第七章 线性变换 §1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §5 对角矩阵 第七章 线性变换 §1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §5 对角矩阵 §6 线性变换的值域与核 §7 不变子空间

表示符号 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

§1 线性变换的定义 定义 例题 性质

定义 上一章我们看到，数域P上任意一个n维线性空间都与 同构，因之，有限维线性空间的结构可以认为是完全清楚了。线性空间V到自身的映射通常称为V的一个变换。这一章中要讨论的线性变换就是最简单的，同时也可以认为是最基本的一种变换。线性变换是线性代数的一个主要研究对象。 下面如果不特别声明，所考虑的都是某一固定的数域P上的线性空间。

定义1 线性空间V的一个变换A 称为线性变换，如果对于V中任意的元素 和数域P中任意数k,都有 以后我们一般用黑体大写拉丁字母 代表V的变换， 或 代表元素 在变换A下的象。 定义中等式所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量乘法。

例1 平面上的向量构成实数域上的二维线性空间。把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转 角，就是一个线性变换，我们用 表示。如果平面上一个向量 在直角坐标系下的坐标是 , 那么象 的坐标，即旋转 角之后 的坐标 是按照公式 来计算的。同样地，空间中绕轴的旋转也是一个线性变换。

例2 设 是几何空间中一固定的非零向量，把每个向量 变到它在 上的内射影的变换也是一个线性变换，以 表示它。用公式表示就是 这里 表示内积。 例3 线性空间V中的恒等变换或称单位变换E,即 以及零变换0，即 都是线性变换。

例4 设V是数域P上的线性空间，k是P中某个数 称为由数k决定的数乘变换，可用 K 表示。 显然，当k=1时，我们便得恒等变换， 当k=0时，便得零变换。

例5 在线性空间 或者 中，求微商是一个线性变换。这个变换通常用D代表，即 例6 定义在闭区间[a,b]上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以C(a,b)代表。在这个空间中，变换 是一线性变换。

从定义推出线性变换的以下简单性质： 1. 设A是V的线性变换,则 这是因为 2 从定义推出线性变换的以下简单性质： 1.设A是V的线性变换,则 这是因为 2.线性变换保持线性组合与线性关系式不变。换句话说，如果 是 的线性组合： 那么经过线性变换A之后， 是 同样的线性组合：

又如果 之间有一线性关系式 那么它们的象之间也有同样的关系 3.线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。 但应该注意，3的逆是不对的，线性变换可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量组。例如零变换就是这样。 BACK

§2 线性变换的运算 乘法 加 减 数乘 逆变换 变换的多项式

线性变换的运算 在这一节,我们来介绍线性变换的运算及其简单性质。 首先，线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然可以定义乘法。设A，B是线性空间V的两个线性变换，定义它们的乘积AB为 容易证明，线性变换的乘积也是线性变换。事实上，

这说明AB是线性的。 既然一般映射的乘法适合结合律，线性变换的乘法当然也适合结合律，即 但线性变换的乘法一般是不可交换的。例如,在实数域R上的线性空间R[x]中，线性变换

的乘积 ，但一般 。 对于乘法，单位变换E有特殊的地位。对于任意线性变换A 都有

其次，对于线性变换还可以定义加法。 设A，B是线性空间V的两个线性变换， 定义它们的和A+B为 容易证明，线性变换的和还是线性变换。 事实上，

这就说明A+B是线性变换。 不难证明，线性变换的加法适合结合律与交换律，即 证明留给读者完成。

对于加法，零变换0有着特殊的地位。它与所有线性变换A 的和仍等于A， 对于每个线性变换A，我们可以定义它的负变换(-A)： 容易看出，负变换(-A)也是线性的，且 线性变换的乘法对加法有左右分配律，即 事实上，

这就证明了左分配律，右分配律可以类似地证明。 在上一节例4中我们看到，数域P中每个数k都决定一个数乘变换K。利用线性变换的乘法，可以定义数域P中的数与线性变换的数量乘法为 kA=KA. 即 当然K A 还是线性变换。容易看出，线性变换

的数量乘法适合以下的规律： 对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与数量乘法三种运算。由加法与数量乘法的性质可知，线性空间V上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域P上一个线性空间。

V的变换A 称为可逆的，如果有V的变换B存在，使 这时，变换B称为A的逆变换，记为A -1。现在来证明，如果线性变换A 是可逆的，那么它的逆变换A -1也是线性变换。事实上，

这就说明 是线性变换。

最后，我们引进线性变换的多项式的概念。 当n个(n是正整数)线性变换A 相乘时，我们就可以用 n个 来表示，称为A 的n次幂，简单地记作A n。此外，作为定义，令 根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则：

当线性变换A 可逆时，定义A 的负整数幂为 这时，指数法则可以推广到负整数幂的情形。 线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来 设 是P[x]中一多项式，A 是V的一线性变换，我们定义

显然，f(A)是一线性变换，它称为线性变换A 的多项式。 不难验证，如果在P[x]中 那么 特别地， 即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的。 例1 在三维几何空间中，对于某一向量 的内

射影 是一个线性变换(参看图1)。 可以用下面的公式来表示(§1,例2)： 其中 表示向量的内积。 图1 图2

从图2不难看到， 在以 的法向量的平面x上的内射影 可以用公式 表示。因此 这里E是恒等变换。 对于平面x的反射 也是一个线性变换，它的象(图2)由公式 给出，因此 设 是空间的两个向量。显然， 与 互相

垂直的充分必要条件为 例2 在线性空间 中，求微商是一个线性变换，用D表示(§1例5)。显然有 其次，变数的平移 也是一个线性变换，用 表示。根据泰勒展开式

因之 实质上是D的多项式： BACK

§3 线性变换的矩阵 线性变换的矩阵 线性变换的运算与矩阵运算的对应 矩阵相似

线性变换的矩阵 设V是数域P上n维线性空间， 是V的一组基。 空间V中任一向量 可以被基 线性表出，即 其中系数是唯一确定的，它们就是 在这组基下的坐标。

由于线性变换保持线性关系不变， 因而在 的象 与基的象 之间有关系：

1.设 是线性空间V的一组基， 如果线性变换A与B在这组基上的作用相同，即 那么A=B。 证明 A 与B相等的意义是它们对每个向量 的作用相同。因此，我们就是要证明 对任一向量 ，等式 成立。 而由(2)及假设，即得

结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定。 2.设 是线性空间V的一组基。对于任意一组向量 一定有一个线性变换A使 证明 我们来作出所要的线性变换。设

是线性空间V的任意一个向量，我们定义V的变换A 为 于是

按所定义的A 的表达式(4)，有 因此, A 是线性变换, 再来证A 满足(3)式。因为 所以

综合以上两点，得 定理1 设 是线性空间V的一组基， 是V中任意n个向量。存在唯一的线性变换A使

有了以上讨论，我们就可以来建立线性变换与矩阵的联系。 定义2 设 是数域P上n维线性空间V的一组基，A 是V中的一个线性变换。基向量的象可以被基线性表出：

用矩阵来表示就是 其中 矩阵A称为A 在基 下的矩阵。

例 设 是n(n>m)维线性空间V的子空间W的一组基,把它扩充为V的一组基。 指定线性变换A 如下： 如此确定的线性变换A 称为对子空间W的一个投影。不难证明 投影A在基 下的矩阵是

m行 m列

定理2 设 是数域P上n维线性空间V的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式(5)对应一个n×n矩阵。这个对应具有以下的性质： 1)线性变换的和对应于矩阵的和； 2)线性变换的乘积对应与矩阵的乘积； 3) 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积； 4)可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。

证明 设 是两个线性变换，它们在基 下的矩阵分别是 ,即

1) 由 可知，在基 下，线性变换 的矩阵是

相仿地， 因此，在基 下， 线性变换 的矩阵是AB。

3) 因为 所以数乘变换K 在任何一组基下都对应与数量矩阵kE。由此可知，数量乘积 kA 对应与矩阵的数量乘积kA.

4) 单位变换 对应于单位矩阵，因之等式 与等式 相对应，从而可逆线性变换与可逆矩阵对应， 而且逆变换与逆矩阵对应。

利用线性变换的矩阵可以直接计算一个向量的象。 定理3 设线性变换 在基 下的矩阵是 A，向量 在基 下的坐标 则 在基 下的坐标 可以按公式 计算。

证明 由假设 于是

另一方面，由假设 由于 线性无关，所以

定理4 设线性空间V中线性变换 在两组基 下的矩阵分别为A和B， 从基(6)到(7)的过渡矩阵是X, 于是 。

证明 已知 于是

由此即得 定理4告诉我们，同一个线性变换 A 在不同基下的矩阵之间的关系。这个基本关系在以后的讨论中是重要的。现在，我们对于矩阵引进相应的定义。 定义3 设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可 以找到数域P上的n级可逆矩阵X， 使得 B=X-1 AX ，就说A相似于B，记作A～B。

相似矩阵之间的三个性质： 1.反身性：A～A 这是因为A=E-1AE。 2.对称性：如果A～B，那么B～A。 如果A～B，那么有X使B=X-1AX 。令Y=X-1，就有A=X BX-1=Y-1BY，所以B～ A。 3.传递性：如果A～B， B～C，那么A～C。 已知有X,Y使B=X-1AX， C=Y-1BY。令Z=XY,就有C= Y-1 X-1AXY=Z-1AZ，因之A～C。

定理5 线性变换在不同基下所对应的矩阵 是相似的；反过来，如果两个矩阵相似， 那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下 所对应的矩阵。 证明 前一部分已经为定理4证明。现在证明 后一部分。设n级矩阵A和B相似。 A可以看做是n维线性空间V中一个线性变换A 在基 下的矩阵。

因为B=X-1AX ，令 显然， 也是一组基，A 在这组基下的矩阵就是B。 矩阵的相似对于运算有下面的性质。 如果 那么 由此可知，如果B=X-1AX ，且f(x)是数域P上一多项式，那么 f(B)=X-1f(A)X.

利用矩阵相似的这个性质可以简化矩阵的运算 例 设V是数域P上一个二维线性空间， 是一组基，线性变换 A 在 下的矩阵是 现在来计算 A 在V的另一组基 下的矩阵,这里 由定理4，A 在 下的矩阵为

显然 再利用上面得到的关系

我们可以得到 BACK

§4 特征值与特征向量 我们知道，在有限维线性空间中，取了一组基之后，线性变换就可以用矩阵来表示。为了利用矩阵来研究线性变换。对于每个给定的线性变换，我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式—对角矩阵。为了这个目的，先介绍特征值和特征向量的概念，它们对于线性变换的研究具有基本的重要性。

定义4 设A 是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果对于数域P中一数 ，存在一个非零向量 ，使得 那么 称为A 的一个特征值。而 称为 A 的属于特征值 的一个特征向量。

从几何上来看，特征向量的方向 经过线性变换后，保持在同一条直线上， 这时或者方向不变( ), 或者方向相反( )， 至于 时，特征向量就被线性变换变成0。 如果 是线性变换 A 的属于特征值 的特征 向量，那么 的任何一个非零倍数 也是A 的 属于 的特征向量。因为从(1)式可以推出

这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的。相反，特征值却是被特征向量所唯一决定的，因为，一个特征向量只能属于一个特征值。 现在来给出求特征值和特征向量的方法。 设V是数域P上n维线性空间， 是它的一组基，线性变换 A 在这组基下的矩阵是A，设 是特征值，它的一个特征向量 在 下的坐标是 ，则 的坐标是

的坐标是 因此(1)式相当与坐标之间的等式

或

这说明特征向量 的坐标 满足齐次方程组

即 由于 ，所以它的坐标 不全为零，即齐次方程组有非零解。我们知道，齐次线性方

程组(3)有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零，即

我们引入以下的定义。 定义5 设A是数域P上一n级矩阵， 是一个文字，矩阵 的行列式 称为A的特征多项式， 这是数域P上的一个n次多项式。

上面的分析表明，如果 是线性变换 A 的特征值，那么 一定是矩阵A的特征多项式的一个根；反过来，如果 是矩阵A的特征多项式在数域P中的一个根，即 ，那么齐次线性方程组(3)就有非零解。这时，如果 是方程组(3)的一个非零解，那么非零向量 满足(1),即 是线性变换 A 的一个特征值， 就是属于特征值 的一个特征向量。

因此，确定一个线性变换A 的特征值与特征向量的方法可以分成以下几步： 1. 在线性空间V中取一组基 ，写出A 在这组基下的矩阵A； 2 因此，确定一个线性变换A 的特征值与特征向量的方法可以分成以下几步： 1.在线性空间V中取一组基 ，写出A 在这组基下的矩阵A； 2.求出A的特征多项式 在数域P中全部的根，它们也就是线性变换A 的全部特征值； 3.把所求得的特征值逐个地代入方程组(3)，对于每一个特征值，解方程组(3)，求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关

的特征向量在基 下的坐标。这样，我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量。 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值，而相应的线性方程组(3)的解也就称为A的属于这个特征值的特征向量。

例1 在n维线性空间中， 数乘变换K在任意一组基下的矩阵都是kE， 它的特征多项式是 因此，K 的特征值只有k。 由定义可知，每个非零向量都是属于K 的 特征向量。

例2 设线性变换 A 在基 下的矩阵是 求A 的特征值与特征向量。 因为特征多项式为 所以特征值是-1( 二重)和5。

把特征值-1代入齐次方程组

得到 它的基础解系是

因此，属于-1的两个线性无关的特征向量就是 而属于-1的全部特征向量就是 取遍数域P中不全为零的全部数对，

再用特征值5代入，得到 它的基础解系是

因此，属于5的一个线性无关的特征向量就是 而属于5的全部特征向量就是 ， k是数域P中任意不等于零的数。

例3 在空间P[X]n中，线性变换 在基 下的矩阵是

D的特征多项式是 因此，D 的特征值只有0。通过解相应的齐次线性方程组知道，属于特征值0的线性无关的特征向量组只能是任一非零常数。这表明微商为零的多项式只能是零或非零的常数。

例4 平面上全体向量构成实数域上一个二维 线性空间，§1例1中旋转 在直角坐标系下的矩阵为 它的特征多项式为 当 时，这个多项式没有实根。因之，当 时， 没有特征值。从几何上看，这个结论是明显的。

对于线性变换 A 的任一个特征值 ，全部适合条件 的向量 所成的集合，也就是A 的属于 的全部特征向量再添上零向量所成的集合，是V的一个子空间,称为 A 的一个特征子空间,记为 。显然 的维数就是属于 的线性无关的特征向量的最大个数。用集合记号可写为

矩阵的特征多项式的系数，在 的展开式中， 有一项是主对角线上元素的连乘积

特征多项式中含 的n次与n-1次的项 只能在主对角线上元素的连乘积中出现， 它们是 在特征多项式中令 ,即得常数项

因此，如果只写出特征多项式的前两项与常数项，就有 由根与系数的关系可知， A的全体特征值的和为 (称为A的迹)。而A的全体特征值的积为|A|.

随着基的不同，线性变换的矩阵一般是不同的。但是这些矩阵是相似的，对于相似矩阵我们有 定理6 相似的矩阵有相同的特征多项式

证明 设A～B，即有可逆矩阵X，使B=X-1AX。 于是 定理6正好说明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选择无关，它是直接被线性变换决定的。因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了。 相似矩阵有相同的行列式。因此，以后就可以说线性变换的行列式了。

应该指出，定理6的逆是不对的，特征多项式相同的矩阵不一定是相似的。例如 它们的特征多项式都是 ，但A和B不相似，因为和A相似的矩阵只能是A本身。 最后，我们指出特征多项式的一个重要性质。

哈密尔顿-凯莱(Hamilton-Caylay)定理 设A是数域P上一个n×n矩阵，

证明 设 是 的伴随矩阵，由行列式的性质，有 因为矩阵 的元素是 的各个代数余子式，都是 的多项式，其次数不超过n-1。因此由矩阵的运算性质， 可以写成 其中 都是n×n数字矩阵。

再设 则 而

比较(6)和(7)，得 以 依次从右边乘(8) 的第一式，第二式， ，第n式，第n+1式，得

把(9)的n+1 个式子一起加起来，左边变成零，右边即为f(A). 故 f(A)=0

推论 设A 是有限维空间V的线性变换， 是 A 的特征多项式，那么 BACK

§5 对角矩阵 对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种。现在我们来考察，究竟哪一些线性变换的矩阵在一组适当的基下可以是对角矩阵。 §5 对角矩阵 对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种。现在我们来考察，究竟哪一些线性变换的矩阵在一组适当的基下可以是对角矩阵。 定理7 设 A是n维线性空间V的一个线性变换， A 的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是，A 有n个线性无关的特征向量。 证明 设A 在基 下具有对角矩阵

这就是说， 因此， 就是 A 的n个线性无关的特征向量。 反过来，如果A 有n个线性无关的特征向量 那么就取 为基，显然，在这组基下A 的矩阵是对角矩阵。

定理8 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。 证明 对特征值的个数作数学归纳法。由于特征向量是不为零的。所以单个的特征向量必然线性无关。现在设属于k个不同特征值的特征向量线性无关，我们证明属于k+1个不同特征值 的特征向量 也线性无关。 假设有关系式 成立。等式两端乘以 ，得

(1)式两端同时施行变换A，即有 (3)减去(2)得到

根据归纳法假设， 线性无关，于是 但 所以 这时(1)式 变成 。又因为 ，所以只有 这就证明了 线性无关。 根据归纳法原理，定理得证。

从上面这两个定理就得到 推论1 如果在n维线性空间V中， 线性变换A 的特征多项式在数域P中 有n个不同的根，即A 有n个不同的特征值， 那么A 在某组基下的矩阵是对角形的。

因为在复数域上的线性空间中， 如果线性变换A 的特征多项式没有重根， 那么A 在某组基下的矩阵是对角形的。 在一个线性变换没有n个不同的特征值 的情形，要判别这个线性变换的矩阵能不能 成为对角形，问题就要复杂些，为了利用定理 7，我们把定理8推广为

定理9 如果 是线性变换A 的不同的特 征值，而 是属于特征值 的线性无关的 特征向量， ，那么向量组 也线性无关。

根据这个定理，对于一个线性变换， 求出属于每个特征值的线性无关的特征向量， 把它们合在一起还是线性无关的。 如果它们的个数等于空间的维数， 那么这个线性变换在一组合适的基下的 矩阵是对角矩阵； 如果它们的个数少于空间的维数， 那么这个线性变换在任何一组基下的矩阵 都不能是对角形的。

换句话说， 设A 全部不同的特征值是 ，于是A在某一组基下的矩阵成对角形的充分必要条件是A的特征子空间 的维数之和等于空间的维数。 应该看到，当线性变换A 在一组基下的矩阵A是对角形时：

A的特征多项式就是 因此，如果线性变换A 在一组基下的矩阵是对角形，那么主对角线上的元素除排列次序外是确定的，它们正是A 的特征多项式全部的根(重根按重数计算)。 根据§3定理5，一个线性变换的矩阵 能不能在某一组基下是对角形的问题 就相当于一个矩阵是不是相似于一个 对角矩阵的问题。

例 在§4的例2中，已经算出线性变换A 的特征值是-1(二重)与5，而对应的特征向量是

而由 到 的过渡矩阵是 于是， BACK

§6 线性变换的值域与核 定义6 设A是线性空间V的一个线性变换，A的全体象组成的集合称为A 的值域，用AV表示。所有被A变成零向量的向量组成的集合称为A的核，用 表示。 若用集合的记号，则 不难证明，线性变换的值域与核都是V的子空间。

事实上， AV是非空的，因此AV是V的子空间。

由 与 可知 这就是说， 对加法与数量乘法是封闭的。 又因为 所以 ，即 是非空的。 因此， 是V的子空间。

例 在线性空间 中，令 则D的值域就是 ，D的核就是子空间P。 AV的维数称为A 的秩， 的维数称为A 的零度。

定理10 设A是线性空间V的线性变换， 是V的一组基，在这组基下A 的矩阵是A，则 1)A 的值域AV是由基象组生成的子空间，即 2)A 的秩=A的秩。

证明 1) 设 是V中任一向量，可用基的线性组合表示为 又 这个式子说明， .因此AV包含在 内. 这个式子还表明 所以

2) 根据1)，A 的秩等于基象组的秩。 另一方面， 所以， A 的秩=A的秩

定理11 设A 是n维线性空间V的线性变换，则 A 的秩+A 的零度=n. 证明（略） 设A 的零度等于r。在核 中取一组基 ，并且把它扩充成V的一组基 根据定理10，AV是由基象组 生成的。

但是 ，所以AV是由 生成的。现在来证明它就是AV的一组基。为此，只需证明它们线性无关。设 成立，则 这说明向量 属于 。因此可被核的基所线性表示：

从 线性无关性推出 。因此 线性无关，A 的秩=n-r，于是A的秩+A的零度=n. 应该指出，虽然子空间AV与 的维数之和为n，但是 并不一定是整个空间。

推论 对于有限维线性空间的线性变换， 它是1-1的充分必要条件为它是映上的。 证明 若A 是1-1的,则 ， 所以AV=V, A 是映上的; 反之，若A 是映上的，则A V=V, 所以 ， A 是1-1的。

例 设A是一个 矩阵， 。证明A相似与一对角矩阵

证明 取一n维线性空间V以及V的一组基 。定义线性变换A 如下： 我们来证明，A 在一组适当的基下的矩阵是(1)。这样，由定理4，也就证明了所要的结论。 由 ，可知 。如果 ，即有某个 ， 那么 因此我们有

由定理11即得 在AV中取一组基 ，在 中取一组基 , 则 就是V的一组基。显然 也就是说，

BACK

§7 不变子空间 这一节我们再来介绍一个关于线性变换的重要概念——不变子空间。同时利用不变子空间的概念，来说明线性变换的矩阵的化简与线性变换的内在联系。 定义7 设A 是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的子空间。如果对于W中任一向量 有 ，我们就称W是A 的不变子空间，简称A-子空间。

例1 整个空间V和零子空间0，对于每个线性变换A来说都是A-子空间。 例2 A的值域与核都是A-子空间。 例3 若线性变换A与B是可交换的，则B的核与值域都是A-子空间。 在B 的核 中任取一向量 ，则 即 这就证明了 是A-子空间。

在B的值域BV中任取一 向量 ， 则 因此BV也是A-子空间。 例4 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间。 这是由于，按定义子空间对于数量乘法是封闭的。

特征向量与一维不变子空间之间有着紧密的关系。A 的属于特征值 的特征子空间 也是A的不变子空间。

设A 是线性空间V的线性变换，W是A 的不变子空间。由于W中向量在A 下的象仍在W中，把A 看成是W的一个线性变换，称为A 在不变子空间W上引起的变换。为了区别起见，我们用符号A |W来表示它；但是在很多情况下，仍然可用A 来表示而不致引起混淆。

不难看出，如果线性空间V的子空间W是由向量组 生成的，即 ，则W是A-子空间的充分必要条件为 全属于W。 必要性是显然的。现在来证充分性。如果 全属于W，由于W中每个向量 都可以被 线性表示,即有

所以 下面讨论不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系。 1) 设A是n维线性空间V的线性变换，W是V的A-子空间。在W中取一组基 ，并且把它扩充成V的一组基 那么，A在这组基下的矩阵就具有下列形状

并且左上角的K级矩阵 就是A|W在W的基 的矩阵。 这是因为W是A-子空间,所以象 仍在W中，它们可以通过W的基 线性表示

从而A在基(1)下的矩阵具有形状(2)，A|W在W的基 下的矩阵是 。

反之，如果A 在基(1)下的矩阵是(2)， 那么不难证明， 由 生成的子空间W是A 的不变子空间。 设V分解成若干个A-子空间的直和： 在每一个A-子空间 中取基

并把它们合并起来成为V的一组基。则在这组基下，A 的矩阵具有准对角形状 其中 就是 在基(3)下的矩阵。

反之，如果线性变换A 在基(3)下的矩阵是 准对角形(4)， 则由 (3)生成的子空间 是A-子空间。 由此可知，矩阵分解为准对角形与空间分解 为不变子空间的直和是相当的。

下面我们应用哈密尔频-凯莱定理将空间V按特征值分解成不变子空间的直和。 定理12 设线性变换A 的特征多项式为 ，它可分解成一次因式的乘积 则V可分解成不变子空间的直和 其中

证明 ：令 则 是 的值域。由本节的例3知道 是A 的 不变子空间。显然 满足 下面来证明

为此要证明两点，第一，要证V中每个向量 都可表成 其次，向量的这种表示法是唯一的。

显然 ，因此有多项式 使 于是 这样对V中每个向量 都有 其中 这就证明了第一点。

为证明第二点，设有 其中 满足 现在证明任一个

因 ,所以 用 作用于(5)的两边，即得 又 所以有多项式　　　　使 于是 　现在设

其中 当然 满足 所以 由此可得到第一点中的表示法是唯一的。

再设有一向量 的核。把 表示成 即 令 ，则 是满足(5)和(6)的向量。 所以 ， 于是 ，这就证明了 是 的核，即 返回