第3章 线性电阻电路的分析方法和电路定理  问题的提出 3. 1 支路电流法 3. 2 节点电压法 3. 3 回路电流法 第3章 线性电阻电路的分析方法和电路定理  问题的提出 3. 1 支路电流法 3. 2 节点电压法 3. 3 回路电流法 清华大学电路原理教学组

3. 4 叠加定理 3. 5 替代定理 3. 6 戴维南定理和诺顿定理 3. 7 特勒根定理 3. 8 互易定理 3. 9 对偶原理 3. 4 叠加定理 3. 5 替代定理 3. 6 戴维南定理和诺顿定理 3. 7 特勒根定理 3. 8 互易定理 3. 9 对偶原理 清华大学电路原理教学组 清华大学电路原理教学组

 问题的提出 2 求图示电路中支路电流i1～i6（各支路电压与电流采用关联参考方向）。 R2 R4 i2 i3 i4 1 R3 3  问题的提出 R1 R2 R3 R4 R5 R6 + – i2 i3 i4 i1 i5 i6 uS 1 2 3 4 求图示电路中支路电流i1～i6（各支路电压与电流采用关联参考方向）。 可用2b法求解电路。 问题： 方程数多（12个方程） 复杂电路难以手工计算 计算机的存储能力与计算能力要求高 有必要寻找减少列写方程数量的方法 。 清华大学电路原理教学组 清华大学电路原理教学组

目的：找出求解线性电路的分析方法 。 对象：含独立源、受控源的电阻网络。 应用：主要用于复杂的线性电路的求解。 电路的连接关系——KCL，KVL定律 基础 元件特性——约束关系 清华大学电路原理教学组 返回目录 清华大学电路原理教学组

3.1 支路电流法（Branch Current Method） 支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程 分析电路的方法。 举例说明 支路数 b=6 节点数 n=4 R1 R2 R3 R4 R5 R6 + – i2 i3 i4 i1 i5 i6 uS 1 2 3 4 （1） 取支路电流 i1～ i6为独立变 量，并在图中标定各支路电流参考方向；支路电压u1～ u6的参考方向 与电流的方向一致（图中未标出）。 清华大学电路原理教学组

2 （2） 根据KCL列各节点电流方程 R2 R4 i2 节点 1 i1 + i2 – i6 =0 i3 i4 1 R3 3 出为正 uS 1 2 3 4 （2） 根据KCL列各节点电流方程 节点 1 i1 + i2 – i6 =0 出为正 进为负 节点 2 – i2 + i3 + i4 =0 节点 3 – i4 – i5 + i6 =0 节点4 – i1 – i3 + i5 =0 可以证明：对有n个节点 的电路，独立的KCL方程只 有n-1个 。 节点 1 i1 + i2 – i6 =0 (1) 节点 2 – i2 + i3 + i4 =0 节点 3 – i4 – i5 + i6 =0 节点4设为参考节点 清华大学电路原理教学组

（3） 选定b-n+1个独立回路， 根据KVL列写回路电压方程。 R1 R2 R3 R4 R5 R6 + – i2 i3 i4 i1 i5 i6 uS 1 2 3 4 （3） 选定b-n+1个独立回路， 根据KVL列写回路电压方程。 2 回路1 –u1 + u2 + u3 = 0 1 （2） 回路2 –u3 + u4 – u5 = 0 回路3 u1 + u5 + u6 = 0 3 u1 =R1i1， u4 =R4i4， u2 =R2i2， u5 =R5i5， u3 =R3i3，u6 = –uS+R6i6 用支路电流表出支路电压 –R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0 –R3 i3 + R4 i4 – R5 i5 = 0 R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 –uS = 0 （3） 将各支路电压、电流关系代入 方程（2） 清华大学电路原理教学组

联立求解，求出各支路电流， 进一步求出各支路电压。 图示电路用支路电流法求解所列写的方程： R1 R2 R3 R4 R5 R6 + – i2 i3 i4 i1 i5 i6 uS 1 2 3 4 i1 + i2 – i6 =0 – i2 + i3 + i4 =0 – i4 – i5 + i6 =0 –R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0 –R3 i3 + R4 i4 – R5 i5 = 0 R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 –uS = 0 KCL KVL 联立求解，求出各支路电流， 进一步求出各支路电压。 清华大学电路原理教学组

独立节点：与独立方程对应的节点，有n-1个。 好找！ 规 律 KCL: （n – 1）个独立方程。 KVL: （b - n ＋ 1）个独立方程。 独立节点：与独立方程对应的节点，有n-1个。 好找！ 独立回路：与独立方程对应的回路。 如何找？ 平面电路：可以画在平面上 , 不出现支路交叉的电路。 清华大学电路原理教学组

• 平面电路可选网孔作为独立回路。 • 一般情况（适合平面和非平面电路）。 如何选择独立回路 非平面电路：在平面上无论将电路怎样画，总有支路相互交叉。 如何选择独立回路 • 平面电路可选网孔作为独立回路。 • 一般情况（适合平面和非平面电路）。 每增选一个回路使这个回路至少具有一条新支路。 清华大学电路原理教学组

（2） 选定(n–1)个独立节点，列写KCL方程； 支路法的一般步骤: （1） 标定各支路电流（电压）的参考方向； （2） 选定(n–1)个独立节点，列写KCL方程； （3） 选定b–(n–1)个独立回路，列写KVL方程； （4） 求解上述方程，得到b个支路电流。 清华大学电路原理教学组

支路电流法需要（b-n+1）个KVL方程，（n-1）个KCL方程。 如何减少方程的数量？ 选择参考节点，设所有其它节点的电压为未知变量。 如果能确定(n–1)个独立节点的电压，就可以确定电路中所有支路的电压、电流。 以(n–1)个独立节点的电压为变量列写方程 方程个数？ n–1 方程形式？ KCL 为什么不用列写KVL方程？ 清华大学电路原理教学组 清华大学电路原理教学组

任意选择参考点，节点电压就是节点与参考点的电压（降），也即是节点电位，方向为（独立）节点指向参考节点。 由于电位的单值性，节点电压自动满足KVL方程。 UA UA-UB UB A B o (UA-UB)+UB-UA=0 以节点电压为变量的 KVL自动满足 只需列写以节点电压为变量的KCL方程。 清华大学电路原理教学组 返回目录 清华大学电路原理教学组

3.2 节点电压法（Node Voltage Method） 节点电压法：以节点电压为未知变量列写电路方程分析 电路的方法。 iS1 iS2 iS3 R1 i1 i2 i3 i4 i5 R2 R5 R3 R4 举例说明 （1） 选定参考节点，标明其余n-1个独立节点 的电压。 un2 un1 1 2 （2） 列KCL方程  iR出= iS入 i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3 （1） -i3-i4+i5=-iS3 清华大学电路原理教学组

un1 un2 iS1 iS2 iS3 R1 i1 i2 i3 i4 i5 R2 R5 R3 R4 1 2 将支路电流用节点电压表出 1 2 将支路电流用节点电压表出 将支路电流表达式代入（1）式 清华大学电路原理教学组

整理，得 （2） （3）求解上述方程得节点电压。 式（2）简记为 G11un1+G12un2 = isn1 标准形式的节点电压方程 清华大学电路原理教学组

G11=G1+G2+G3+G4 —节点1的自电导，等于接在节点1上所 有支路的电导之和。 un1 un2 iS1 iS2 iS3 R1 i1 i2 i3 i4 i5 R2 R5 R3 R4 1 2 令 Gk=1/Rk， k=1，2，3，4，5 G11=G1+G2+G3+G4 —节点1的自电导，等于接在节点1上所 有支路的电导之和。 G22=G3+G4+G5 — 节点2的自电导，等于接在节点2上所有支路的电导之和。 G12= G21 =-(G3+G4) — 节点1与节点2之间的互电导，等于接在节点1与节点2之间的所有支路的电导之和，并冠以负号。 清华大学电路原理教学组

iSn1 = iS1-iS2+iS3 — 流入节点1的电流源电流的代数和。 un1 un2 iS1 iS2 iS3 R1 i1 i2 i3 i4 i5 R2 R5 R3 R4 1 2 iSn1 = iS1-iS2+iS3 — 流入节点1的电流源电流的代数和。 iSn2 = -iS3 —流入节点2的电流源电流的代数和。 * 电流源电流流入节点取正号，流出取负号。 清华大学电路原理教学组

Gn1un1+Gn2un2+…+Gnnunn=iSnn 将上述结论 推广到有n-1个独立节点的仅含电阻、电流源的电路 G11un1+G12un2+…+G1nunn=iSn1 G21un1+G22un2+…+G2nunn=iSn2     Gn1un1+Gn2un2+…+Gnnunn=iSnn 将上述结论 推广到有n-1个独立节点的仅含电阻、电流源的电路 其中 Gii —自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之 和，总为正。 Gij = Gji —互电导，等于接在节点i与节点j之间的所支 路的电导之和，并冠以负号。 iSni — 流入节点i的所有电流源电流的代数和。 * 当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称阵。 清华大学电路原理教学组

（2） 对n-1个独立节点，以节点电压为未知量，列写其KCL方程； 节点法的一般步骤： （1） 选定参考节点，标定n-1个独立节点； （2） 对n-1个独立节点，以节点电压为未知量，列写其KCL方程； （3） 求解上述方程，得到n-1个节点电压； （4） 求各支路电流。 清华大学电路原理教学组

特殊情况1：电路中含 电压源与电阻串联的支 路 un1 un2 uS1 iS2 iS3 R1 i1 i2 i3 i4 i5 R2 R5 R3 R4 1 2 + - 特殊情况1：电路中含 电压源与电阻串联的支 路 R1 可 将该支路进行电源等效变换后，再列方程。 记Gk=1/Rk，得 等效电流源 (G1+G2+G3+G4)un1-(G3+G4) un2 = G1 uS1 -iS2+iS3 -(G3+G4) un1 + (G3+G4+G5)un2= -iS3 清华大学电路原理教学组

用节点法求各支路电流。 例 20k 10k 40k +120V -240V UA UB I4 I2 I1 I3 I5 120V 清华大学电路原理教学组 清华大学电路原理教学组

120V 240V + - 20k 10k 40k UA UB I4 I2 I1 I3 I5 UA=21.8V UB=-21.82V 解 各支路电流： I1=(120-UA)/20= 4.91mA I2= (UA- UB)/10= 4.36mA I3=(UB +240)/40= 5.46mA I4= UA /40=0.546mA I5= UB /20=-1.09mA 清华大学电路原理教学组 清华大学电路原理教学组

特殊情况2：两个独立节点之间连接有理想电压源 G3 G1 G4 G5 G2 + _ US 2 3 1 I 例 列写图示电路的节点电压方程。 方法1: 先假设电压源支路的电流为I，列方程如下： (G1+G2)U1-G1U2+I =0 -G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0 -G4U2+(G4+G5)U3-I =0 再增加一个节点电压与电压源间的关系： U1-U3 = US 清华大学电路原理教学组

方法2： 选择合适的参考点（如图所示） G3 G1 G4 G5 G2 + _ US U1= US -G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0 -G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0 清华大学电路原理教学组

例 列写下图含VCCS电路的节点电压方程。 特殊情况3：电路中含有受控电流源 例 列写下图含VCCS电路的节点电压方程。 iS1 R1 R3 R2 gmuR2 + uR2 _ 解 （1）先把受控源当作独立源 看待，列方程： 清华大学电路原理教学组

（2） 用节点电压表示控制量。 uR2= un1 整理 思考：当电路中含有受控电压源时该如何列 写节点电压方程？ 返回目录 （2） 用节点电压表示控制量。 uR2= un1 整理 思考：当电路中含有受控电压源时该如何列 写节点电压方程？ 清华大学电路原理教学组 返回目录

3.3 回路电流法（Loop Current Method） 基本思想: 以假想的回路电流为未知量列写回路的KVL方程。若回路电流已求得，则各支路电流可用回路电流线性组合表 示。 I1 I3 US1 US2 R1 R2 R3 b a + – I2 选图示的两个独立回路， 设回路电流分别为il1、 il2。 il1 il2 支路电流可由回路电流表出 i1= il1 i2= il2- il1 i3= il2 回路电流是在独立回路中闭合的，对每个相关节点均流 进一次，流出一次，所以KCL自动满足。若以回路电流为未 知量列方程来求解电路，只需对独立回路列写KVL方程。 清华大学电路原理教学组

（1）选定l=b-n+1个独立回 路， 标明各回路电流及方向。 il1 il2 I1 I3 US1 US2 R1 R2 R3 b a + – I2 回路法的一般步骤： （1）选定l=b-n+1个独立回 路， 标明各回路电流及方向。 （2）对l个独立回路，以 回路电流为未知量，列写KVL 方程； 回路1 R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0 回路2 R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0 整理得 (R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2 - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2 （3）解上述方程，求出各回路电流，进一步求各支路电压、电流。 清华大学电路原理教学组

当两个回路电流流过公共支路方向 相同时，互电阻取正号；否则为负号。 (R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2 - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2 il1 il2 I1 I3 US1 US2 R1 R2 R3 b a + – I2 令R11=R1+R2 — 回路1的自电阻。 等于回路1中所有电阻之和。 自电阻 总为正 令R22=R2+R3 — 回路2的自电阻。 等于回路2中所有电阻之和。 令R12= R21= –R2 — 回路1、2间互电阻。 是回路1、回路2之间公共支路的电阻。 当两个回路电流流过公共支路方向 相同时，互电阻取正号；否则为负号。 ul1= uS1-uS2 — 回路1中所有电压源电压升的代数和。 ul2= uS2 — 回路2中所有电压源电压升的代数和。 当电压源电压升高方向与该回路电流方向一致时，取正号；反之取负号。 清华大学电路原理教学组

Rl1il1+Rl2il2+ …+Rll ill=uSll R11il1+R12il2+ …+R1l ill=uSl1 … R21il1+R22il2+ …+R2l ill=uSl2 Rl1il1+Rl2il2+ …+Rll ill=uSll 其中 Rkk: 第k个回路的自电阻(为正) ，k =1 , 2 , … , l + : 流过互阻的两个回路电流方向相同 Rjk: 第j个回路和 第k个回路的 互电阻 - : 流过互阻的两个回路电流方向相反 0 : 无关 uSlk: 第k个回路中所有电压源电压升的代数和。 清华大学电路原理教学组

(1) 选定l=b-(n-1)个独立回路，标明回路电流及方向； 回路法的一般步骤： (1) 选定l=b-(n-1)个独立回路，标明回路电流及方向； (2) 对l个独立回路，以回路电流为未知量，列写 其KVL方程； (3) 求解上述方程，得到l个回路电流； (4) 求各支路电流(用回路电流表示)； 网孔电流法（mesh current method） 对平面电路（planar circuit），若以网孔为独立回 路，此时回路电流也称为网孔电流，对应的分析方法称 为网孔电流法。 清华大学电路原理教学组

（4） 求各支路电流： I1=Ia , I2=Ib-Ia , I3=Ic-Ib , I4=-Ic 例 用回路法求各支路电流。 + _ US2 US1 I1 I2 I3 R1 R2 R3 US4 R4 I4 Ia Ib Ic 解 （1） 设独立回路电流（顺时针） （2） 列 KVL 方程 (R1+R2)Ia -R2Ib = US1- US2 对称阵，且 互电阻为负 -R2Ia + (R2+R3)Ib - R3Ic = US2 -R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4 （3） 求解回路电流方程，得 Ia , Ib , Ic （4） 求各支路电流： I1=Ia , I2=Ib-Ia , I3=Ic-Ib , I4=-Ic 清华大学电路原理教学组

例 列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。 I3 _ + Ui 特殊情况1：电路中含有独立电流源支路 _ + US1 US2 R1 R2 R5 R3 R4 IS 例 列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。 I3 _ + Ui I1 I2 方法1： * 引入电流源的端电压变量Ui列回路的KVL方程 (R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui -R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2 -R4I2+(R3+R4)I3=-Ui ** 增加回路电流和电流源电流的关系方程 IS=I1-I3 清华大学电路原理教学组

方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅 属于一个回路, 则该回路电流即为 IS 。 _ + US1 US2 R1 R2 R5 R3 R4 IS I3 I1 I2 I1=IS -R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2 R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1 清华大学电路原理教学组

特殊情况2：电路中含有受控电压源 例 用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。 + _ 2V  3 U2 3U2 – 1 2 I1 I2 I3 I4 I5 Ia Ic Ib 设回路电流Ia、 Ib和 IC，参考方向如图所示。 （1) 将VCVS看作独立源建立方程； 4Ia-3Ib=2 ① -3Ia+6Ib-Ic=-3U2 -Ib+3Ic=3U2 （2) 找出控制量和回路电流关系。 U2=3(Ib-Ia) ②

* 由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。 将②代入①，得 4Ia -3Ib = 2 -12Ia+15Ib-Ic = 0 9Ia -10Ib+3Ic= 0 Ia=1.19A Ib=0.92A Ic=-0.51A 解得 各支路电流为： I1= Ia=1.19A , I2= Ia- Ib=0.27A , I3= Ib=0.92A I4= Ib- Ic=1.43A , I5= Ic= -0.52A * 由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。 思考：当电路中含有受控电流源时该如何列 写回路电流方程？ 清华大学电路原理教学组

支路法、回路法、节点法的比较 （1） 方程数的比较 KCL方程 KVL方程 方程总数 支路法 n-1 b-n+1 b 回路法 节点法 方程总数 b （2） 对于非平面电路，选独立回路不容易，选独立节点较容易。 （3） 回路法、节点法易于编程。目前用计算机分析网络（电网络，集成电路设计等）采用节点法较多。 清华大学电路原理教学组 返回目录

3.4 叠加定理（Superposition Theorem） 叠加定理： 在线性电路中，任一支路电流（或电压）都是电路 中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流（或 电压）的代数和。 单独作用：一个电源作用，其余电源不作用 不作用的 电压源（uS=0) 短路 电流源 (iS=0) 开路 清华大学电路原理教学组

uS1 uS2 uS3 uS2 uS3 uS1 i1 = i11 + i12 + i13 证明 举例证明定理 ib ia R2 + – R3 R1 uS1 uS2 uS3 i1 ib2 ia2 R2 + – R3 R1 uS2 i12 ib3 ia3 uS3 i13 ib1 ia1 uS1 i11 uS1单独作用 uS2单独作用 uS3单独作用 i1 = i11 + i12 + i13 证明 清华大学电路原理教学组

uS1 uS2 uS3 其中 R11=R1+R2 R12= R21= -R2 R22=R2+R3 uS11=uS1-uS2 ib ia R2 + – R3 R1 uS1 uS2 uS3 i1 其中 R11=R1+R2 R12= R21= -R2 R22=R2+R3 uS11=uS1-uS2 uS22=uS2-uS3 由回路法 R11ia+R12ib=uS11 R21ia+R22ib=uS22 uS1-uS2 uS2-uS3 清华大学电路原理教学组

uS1 uS2 uS3 R11ia1+R12ib1=uS1 R21ia1+R22ib1=0 R11ia2+R12ib2=-uS2 – uS1 i11 ib2 ia2 R2 + – R3 R1 uS2 i12 ib3 ia3 R2 R3 + – R1 uS3 i13 R11ia1+R12ib1=uS1 R21ia1+R22ib1=0 R11ia2+R12ib2=-uS2 R21ia2+R22ib2=uS2 R11ia3+R12ib3=0 R21ia3+R22ib3=-uS3

ia = ia1 + ia2 + ia3 即回路电流满足叠加定理 。 证得 即回路电流满足叠加定理 。 清华大学电路原理教学组

推广到有 l 个回路的电路 第 j 个回路的回路电流 第j列 清华大学电路原理教学组

支路电流是回路电流的线性组合，支路电流满足叠加定理。 uS1  uSb 把 uSi 的系数合并为Gji 第i个电压源单独作用时在 第j 个回路中产生的回路电流 支路电流是回路电流的线性组合，支路电流满足叠加定理。 同样可以证明：线性电阻电路中任意支路的电压等于各电源（电压源、电流源）在此支路产生的电压的代数和。 清华大学电路原理教学组

例1 用叠加定理求图中电压u。 解 + – 10V 4A 6 4 u (1) 10V电压源单独作用， 4A电流源开路 共同作用：u=u' +u 〃 = 4+(- 9.6)= - 5.6V 清华大学电路原理教学组

例2 用叠加定理求电压US 。 + – 10V 6 I1 4A US 10 I1 4 解 (1) 10V电压源单独作用： US' = -10 I1'+U1' US 〃 = -10I1 〃 +U1 〃 清华大学电路原理教学组

I1' I1 〃 10 I1' 10 I1 〃 6 6 + + US' 10V US 〃 4A 4 4 – – US' = -10 I1' +U1' = -10 I1' +4I1 ' = -101+41= -6V US 〃 = -10I1 〃 +U1 〃 = -10 (-1.6)+9.6=25.6V 共同作用： US= US′+US〃 = -6+25.6=19.6V 清华大学电路原理教学组

应用叠加定理时注意以下几点： 2. 应用时电路的结构参数必须前后一致。 5. 叠加时注意参考方向下求代数和。 1. 叠加定理只适用于线性电路求电压和电流； 不能用叠加定理求功率(功率为电源的二次函数)。 不适用于非线性电路。 2. 应用时电路的结构参数必须前后一致。 3. 不作用的电压源短路；不作用的电流源开路。 4. 含受控源(线性)电路亦可用叠加，受控源应始终保留。 5. 叠加时注意参考方向下求代数和。 清华大学电路原理教学组

齐性原理（homogeneity property) 当电路中只有一个激励(独立源)时，则响应(电压或电流) 与激励成正比。 R uS r R kuS kr 已知：如图。 求：电压 UL。 例3 R1 R3 R5 R2 RL + – US R4 UL 清华大学电路原理教学组 清华大学电路原理教学组

例3 解 R1 R3 R5 R2 RL + – US R4 UL IL U - 法一：节点法、回路法。 法二：分压、分流。 法三：电源变换。 法四：用齐性原理（单位电流法） 设 IL = 1A U IL= K A UL= K RL K = US/ U 清华大学电路原理教学组 清华大学电路原理教学组

可加性 (additivity property) uS1 r1 r1+ r2 uS1 uS2 R 例4 R uS2 r2 线性 R k1 uS1 k1 r1 k2 uS2 k1 r1+ k2 r2 R k1 uS1 例5 R k2 uS2 k2 r2 k uS1 k uS2 k r R uS1 uS2 r R 例6 线性电路中，所有激励都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应也增大(或减小)同样的倍数。 返回目录 清华大学电路原理教学组

A A A uk ik 3.5 替代定理（Substitution Theorem） 替代定理 任意一个线性电路，其中第k条支路的电压已知为uk（电流为ik），那么就可以用一个电压等于uk的理想电压源（电流等于ik的独立电流源）来替代该支路，替代前后电路中各处电压和电流均保持不变。 A ik + – uk 支 路 k A + – uk ik A 清华大学电路原理教学组

A A A ik ik ik 证明: + + – uk – C B uk B AC等电位 + uk – B 支 路 k 支 路 k 清华大学电路原理教学组

RL=9 例 已知如图。现欲使负载电阻RL的电流为电源支路电流I的1/6， 求此电阻值。 4 + - US R RL I I/6 8 方法一： I I/6 4 8 替代 RL RL I I/6 1 2 RL=9 清华大学电路原理教学组

I I/6 4 8 + - 方法二： 替代 I 4 8 + - I/6 4 8 + - 叠加 + 清华大学电路原理教学组

1. 替代定理适用于线性、非线性电路、定常和时变电路。 注意： 1. 替代定理适用于线性、非线性电路、定常和时变电路。 2. 替代定理的应用必须满足的条件: 1) 原电路和替代后的电路必须有唯一解。 2) 被替代的支路和电路其它部分应无耦合关系。 3. 未被替代支路的相互连接及参数不能改变。 清华大学电路原理教学组 返回目录

（Thevenin-Norton Theorem） 3.6 戴维南定理和诺顿定理 （Thevenin-Norton Theorem） 1. 几个名词 (1) 端口（ port ） A a b i 端口指电路引出的一对端钮，其中 从一个端钮（如a）流入的电流一定等 于从另一端钮（如b）流出的电流。 (2) 一端口网络 （network） 网络与外部电路只有一对端钮（或一个端口）联接。 清华大学电路原理教学组

2. 戴维南定理 任何一个含有独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电压源（Uoc） 和电阻Ri的串联组合来等效替代；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压，而电阻等于一端口中全部独立电源置零后的端口等效电阻。 A a b i u + – i a b Ri Uoc + - u – 清华大学电路原理教学组

A A A P N N + = 则 (b) i Uoc + – u a b Ri 证明： (a) a b i + – u （对a） 利用替代定理，将外部电路用电流源替代，此时u、i值不变。计算 u 值。（用叠加定理） a b A i + – u a b A + – u' a b P i + – u'' + Ri = 电流源i为零 网络A中独立源全部置零 根据叠加定理，可得 u = Uoc （外电路开路时a 、b间开路电压） u= - Ri i 此关系式恰与图（b）电路相同。 则 u = u' + u  = Uoc - Ri i

（1）戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时 的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向相同。 小结： （1）戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时 的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向相同。 （2）串联电阻为将一端口内部独立电源全部置零（电压 源短路，电流源开路）后，所得一端口网络的等效电阻。 等效电阻的计算方法： a. 当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法 计算； b. 端口加电压求电流法或加电流求电压法（内部独立电 源置零）。 c. 等效电阻等于端口的开路电压与短路电流的比（内部 独立电源保留） 。 （3） 当一端口内部含有受控源时，控制支路与受控源 支路必须包含在被等效变换的同一部分电路中。 清华大学电路原理教学组

保留Rx支路，将其余一端口化为戴维南等效电路： 例1 I Rx a b + – 10V 4 6 （1） 计算Rx分别为1.2、5.2时的 电流I； （2） Rx为何值时，其上获最大功率? 电路如图所示 解 保留Rx支路，将其余一端口化为戴维南等效电路： a b + – 10V 4 6 I Rx Rx I a b Uoc + – Ri 清华大学电路原理教学组

（1）求开路电压 Uoc = U1 + U2 = -104/(4+6)+10  6/(4+6) = -4+6=2V a b + – 4 6 U2 U1 - Uoc I a b Uoc + – Rx Ri （2） 求等效电阻Ri Ri a b 4 6 (3) Rx =1.2时， I= Uoc /(Ri + Rx) =0.333A Rx =5.2时， I= Uoc /(Ri + Rx) =0.2A Rx = Ri =4.8时，其上获最大功率。 Ri=4//6+6//4=4.8 清华大学电路原理教学组

含受控源电路戴维南定理的应用 例2 电路如图所示，求电压UR 。 a b Uoc + – Ri 3 UR - 3 6 I + – 9V 解 3 6 I + – 9V Uoc a b 6I Uoc=6I+3I Uoc=9V I=9/9=1A 清华大学电路原理教学组

（2） 求等效电阻Ri 方法1 端口加压求流（内部独立电压源短路） 3 6 I + – U0 a b 6I I0 U0=6I+3I=9I 方法1 端口加压求流（内部独立电压源短路） 3 6 I + – U0 a b 6I I0 U0=6I+3I=9I I=I06/(6+3)=(2/3)I0 U0 =9  (2/3)I0=6I0 Ri = U0 /I0=6  方法2 开路电压、短路电流 （Uoc=9V） 3 6 I + – 9V Isc a b 6I I1 6 I1 +3I=9 I=-6I/3=-2I I=0 Isc=I1=9/6=1.5A Ri = Uoc / Isc =9/1.5=6  清华大学电路原理教学组

下图电路经戴维南等效变换后将难于继续进行计算。 （3） 等效电路 a b Uoc + – Ri 3 UR - 6 9V 下图电路经戴维南等效变换后将难于继续进行计算。 3 6 I + – 9V UR a b 6I 3 2 + – 3V UR a b 6I 控制量呢？ 清华大学电路原理教学组

3. 诺顿定理 任何一个含独立电源，线性电阻和线性受控源的一端 口，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻（电导） 的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的 短路电流，而电阻（电导）等于把该一端口的全部独立 电源置零后的输入电阻（电导） 。 a b Ri Isc A a b 诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效 变换得到。但须指出，诺顿等效电路可独立进行证明。 证明过程从略。 清华大学电路原理教学组

例 电路如图所示，求电流I 。 12V 2 10 + – 24V a b 4 I 4 I a b Ri Isc ab端口 诺顿等效 解 （1）求端口的短路电流Isc。 2 10 + – 24V a b Isc I1 I2 12V I1=12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6A Isc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A 清华大学电路原理教学组

（2） 求Ri：电压源短路，用电阻串并联。 Ri Ri =102/(10+2)=1.67  （3） 诺顿等效电路: I 2 10 a b Ri =102/(10+2)=1.67  （3） 诺顿等效电路: a b 4 I 1.67  -9.6A I = - Isc1.67/(4+1.67) =9.61.67/5.67 =2.83A 清华大学电路原理教学组 返回目录

N N 3.7 特勒根定理（Tellegen’s Theorem） 1.具有相同拓扑结构的电路 两个电路，支路数和节点数都相同，而且对应支路 与节点的联接关系也相同。 N R5 R4 R1 R3 R2 R6 + – us1 1 2 3 4 N R5' R4' R1' R3' R6' us6 is2 +– 1 2 4 3 清华大学电路原理教学组

N N 1 1 R5 R4 R1 R3 R2 R6 + – us1 1 2 3 4 R5' R4' R1' R3' R6' us6 is2 +– 1 2 4 3 4 6 5 1 2 3 4 6 5 1 2 3 清华大学电路原理教学组

N 例 求 4 6 5 1 2 3 解 清华大学电路原理教学组

（ 2）各支路电压、电流均取关联的参考方向。 2. 特勒根定理 注意（1）对应支路取相同的参考方向。 （ 2）各支路电压、电流均取关联的参考方向。 清华大学电路原理教学组

证明：   + – uk ik   + – 其中： 清华大学电路原理教学组

  + – uk ik   + –   若节点接有另一支路m，同理可得： 对节点可得： 对其它节点，有同样的 结果，故： 同理可证：

在任一瞬间，任一电路中的所有支路所吸收的瞬时 功率的代数和为零，即 3. 功率守衡定理 在任一瞬间，任一电路中的所有支路所吸收的瞬时 功率的代数和为零，即 将特勒根定理用于同一电路中各支路电流、电压即可证得上述关系。 此亦可认为特勒根定理在同一电路上的表述。 清华大学电路原理教学组

P I2 – + US U2 I1 2 例1 图示两个电路中方框内为同一电阻网络。 已知：US=10V， I1=5A，I2=1A ， 。 例1 图示两个电路中方框内为同一电阻网络。 已知：US=10V， I1=5A，I2=1A ， 。 解 由特勒根定理 清华大学电路原理教学组

方框内为同一网络 清华大学电路原理教学组

（1）当R1=R2=2, US=8V时， I1=2A，U2 =2V。 例2 已知图中： （1）当R1=R2=2, US=8V时， I1=2A，U2 =2V。 （2）当R1=1.4 ，R2=0.8，US ' =9V ，I1' =3A。 求U2'。 无源 电阻 网络 P – + U1 US R1 I1 I2 U2 R2 清华大学电路原理教学组

由（1）得：U1=4V， I1=2A， U2=2V， U2/R2=1A 解 由（1）得：U1=4V， I1=2A， U2=2V， U2/R2=1A 根据特勒根定理 清华大学电路原理教学组 返回目录

3.8 互易定理（Reciprocity Theorem） 第一种形式: 激励（excitation）为电压源，响应（response）为电流。 给定任一仅由线性电阻构成的网络（见下图），设支路 j中有电压源uj ，其在支路k中产生的电流为ikj（图a）； 若支路k中有电压源uk ，其在支路j中产生的电流为ijk （图b）。 c d 线性电阻网络 N ijk + – uk a b (b) ikj 线性电阻网络 N + – uj a b c d (a) 清华大学电路原理教学组

c d ijk + – uk a b (b) ikj + – uj a b c d (a) 则两个支路中电压电流有如下关系： 线性电阻网络 N ijk + – uk a b (b) ikj 线性电阻网络 N + – uj a b c d (a) 则两个支路中电压电流有如下关系： 当 uk = uj 时，ikj = ijk 。 清华大学电路原理教学组

c d ijk + – uk a b (b) ikj + – uj a b c d (a) 证明： 线性电阻网络 N ijk + – uk a b (b) ikj 线性电阻网络 N + – uj a b c d (a) 证明： 设a-b支路为支路1，c-d支路为支路2，其余支路为3~b。图 （a）与图（b）有相同拓扑特征，（a）中用uk 、ik表示支路电 压和电流，（b）中用 支路电压和电流（支路电压/电流均取为关联 方向）。 由特勒根定理： 清华大学电路原理教学组

即 两式相减，得 清华大学电路原理教学组

当 uk = uj 时，ikj = ijk 。 c d ijk + – uk a b （b） ikj uj （a） 线性电阻网络 N ijk + – uk a b （b） ikj 线性电阻网络 N uj （a） 将图（a）与图（b）中支路1，2的条件代入，即 即： 当 uk = uj 时，ikj = ijk 。 清华大学电路原理教学组

ik ij 第二种形式: 激励是电流源，响应是电压。 在任一线性电阻网络的一对节点 j 和 j’间接入电流源 ij ，它在另一对节点 k 和 k’产生电压ukj （见图（a））； 若改在节点 k 和 k’ 间接入电流源 ik ，它在节点 j 和 j’ 间产生电压 ujk（图（b）），则上述电压、电流有如下关系： 当 ik = jj 时，ukj = ujk 。 + ukj ij – j j' k' k （a） ik + – ujk j k （b） k' j' 由读者自己证明。 清华大学电路原理教学组

例 2 1 4 + – 8V I d 电路如图所示，求电流I 。 解 利用互易定理，可得下图 2 1 4 + – 8V I d I1 = I '2/(4+2)=2/3A I2 = I '2/(1+2)=4/3A I= I1-I2 = -0.667A 清华大学电路原理教学组

（1）互易定理适用于线性网络在单一电源激励下，电源支路和另一支路间电压、电流的关系。 应用互易定理时应注意： （1）互易定理适用于线性网络在单一电源激励下，电源支路和另一支路间电压、电流的关系。 （2） 激励为电压源时，响应为电流。激励为电流源时， 响应为电压。 （3）电压源激励，互易时原电压源处短路，电压源串 入另一支路； 电流源激励，互易时原电流源处开路，电流源并入另 一支路的两个节点间。 （4）互易要注意电压源（电流源）与电流(电压)的方向。 （5）含有受控源的网络，互易定理一般不成立。 清华大学电路原理教学组 返回目录

3.9 对偶原理（Dual Principle） 一、 对偶电路（dual circuit） 例1 G1 G2 un iS R2 + – uS il R1 网孔电流方程 节点电压方程 (R1 + R2)il = uS (G1 + G2 )un = iS 若R1=G1，R2 =G2，uS=iS 则两方程完全相同，解答 il，un 数值也相同。 清华大学电路原理教学组

将方程（1）中所有元素用其对偶元素替换得方程（2）。 例2 R3 R1 R2 + – uS1 il1 il2 i1 rm i1 G2 G3 G1 un1 un2 + – u1 iS1 gm u1 网孔方程 节点方程 (G1+G2)un1 G2 un2 = iS1 -G2 un1+(G2+G3) un2 =- gm u1 u1 =un1 (2) (R1+R2) il1- R2 il2 = uS1 - R2 il1 +(R2+R3) il2 = - rm i1 i1 = il1 (1) 若R1=G1， R2 =G2， R3 =G3， uS1=iS1， rm = gm ，则两 个方程组相同，其解答也相同，即un1= il1 ，un2= il2 。 上述每例中的两个电路称为对偶电路。 将方程（1）中所有元素用其对偶元素替换得方程（2）。 清华大学电路原理教学组

… 二、 对偶元素（见书） 节点 网孔 节点电压 网孔电流 KCL KVL L C R G is us 串联 并联 CCVS VCCS 三、 对偶原理 两个对偶电路N， 如果对电路N有命题（或陈述）S 成 立，则将S中所有元素，分别以其对应的对偶元素替换，所得 命题（或陈述） 对电路 成立。 注意： 只有平面电路才有对偶电路。 四、 如何求一个电路的对偶电路 打点法：网孔对应节点（外网孔对应参考节点）。 清华大学电路原理教学组

例1 G1 G2 un iS R2 + – uS il R1 例2 G2 G3 G1 un1 un2 + – u1 iS1 gm u1 R3 rm i1 清华大学电路原理教学组

注意： （1）每一网孔对应一节点，外网孔对应参考节点。 参考方向： 按惯例网孔电流取顺时针方向，节点电压方向由独 立节点指向参考节点。 按惯例网孔电流取顺时针方向，节点电压方向由独 立节点指向参考节点。 （2） 各对偶元素进行替换。数值相同，量纲不同。 清华大学电路原理教学组

（3） 电源方向（在按惯例选取网孔电流和节点电压 方向的前提下） （3） 电源方向（在按惯例选取网孔电流和节点电压 方向的前提下） 原网孔中所包含的电压源如果沿顺时针方向电压升高， 则在对偶电路中电流源的电流方向应指向该网孔对应的独 立节点。 + - uS I2 I1 un2 un1 un1 un2 IS 清华大学电路原理教学组

原回路中所包含的电流源的电流方向如果和网孔电流方 向一致，则在对偶电路中电压源的正极性落在该网孔对应的独 立节点上。 un1 un2 + - uS un2 un1 IS I2 I1 清华大学电路原理教学组 返回目录 End