝一个实际上是错的假设 显著性水平 最低可接受概率，样本值概率大于此值不拒绝 .05水平与.01水平