第二章 电路的基本分析方法 2.1 支路电流法 2.2 网孔分析法 2.3 节点电位法 2.4 小结

2.1 支 路 电 流 法 在一个支路中的各元件上流经的只能是同一个电流，支路两端电压等于该支路上相串联各元件上电压的代数和，由元件约束关系(VAR)不难得到每个支路上的电流与支路两端电压的关系，即支路的VAR。如图2.1-1 所示，它的VAR 为 图 2.1 - 1 电路中一条支路

2.1.1 支路电流法 支路电流法是以完备的支路电流变量为未知量，根据元件的VAR 及 KCL、KVL约束，建立数目足够且相互独立的方程组，解出各支路电流，进而再根据电路有关的基本概念求得人们期望得到的电路中任何处的电压、功率等。 如图 2.1 - 2 电路，它有 3 条支路，设各支路电流分别为 i1, i2, i3, 其参考方向标示在图上。就本例而言，问题是如何找到包含未知量 i1, i2, i3 的 3个相互独立的方程组。

图 2.1-2 支路电流法分析用图

根据KCL，对节点 a 和 b 分别建立电流方程。设流出节点的电流取正号，则有 (2.1-2) 节点 b 根据KVL，按图中所标巡行方向(或称绕行方向)对回路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 分别列写KVL方程(注意：在列写方程中，若遇到电阻，两端电压就应用欧姆定律表示为电阻与电流乘积)，得 回路 Ⅰ 回路 Ⅱ 回路 Ⅲ

当未知变量数目与独立方程数目相等时，未知变量才可能有唯一解。我们从上述 5 个方程中选取出 3 个相互独立的方程如下： (2.1-7) (2.1-7)式即是图2.1-2 所示电路以支路电流为未知量的足够的相互独立的方程组之一，它完整地描述了该电路中各支路电流和支路电压之间的相互约束关系。应用克莱姆法则求解(2.1-7)式。系数行列式Δ和各未知量所对应的行列式Δj(j=1, 2, 3)分别为

所以求得支路电流

解出支路电流之后，再要求解电路中任何两点之间的电压或任何元件上消耗功率那就是很容易的事了。例如，若再要求解图 2 解出支路电流之后，再要求解电路中任何两点之间的电压或任何元件上消耗功率那就是很容易的事了。例如，若再要求解图 2.1-2 电路中的 c 点与 d 点之间电压ucd 及电压源 us1所产生的功率 Ps1，可由解出的电流i1、i2、i3 方便地求得为

2.1.2 独立方程的列写 一个有n个节点、b条支路的电路，若以支路电流作未知变量， 可按如下方法列写出所需独立方程。 (1) 从 n 个节点中任意择其n-1个节点，依KCL列节点电流方程，则 n-1个方程将是相互独立的。这一点是不难理解的， 因为任一条支路一定与电路中两个节点相连，它上面的电流总是从一个节点流出，流向另一个节点。如果对所有n 个节点列KCL方程时，规定流出节点的电流取正号，流入节点的电流取负号，每一个支路电流在n个方程中一定出现两次， 一次为正号(+ij), 一次为负号(-ij), 若把这n个方程相加，它一定是等于零的恒等式，即

式中：n表示节点数；(∑i)k 表示第 k 个节点电流代数和； 表示对 n 个节点电流和再求和； 表示 b 条支路一次取正号，一次取负号的电流和。 (2.1-8)式说明依KCL列出的n个KCL方程不是相互独立的。但从这n个方程中任意去掉一个节点电流方程，那么与该节点相连的各支路电流在余下的 n-1 个节点电流方程中只出现一次。 如果将剩下的 n-1 个节点电流方程相加，其结果不可能恒为零，所以这 n-1 个节点电流方程是相互独立的。习惯上把电路中所列方程相互独立的节点称为独立节点。

(2) n个节点 b 条支路的电路，用支路电流法分析时需 b 个相互独立的方程，由KCL已经列出了n-1 个相互独立的KCL方程，那么剩下的b-(n-1)个独立方程当然应该由KVL列出。可以证明，由KVL能列写且仅能列写的独立方程数为b-(n-1)个。习惯上把能列写独立方程的回路称为独立回路。 独立回路可以这样选取：使所选各回路都包含一条其他回路所没有的新支路。对平面电路，如果它有 n 个节点 、b 条支路，也可以证明它的网孔数恰为 b-(n-1)个， 按网孔由KVL列出的电压方程相互独立。

归纳、明确支路电流法分析电路的步骤。 第一步：设出各支路电流，标明参考方向。任取n-1个节点，依KCL列独立节点电流方程(n 为电路节点数)。 第二步：选取独立回路(平面电路一般选网孔)，并选定巡行方向，依KVL列写出所选独立回路电压方程。 第三步：如若电路中含有受控源，还应将控制量用未知电流表示，多加一个辅助方程。 第四步：求解一、 二、 三步列写的联立方程组，就得到各支路电流。 第五步：如果需要，再根据元件约束关系等计算电路中任何处的电压、功率。

例 2. 1-1 图示 2. 1-3 电路中，已知R1=15Ω，R2=1. 5Ω，R3=1Ω, us1=15V，us2=4 例 2.1-1 图示 2.1-3 电路中，已知R1=15Ω，R2=1.5Ω，R3=1Ω, us1=15V，us2=4.5V, us3=9V。 求电压uab及各电源产生的功率。 图 2.1-3 例 2.1-1 用图

解 设支路电流i1, i2, i3 参考方向如图中所标。依 KCL列写节点 a 的电流方程为 (2.1-9) 选网孔作为独立回路，并设绕行方向于图上，由KVL列写网孔Ⅰ、Ⅱ的电压方程分别为 网孔Ⅰ (2.1-10) 网孔 Ⅱ (2.1-11)

用克莱姆法则求解(2.1-9)、(2.1-10)、(2.1-11)三元一次方程组。Δ与Δj分别为

所以电流 i1, i2, i3 分别为 电压

设电源us1, us2, us3 产生的功率分别为ps1, ps2, ps3, 由求得的支路电流，可算得

例 2.1-2 图 2.1-4 所示电路为电桥电路，AB支路为电源支路，CD支路为桥路，试用支路电流法求电流ig, 并讨论电桥平衡条件。 图 2.1-4 例 2.1-2 用图

解 设各支路电流参考方向和回路的巡行方向如图中所标。该电路有 6 条支路、4 个节点，以支路电流为未知量，应建立 3 个独立节点的KCL方程，3个独立回路的KVL方程。根据元件VAR 和 KCL、KVL列出以下方程组： 对于节点 A i1+i2-i=0 对于节点 C -i1+ig+i3=0 对于节点 D -i2-ig+i4=0 对于回路Ⅰ -R1i1+R2i2-Rgig=0 对于回路Ⅱ -R3i3+R4i4+Rgig=0 对于回路 Ⅲ R1i1+R3i3+Ri=us

解上述方程组，得 当ig=0, 即桥路上电流为零(或桥路两端电压：uCD=0)时称该电桥达到平衡。由 ig 的表示式可知分母是有限值，因而仅当 即 或 时 ig=0, 这就是电桥平衡的条件。

例 2.1-3 图 2.1-5 所示电路中包含有电压控制的电压源，试以支路电流作为求解变量，列写出求解本电路所必需的独立方程组。(注意对受控源的处理，对所列方程不必求解。) 图 2.1-5 例 2.1-3 用图

解 设各支路电流、各网孔绕向如图所示。应用KCL、KVL 及元件 VAR列写方程为 对节点 a -i1+i2+i3 = 0 对网孔 Ⅰ R1i1+R2i2+0 = us 对网孔 Ⅱ 0-R2i2+(R3+R4)i3 =μu1 上述 3 个方程有 i1, i2, i3 及 u1 4个未知量，无法求解，还必须寻求另一个独立方程。将控制量u1 用支路电流表示，即 u1 = R1i1

如果电路中的受控源的控制量就是某一支路电流，那么方程组中方程个数可以不增加， 由列写出的前 3 个基本方程稍加整理即可求解。如果受控源的控制量是另外的变量， 那么需对含受控源电路先按前面讲述的步骤一、 二去列写基本方程(列写的过程中把受控源先作为独立源一样看待)，然后再加一个控制量用未知电流表示的辅助方程，这一点应特别注意。

2.2 网 孔 分 析 法 2.2.1 网孔电流 欲使方程数目减少，必使求解的未知量数目减少。在一个平面电路里，因为网孔是由若干条支路构成的闭合回路， 所以它的网孔个数必定少于支路个数。如果我们设想在电路的每个网孔里有一假想的电流沿着构成该网孔的各支路循环流动，如图 2.2-1中实线箭头所示，把这一假想的电流称作网孔电流。

网孔电流是完备的变量。 图 2.2-1 网孔法分析用图

例如图2.2-1电路中，i1=iA, i2=iB, i3=iC。如果某支路属于两个网孔所共有，则该支路上的电流就等于流经该支路二网孔电流的代数和。例如图 2.2-1 电路中支路电流i4, 它等于流经该支路的 A、C 网孔电流的代数和。与支路电流方向一致的网孔电流取正号，反之取负号，即有 网孔电流是相互独立的变量。如图2.2-1 电路中的 3 个网孔电流iA, iB, iC, 知其中任意两个求不出第三个。这是因为每个网孔电流在它流进某一节点的同时又流出该节点，它自身满足了KCL， 所以不能通过节点 KCL方程建立各网孔电流之间的关系，也就说明了网孔电流是相互独立的变量。

2.2.2 网孔电流法 对平面电路，以假想的网孔电流作未知量，依KVL列出网孔电压方程式(网孔内电阻上电压通过欧姆定律换算为电阻乘电流表示)，求解出网孔电流，进而求得各支路电流、电压、功率等，这种求解电路的方法称网孔电流法(简称网孔法)。应用网孔法分析电路的关键是如何简便、正确地列写出网孔电压方程(在 2.1 中已经明确过网孔电压方程是相互独立的)。

设图 2.2-1电路中网孔电流 iA, iB, iC, 其参考方向即作为列写方程的巡行方向。按网孔列写KVL方程如下： 网孔A R1iA+R5iA+R5iB+R4iA-R4iC+us4-us1=0 网孔B R2iB+R5iA+R5iB+R6iB+R6iC-us2=0 网孔C R3iC-R4iA+R4iC+R6iC+R6iB-us4-us3=0  按未知量顺序排列并加以整理，同时将已知激励源也移至等式右端。这样整理改写上述 3 式得 (2.2-1) (2.2-2) (2.2-3)

观察(2.2-1)式，可以看出：iA前的系数(R1+R4+R5)恰好是网孔A 内所有电阻之和，称它为网孔A的自电阻，以符号R11 表示；iB 前的系数(+R5)是网孔 A 和网孔 B 公共支路上的电阻，称它为网孔 A 与网孔 B 的互电阻，以符号R12表示， 由于流过 R5 的网孔电流 iA、iB 方向相同，故R5 前为“+”号； iC 前系数(-R4)是网孔 A 和网孔C 公共支路上的电阻，称它为网孔A 与网孔 C 的互电阻，以符号 R13表示，由于流经 R4 的网孔电流iA、iC 方向相反，故 R4 前取“-”号；等式右端 us1-us4表示网孔 A 中电压源的代数和，以符号us11表示， 计算 us11时遇到各电压源的取号法则是，在巡行中先遇到电压源正极性端取负号，反之取正号。

用同样的方法可求出(2.2-2)、(2.2-3)式的自电阻、互电阻及网孔等效电压源，即

归纳总结得到应用网孔法分析具有 3 个网孔电路的方程通式(一般式)，即 (2.2-4) 如果电路有m 个网孔，也不难得到列写网孔方程的通式为 (2.2-5) …

在应用方程通式列方程时要特别注意“取号”问题：因取网孔电流方向作为列写KVL方程的巡行方向，所以各网孔的自电阻恒为正；为了使方程通式形式整齐统一，故把公共支路电阻上电压的正负号归纳在有关的互电阻中，使方程通式(2.2-4)或(2.2-5)式的左端各项前都是“+”号，但求互电阻时就要注意取正号或取负号的问题。两网孔电流在流经公共支路时方向一致，互电阻等于公共支路上电阻相加取正号， 两网孔电流在流经公共支路时方向相反，互电阻等于公共支路上电阻相加取负号；求等效电压源时遇电压源的取号法则表面上看起来与应用Σu=0 列方程时遇电压源的取号法则相反，实际上二者是完全一致的，因为网孔方程的us11(或us22, us33)是直接放在等式右端的。

例 2.2-1 对图2.2-2 所示电路，求各支路电流。 图 2.2-2 例 2.2-1 用图

解 本问题有 6 个支路，3 个网孔， 用上节讲的支路电流法需解 6 元方程组，而用网孔法只需解 3 元方程，显然网孔法要比支路电流法简单得多，今后用手解算电路的话， 一般用网孔法而不用支路电流法。 第一步：设网孔电流iA, iB, iC 如图所示。一般网孔电流方向即认为是列KVL方程时的巡行方向。 第二步：观察电路直接列写方程。观察电路心算求自电阻、 互电阻、等效电压源数值，代入方程通式即写出所需要的方程组。就本例，把自电阻、互电阻、等效电压源写出如下：

代入(2.2-4)式得 (2.2-6)

第三步：解方程得各网孔电流。用克莱姆法则解(2.2-6)式方程组，各相应行列式为

于是各网孔电流分别为

第四步：由网孔电流求各支路电流。 设各支路电流参考方向如图所示，根据支路电流与网孔电流之间的关系， 得 第五步： 如果需要， 可由支路电流求电路中任何处的电压、 功率。

例 2.2-2 对图 2.2-3 所示电路，求电阻 R 上消耗的功率 pR。 图 2.2-3 例 2.2-2 用图

解 (2.2-7) 化简(2.2-7)式(第二个方程可两端相约化简)得

由化简的方程组求得 进而可求得

(1) 网孔法是回路法的特殊情况。网孔只是平面电路的一组独立回路，不过许多实际电路都属于平面电路， 选取网孔作独立回路方便易行，所以把这种特殊条件下的回路法归纳为网孔法。 (2) 回路法更具有一般性，它不仅适用于分析平面电路， 而且也适用于分析非平面电路，在使用中还具有一定的灵活性 。

例 2.2-3 求图 2.2-4 所示电路中的电压 uab。 图 2.2-4 例 2.2-3 用图

设网孔电流 iA, iB 如图中所标，观察电路，应用方程通式列基本方程为 解 （2.2-8） 由图可以看出控制量 ux 仅与回路电流 iB 有关，故有辅助方程 （2.2-9） 将(2.2-9)式代入(2.2-8)式并经化简整理，得 （2.2-10）

解(2.2-10)方程组， 得 所以

例 2.2-4 对图 2.2-5 所示电路，求各支路电流。 图 2.2-5 例 2.2-4 用图

解 本题两个网孔的公共支路上有一理想电流源。如果按图(a)电路设出网孔电流，如何列写网孔方程呢 解 本题两个网孔的公共支路上有一理想电流源。如果按图(a)电路设出网孔电流，如何列写网孔方程呢? 这里需注意， 网孔方程实际上是依KVL列写的回路电压方程，即网孔内各元件上电压代数和等于零，那么在巡行中遇到理想电流源(或受控电流源)，它两端电压取多大呢? 根据电流源特性，它的端电压与外电路有关，在电路未求解出之前是不知道的。 这时可先假设该电流源两端电压为ux, 把 ux 当作理想电压源一样看待列写基本方程。因为引入了电流源两端电压ux这个未知量，所以列出的基本方程就少于未知量数，必须再找一个与之相互独立的方程方可求解。这个方程也是不难找到的， 因为理想电流源所在支路的支路电流i3等于 is，i3又等于二网孔电流代数和， 这样就可写辅助方程，即

用网孔法求解图(a)电路所需的方程为

将图(a)电路伸缩扭动变形，使理想电流源所在支路单独属于某一网孔，如图(b)电路所示。理想电流源支路单独属于网孔 B，设 B 网孔电流 iB 与 is方向一致，则 所以只需列出网孔 A 一个方程即可求解。 网孔 A 的方程为 所以

进一步可求得电流

2.3 节 点 电 位 法 2.3.1 节点电位 图 2.3-1 节点法分析用图

在电路中，任选一节点作参考点，其余各节点到参考点之间的电压称为相应各节点的电位。如图 2 在电路中，任选一节点作参考点，其余各节点到参考点之间的电压称为相应各节点的电位。如图 2.3-1 电路，选节点 4 作参考点(亦可选其他节点作参考点)，设节点1，2， 3 的电位分别为 v1, v2, v3。显然，这个电路中任何两点间的电压，任何一支路上的电流，都可应用已知的节点电位求出。例如，支路电流 电导 G5 吸收的功率

这就说明了节点电位是完备的变量。观察图 2.3-1 可见，对电路中任何一个回路列写KVL方程，回路中的节点，其电位一定出现一次正号一次负号。例如图中 A 回路，由KVL 列写方程为 将上式中各电压写为电位差表示， 即有 节点电位变量是相互独立的变量。

2.3.2 节点电位法 以各节点电位为未知量，将各支路电流通过支路VAR 用未知节点电位表示，依KCL 列节点电流方程(简称节点方程)，求解出各节点电位变量，进而求得电路中需要求的电流、电压、 功率等，这种分析法称为节点电位法。下面我们以图 2.3-1 电路为例来看方程的列写过程，并从中归纳总结出简便列写方程的方法。参考点与各节点电位如图中所标，设出各支路电流，由支路VAR将各支路电流用节点电位表示，即

(2.3-2)

现在依KCL列出节点1，2，3的KCL方程，设流出节点的电流取正号，流入节点的电流取负号，可得 节点 1 节点 2 (2.3-3) 节点 3 将(2.3-2)式代入(2.3-3)式， 得 (2.3-4)

为了方便应用克莱姆法则求解，将(2.3-4)式按未知量顺序重新排列，已知的电流源移至等式右端并加以整理，得 (2.3-5) (2.3-6) (2.3-7)

观察整理后的方程，以(2.3-5)式为例，变量v1前的系数(G1+G5)恰是与第一个节点相连各支路的电导之和，称为节点 1 的自电导，以符号 G11表示。变量v2前系数(-G1), 它是 1 与 2 节点间的互电导，以符号 G12表示，它等于与该两节点相连的公共支路上电导之和，并取负号。v3 前系数(-G5)是节点 1 与节点 3 之间的互电导，以G13表示，它等于与节点 1、 3 相连的公共支路上电导之和，并取负号。等式右端is1-is2 是流入节点 1 的电流源的代数和，以符号is11 表示，称为等效电流源。计算is11 时是以流入节点 1 的电流源为正，流出节点 1 的电流源为负。同理可找出(2.3-6)、 (2.3-7)式的自电导、 互电导、等效电流源， 即

归纳总结得到应用节点法分析具有 3 个独立节点电路的方程通式(一般式)， 即 (2.3-8)

如果电路有 n 个独立节点，我们也不难得到列写节点方程的通式为 (2.3-9) …

例 2.3-1 如图 2.3-2 所示电路，求电导G1、G2、G3 中的电流及图中 3 个电流源分别产生的功率。 图 2.3-2 例 2.3-1 用图

解 采用节点电位法求解。 第一步：选参考点，设节点电位。对本问题，选节点 4 为参考点，设节点 1、2、3 的电位分别为 v1、v2, v3。若电路接地点已给出，就不需要再选参考点，只需设出节点电位就算完成了这一步。 第二步：观察电路，应用(2.3-8)或(2.3-9)式直接列写方程。一般心算求出各节点的自电导、互电导和等效电流源数值，代入通式写出方程。当然写出求自电导、互电导、等效电流源的过程亦可以。对本例电路，有

将求得的自电导、互电导、等效电流源代入式(2.3-8)，得 2.3-10

第三步：解方程，求得各节点电位。用克莱姆法则解(2.3-10)方程组

第四步：由求得的各节点电位，求题目中需要求的各量。 我们先求 3 个电导上的电流。设通过电导 G1、G2、G3 的电流分别为 i1、i2、i3, 参考方向如图中所标，由欧姆定律电导形式可算得 3 个电流分别为

再求电流源产生功率。设ps1、ps2、ps3分别代表电流源is1、is2、is3产生的功率。由计算一段电路产生功率的公式，算得

例 2.3-2 如图 2.3-3(a)所示电路中，各电压源、电阻的数值如图上所标，求各支路上的电流。 图 2.3-3 例 2.3-2 用图

解 在一些电路里，常给出电阻参数和电压源形式的激励。在这种情况下应用节点法分析时，可先应用电源互换将电压源形式变换为电流源形式，各电阻参数换算为电导参数， 如图(2.3-3)(b)所示。在(b)图中，设节点 3 为参考点，并设节点 1、2 的电位分别为 v1, v2, 可得方程组为 化简上方程组，得 (2.3-11)

解(2.3-11)方程组， 得

所以，节点电位

(b)图所求的各节点电位数值也就是(a)图相应节点的电位值。在图2.3-3(a)中设出各支路电流，由支路VAR, 得 列写方程时电阻要换算为电导；计算节点等效电流源时，该电流源的数值等于电压除以该支路的电阻，若电压源正极性端向着该节点则取正号，反之取负号。

例 2.3-3 对图 2.3-4 所示电路，求 u 与 i。 图 2.3-4 例 2.3-3 用图

解 本问题电路的 1、 4 节点间有一理想电压源支路， 用节点法分析时可按下列步骤处理： (1) 若原电路没有指定参考点，可选择其理想电压源支路所连的两个节点之一作参考点，譬如本问题，选节点 4 作为参考点，这时节点 1 的电位v1=2V， 可作为已知量，这样可少列一个方程。设节点 2、3 的电位分别为v2、v3, 由电路可写方程组 (2.3-12)

写(2.3-12)方程组时，把v1=2V当作已知量直接代入了方程组。因为对求电路的节点电位来说，可以把电路中1Ω电阻与 4A电流源相串联的支路等效为一个 4A电流源支路，所以与 4A电流源串联的 1Ω电阻不能计入节点 2、节点 3 自电导里，也不能计入节点 2、3 之间的互电导里。解(2.3- 12)式方程组，得 由欧姆定律，求得 因为电压 所以电压

以节点 3 作参考点，设节点 4 的电位为 v4, 对这个电路列写的方程组为 (辅助方程)

例 2.3-4 对图 2.3-5 所示电路，求v1, i1。 图 2.3-5 例 2.3-4 用图

解 (辅助方程)

2.4 小 结 2.4.1 方程法分析 支路电流法 网孔分析法 节点电位法

2.4.2 方程通式 1. 网孔方程通式

2. 节点方程通式