1 本章内容 4.1 波动方程 4.2 电磁场的位函数 4.3 电磁能量守恒定理 4.4 惟一性定理 4.5 时谐电磁场

1、掌握电磁场的波动方程，理解动态矢量位和标量位的概念及其满足到的微分方程； 学习要求 1、掌握电磁场的波动方程，理解动态矢量位和标量位的概念及其满足到的微分方程； 2、理解坡印廷定理的物理意义，理解坡印廷矢量的物理意义并能应用它分析计算电磁能量的传输； 3、理解唯一性定理及其重要意义； 4、掌握正弦电磁场的复数表示方法及其意义，掌握复数形式的麦克斯韦方程和波动方程，掌握有耗媒质特性参数的描述，掌握平均坡印廷矢量；

4.1 波动方程 问题的提出 麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系 3 4.1 波动方程 问题的提出 麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系 波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性 麦克斯韦方程组 波动方程 无源区的波动方程 在无源空间中，设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有 电磁波动方程

4 推证 同理可得 问题 若为有源空间，结果如何？ 若为导电媒质，结果如何？

5 4.2 电磁场的位函数 讨论内容 位函数的定义 位函数的性质 位函数的规范条件 位函数的微分方程

引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。 6 引入位函数的意义 引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。 位函数的定义

满足下列变换关系的两组位函数 和 能描述同一个电磁场问题。 7 位函数的不确定性 满足下列变换关系的两组位函数 和 能描述同一个电磁场问题。 为任意可微标量函数 即 也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。不同位函数之间的上述变换称为规范变换 原因：未规定 的散度

除了利用洛伦兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即 8 位函数的规范条件 造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 的散度。利用位函数的不确定性，可通过规定 的散度（规范 和 的条件）使位函数满足的方程得以进一步简化。 在电磁理论中，通常采用洛伦兹条件，即 除了利用洛伦兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即

9 位函数的微分方程

10 同样

应用洛仑兹条件的特点：① 位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解；② 解的物理意义非常清楚，明确地 11 说明 应用洛仑兹条件的特点：① 位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解；② 解的物理意义非常清楚，明确地 反映出电磁场具有有限的传递速度；③ 矢量位只决定于J，标 量位只决定于ρ，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需 解出 就可得到待求的电场和磁场。 电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应 用不同的规范条件，矢量位A和标量位 的解也不相同，但最终 得到的电磁场矢量是相同的。 问题 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程? 具有什么特点?

12 4.3 电磁能量守恒定律 讨论内容 电磁能量及守恒关系 坡印廷定理 坡印廷矢量

特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随 时间改变，从而引起电磁能量流动 13 电磁能量及守恒关系 电场能量密度： 磁场能量密度： 电磁能量密度： 空间区域V中的电磁能量： 特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随 时间改变，从而引起电磁能量流动 电磁能量守恒关系： 进入体积V的能量＝体积V内增加的能量＋体积V内损耗的能量

—— 单位时间内电场对体积V中的电流所作的功； 在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率 14 坡印廷定理 表征电磁能量守恒关系的定理 微分形式： 积分形式： —— 单位时间内体积V 中所增加 的电磁能量 其中： —— 单位时间内电场对体积V中的电流所作的功； 在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率 —— 通过曲面S 进入体积V 的电磁能量

在线性和各向同性的媒质，当参数都不随时间变化时，则有 15 推证 由 将以上两式相减，得到 在线性和各向同性的媒质，当参数都不随时间变化时，则有

在任意闭曲面S 所包围的体积V上，对上式两端积分，并应用散度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式 16 再利用矢量恒等式： 即可得到坡印廷定理的微分形式 在任意闭曲面S 所包围的体积V上，对上式两端积分，并应用散度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式 物理意义：单位时间内，通过曲面S 进入体积V的电磁能量等于 体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。

描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量 17 坡印廷矢量（电磁能流密度矢量） 描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量 定义： ( W/m2 ) 物理意义： 的方向 —— 电磁能量传输的方向 的大小 —— 单位时间内穿过垂直于能量传输方 向的单位面积的电磁能量

18 例4.3.1 同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径为b，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U ，导体中流过的电流为I 。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（2）当导体的电导率σ为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。 同轴线

电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源向负载，如图所示。 19 电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源向负载，如图所示。 同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （理想导体情况） 穿过任意横截面的功率为

20 解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内外导体之间的电场和磁场分别为 内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量

（2）当导体的电导率σ为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场 21 （2）当导体的电导率σ为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场 内 根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即 因此，在内导体表面外侧的电场为 内 同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况） 磁场则仍为 内导体表面外侧的坡印廷矢量为

由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如图所示。 22 由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如图所示。 进入每单位长度内导体的功率为 式中 是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。 以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。

23 4. 4 惟一性定理 惟一性问题 在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。 惟一性定理的表述 在以闭曲面S为边界的有界区域内V， 如果给定t＝0时刻的电场强度和磁场强度 的初始值，并且在 t  0 时，给定边界面S 上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在 t > 0 时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。

则在区域V 内 和 的初始值为零；在边界面S 上电场强度 的切向分量为零或磁场强度 的切向分量为零，且 和 满足麦克斯韦方程 24 惟一性定理的证明 利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域内的解不是惟一的，那么至少存在两组解 、 和 、 满足同样的麦克斯韦方程，且具有相同的初始条件和边界条件。令 则在区域V 内 和 的初始值为零；在边界面S 上电场强度 的切向分量为零或磁场强度 的切向分量为零，且 和 满足麦克斯韦方程

由于的初始值为零，将上式两边对 t 积分，可得 25 根据坡印廷定理，应有 根据 和 的边界条件，上式左端的被积函数为 所以，得 由于的初始值为零，将上式两边对 t 积分，可得

上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有 26 上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有 即 （证毕） 惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场 问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的 应用。

27 4. 5 时谐电磁场 时谐电磁场的复数表示 复矢量的麦克斯韦方程 复电容率和复磁导率 亥姆霍兹方程 时谐场的位函数 平均能流密度矢量

28 时谐电磁场的概念 如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。在时谐电磁场中，电场和磁场的每一个坐标分量，都随时间以相同的频率作正弦变化。 初相位 角频率 例如： 振幅 相位

在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、电视和通信 的载波等都是时谐电磁场。 29 研究时谐电磁场具有重要意义 在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、电视和通信 的载波等都是时谐电磁场。 任意的时变场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不 同频率的时谐场的叠加。

 4.5.1 时谐电磁场的复数表示 时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问题得分析得以简化。 30 4.5.1 时谐电磁场的复数表示 时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问题得分析得以简化。 　 设　　　 是一个以角频率 随时间t 作正弦变化的场量，它可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，它与时间的关系可以表示成 实数表示法或 瞬时值表示法 式中的 为振幅、 为与坐标有关的相位因子。  利用三角公式 复数表示法 其中 复振幅 空间相位因子 时间因子

照此法，矢量场的各分量Ei（i 表示x、y 或 z）可表示成 31 照此法，矢量场的各分量Ei（i 表示x、y 或 z）可表示成 各分量合成以后，电场强度为 复矢量 有关复数表示的进一步说明 复数形式只是数学表示方式，不代表真实的场，它只与空间有关，而与时间无关 真实场是复数式的实部，即瞬时值表达式 在复数形式常省去时间因子 ，所以将复数形式写成瞬时值形式时应乘上 后在取实部

可见，时谐量对时间的一阶导数，等价于时谐量的复数形式乘以 。即： 32 另外 而 可见，时谐量对时间的一阶导数，等价于时谐量的复数形式乘以 。即：

33 例4.5.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式 （1） （2） 解：（1）由于 所以

34 （2）因为 所以 故

其中kz和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量 35 例4.5.2 已知电场强度复矢量 其中kz和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量 解

以电场旋度方程 为例，代入相应场量的矢量，可得 36 4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程 以电场旋度方程 为例，代入相应场量的矢量，可得 将 交换次序，得 上式对任意 t 均成立。令 t＝0 ，得 令ωt＝π/2 ，得 即

～ 从形式上讲，只要把微分算子 用 代替，就可以把时谐电磁场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量的麦克斯韦方程 37 从形式上讲，只要把微分算子 用 代替，就可以把时谐电磁场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量的麦克斯韦方程 ～ 略去“.”和下标m 注意：复矢量的麦克斯韦方程只适用于

试求：（1）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。 38 例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为 式中 试求：（1）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。 解：（1）因为 故电场的复矢量为

（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量 39 （2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量 磁场强度瞬时值

在时谐时情况下，将 、 ，即可得到复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。 40 4.5.4 亥姆霍兹方程 在时谐时情况下，将 、 ，即可得到复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。 瞬时矢量 复矢量 理想介质 导电媒质

在时谐情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以表示成复数形式。 41 4.5.5 时谐场的位函数 在时谐情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以表示成复数形式。 瞬时矢量 复矢量 洛仑兹条件 达朗贝尔方程

电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方 关系，这种关系式称为二次式。 42 4.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量 电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方 关系，这种关系式称为二次式。 时谐场中二次式的表示方法 　 二次式本身不能用复数形式表示，其中的场量必须是实数形式，不能将复数形式的场量直接代入。 　 设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为

43 则能流密度为 如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有 先取实部，再代入

使用二次式时需要注意的问题 二次式只有实数的形式，没有复数形式 场量是实数式时，直接代入二次式即可 44 使用二次式时需要注意的问题 二次式只有实数的形式，没有复数形式 场量是实数式时，直接代入二次式即可 场量是复数式时，应先取实部再代入，即“先取实后相乘” 如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子

在时谐电磁场中，常常要关心二次式在一个时间周期 T 中的 平均值，即 45 二次式的时间平均值 在时谐电磁场中，常常要关心二次式在一个时间周期 T 中的 平均值，即 平均电场能量密度 平均磁场能量密度 平均能流密度矢量 在时谐电磁场中，二次式的时间平均值可以直接由复矢量计 算，有 取共轭复数

具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其它 时变电磁场；而 只适用于时谐电磁场。 46 关于 和 的几点说明 具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其它 时变电磁场；而 只适用于时谐电磁场。 在 中， 和 都是实数形式且是 时间的函数，所以 也是时间的函数，反映的是能流密度 在某一个瞬时的取值；而 中的 和 都是复矢量，与时间无关，所以 也与时间无 关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。 利用 ，可由 计算 ，但不能直 接由 计算 ，也就是说

47 例4.5.4　已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量为　　　　　　 ，其中k 和 E0 为常数。求：（1）磁场强度复矢量H ；（2）瞬时坡印廷矢量S ；（3）平均坡印廷矢量Sav 。 解：（1）由　　　　　　　　得 （2）电场和磁场的瞬时值为

48 瞬时坡印廷矢量为 （3）平均坡印廷矢量为

例4.5.5 已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为 49 例4.5.5 已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为 其中E0、H0 和 k 为常数。求：(1) w 和 wav ；(2) S 和 Sav。 解:(1) 由于 所以 (2)

例4.5.6 已知截面为 的矩形金属波导中电磁场的复矢量为 50 例4.5.6 已知截面为 的矩形金属波导中电磁场的复矢量为 式中H0 、ω、β、μ都是常数。试求：（1）瞬时坡印廷矢量； （2）平均坡印廷矢量。 解：（1） 和 的瞬时值为

51 所以瞬时坡印廷矢量 （2）平均坡印廷矢量