第三章 稳恒电流

第三章 稳恒电流 在前两章我们学习了静电场及静电场中的导体和电介质，静电场是电现象最简单的情形，即电场强度的大小与方向在空间各点均保持不变。要得到静电场，一种情况是一带电体系中电荷保持相对静止，另一种情况是本章要学习的稳恒电流的情况。 存在于导体内部的，大小不随时间发生变化的恒定的电流，就是所谓稳恒电流。

主要内容 1. 电流的稳恒条件 2. 欧姆定律的微分形式及物理意义 3. 电动势

§3.1 电流的稳恒条件和导电规律 2.电流的连续方程 稳恒条件 3.欧姆定律 电阻 电阻率 4.电功率 焦耳定律 1.电流强度 电流密度矢量 2.电流的连续方程 稳恒条件 3.欧姆定律 电阻 电阻率 4.电功率 焦耳定律 5.金属导电的经典微观解释

3.1.1 电流强度 电流密度矢量 1. 产生电流的条件有两个： （1）存在可以自由移动的电荷（自由电荷）； （2）存在电场 3.1.1 电流强度 电流密度矢量 1. 产生电流的条件有两个： （1）存在可以自由移动的电荷（自由电荷）； （2）存在电场 2. 电流的方向： 规定正电荷流动的方向为电流的方向。在岛体中电流的方向总是沿着电场方向，从高电位处指向低电位处。

3.电流强度 单位时间内通过导体任一横截面的电量叫做电流强度，用I来描述。单位：安培，简称安，用A表示。如果在一段时间Δt内，通过导体任一横截面的电量是Δq，那么电流强度就是 I=Δq/Δt 4.电流密度矢量 电流密度是一个矢量用j表示， 这矢量在导体中各点的方向代表该点电流的方向，其数值等于通过该点单位垂直截面的电流强度。表达式：j=dI/ds

通过导体中任意截面S的电流强度I与电流密度矢量的关系为： 由此可见，电流密度j和电流强度I的关系，就是一个矢量场和它的通量的关系 。从电流密度的定义可以看出，它的单位是：安培/米2

3.1.2 电流的连续方程 稳恒条件 1.电流的连续方程 在导体内取任一闭合曲面S，则根据电荷守恒定律，在某段时间内由此面流出的电量等于在这段时间内S面内包含的电量的减少。像以前表述高斯定理那样，在S面上处处取外法线，则在单位时间里由S面流出的电量应等于 设这段时间dt包含在S面内的电量增量为dq，则在单位时间里S面内的电量减少为 -dq/dt。二者数值相等，即:

上式就是电流连续方程（积分形式）。表示电流线是终止或发出于电荷发生变化的地方。其含义是如果闭合面S内正电荷积累起来，则流入S面内的电量必大于S面流出的电量，也就是说，进入S面的电流线多于从S面出来的电流线，所多余的电流线便终止于正电荷积累的地方。

2. 稳恒电流 稳恒电流指电流不随时间变化，这就要求电荷的分布不随时间变化，因而电荷产生的电场是稳恒电场，即静电场。因此，在稳恒条件下，对于任意闭合曲面S，面内的电量不随时间变化，即，dq/dt=0 ，由此得:　　　　　　　　　　　　 　　　　 上式叫做电流的稳恒条件，它表明，通过S面一侧流入的电量等于从另一侧流出的电量。电流线连续地穿过闭合曲面包围的体积。因此稳恒电流的电流线不可能在任何地方中断，它们永远是闭合曲线。

3.1.3欧姆定律 电阻 电阻率 1.欧姆定律 电阻和电导 加在导体两端的电压不同，通过导体的电流也不同。精确的实验表明，在稳恒条件下，通过一段导体的电流强度和导体两端的电压成正比，即： 这个结论叫做欧姆定律。 数学表达式：I=U/R，或U=IR。式中的比例系数由导体的性质决定，叫做导体的电阻,R=U/I。电阻的单位伏特/安培，这单位叫做欧姆，写作欧或希腊字母Ω。电阻的倒数叫做电导，用G表示，G=1/R,电导的单位是西门子。

2.电阻率和电导率 导体电阻的大小与导体的材料和几何形状有关。实验表明，对于由一定材料制成的横截面均匀的导体，它的电阻R与长度l成正比，与横截面S成反比。写成等式，有 上式中的比例系数ρ由导体的材料决定，叫做材料的电阻率。 当导线的截面S或电阻率ρ不均匀时，上式应写成下列积分式：                    由此看出阻率的单位是:欧姆·米，简写为：欧·米。 电阻率的倒数叫做电导率，用σ表示， σ=1/ρ。电导率的单位是西门子/米。

3. 欧姆定律的微分形式 我们知道，电荷的流动是由电场来推动的，因此电场j的分布和电场E的分布密切相关。它们的关系可由上述欧姆定律I=U/R 推导出。 设想在导体的电流场内取一小电流管，设其长度为Δl，垂直截面为ΔS。把欧姆定律用于这段电流管， 则有：Δl  = ΔU/R 。式中ΔI=jΔS为管内的电流强度。ΔU为沿这段电流管的电位降落，而ΔU=EΔl。R=Δl/ σS。把这些代入上式即得：j=σE。写成矢量形式为： 这个公式叫做欧姆定律的微分形式。它表明， 与 方向一致，数值上成比例。

3.1.4 电功率 焦耳定律 1.电功率 若电路两端的电压为U，则当q单位的电荷通过这段电路时，电场力所做的功为A=qU。因为q=It，所以上式可以写成A=UIt。电场在单位时间内所做的功，叫做电功率。如果用P表示电功率，那么可得 即电功率等于电路两端的电压和通过电路的电流强度的乘积。 功的单位为焦耳，功率的单位为瓦特。

2.焦耳定律 如果一段电路只包含电阻，而不包含电动机、电解槽等其他转换能量的装置，那么电场所做的功全部转化成热。这时，根据能量转化和守恒定律，则Q=A=UIt，由欧姆定律U=IR或I=U/R ，可以把上式写成:Q=I2 Rt或Q=（U2/R）t （1） 这就是焦耳定律，式中热量Q的单位为焦耳。 因为功率P=A/T=Q/t，由式（1）可以得出电流通过电阻时发热的功率： P=I2 R 或P=U2　/R　 （2）　　 注意：式（2）和式 P=UI 是有区别的，UI是一段电路消耗的全部功率，而 （2）式只是由于电阻发热而消耗的电功率。当电路中只有电阻元件时，消耗的电能全部转化成热，这两种功率是一样的。但是，当电路中除了电阻外还有电动机、电解槽等其它转换能量的装置时，这两种功率并不相等，必须分别计算。

3.1.5 金属导电的经典微观解释 如果在金属导体中加了电场以后，每个自由电子的轨迹将逆着电场发生“飘移”。这时可以认为自由电子的总速度是由它的热运动速度和因电场产生的附加定向速度两部分组成，前者的矢量平均仍为0，后者的平均叫做漂移速度，下面用 来表示它。正是这种宏观上的飘移运动形成了宏观电流。 自由电子在电场中获得的加速度为: 电子在电场力的作用下从零开始作匀加速运动，到下次碰撞之前，他获得的定向速度为: 式中 为电子在两次碰撞之间的平均自由飞行时间.

在一个平均自由程内电子的漂移速度等于自由程起点 的速度和终点的末速度 的平均，即 和气体分子运动论中一样，电子的平均飞行时间 （即平均碰撞速率 的倒数）与其平均自由程 和平均热运动速率 ,有如下关系： 所以： (1) 因为e,m, , 都与电场强度无关，故上式说明了自由电子的漂移速度 与 成正比。

如图所示，以ΔS为底， uΔt为高作一柱体，则此柱体内的全部自由电子将在Δt时间间隔内通过ΔS 。因柱体的体积为uΔtΔS ，故柱体内共有nuΔtΔS个自由电子。每个电子带电量的绝对值为e，所以在Δt内通过ΔS的电量为Δq= neuΔtΔS 从而电流强度和电流密度的数值为 ΔI=Δq/Δt = neuΔS j=ΔI/ΔS=neu 与 方向相反，上式的矢量式为 =-ne (2) ΔS uΔt j

把式（1）代入式（2），得 金属中自由电子的数密度n是常数，与 无关，因此金属导体内的电流密度 与场强 成正比，这就是欧姆定律的微分形式。由此可以看出电导率 这样，我门就用经典的电子理论结实了欧姆定律，并导出了电导率与微观量平均值之间的关系式。

§3.2电源及其电动势 1.非静电力 2.电动势 3.电源的路端电压

3.2.1非静电力 1.2节分析表明，稳恒电流线必然是闭合的。然而进一步分析可知，仅有静电场不可能实现稳恒电流。我们知道静电场的一个重要性质是 即电场力沿闭合回路移动电荷所做的功为0。由于导体存在电阻，电场力移动电荷所做的功转化为电阻上消耗的焦耳热，这就不可能使电荷再返回电位能较高的原来的位置，即电流线不可能是闭和的。结果引起电荷堆积，破坏稳恒条件。因此要维持稳恒电流，必须有非静电力。

提供非静电力的装置称为电源。用K 表示作用在单位正电荷上的非静电力。在电源的外部只有静电场E；在电源内部，除了静电场E之外，还有非静电力K，K的方向与E的方向相反。因此，普遍的欧姆定律的微分形式是:j=σ(K+E),由此可见，电流是静电力和非静电力共同作用的结果。 电源的原理 电源有两个电极，电位高的叫做正极，电位低的叫做负极。非静电力由负极指向正极。当电源的两极被导体从外面连通后，在静电力的推动下形成由正极到负极的电流。在电源内部，非静电力的作用使电流从内部由负极回到正极，使电荷的流动形成闭合的循环。

3.2.2 电动势 一个电源的电动势ε定义为把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，非静电力所做的功。用公式来表示，则有 一个电源的电动势具有一定的数值，它与外电路的性质以及是否接通没关系，它反映电源中非静电力作功的本领，是表征电源本身的特征量。电动势是标量。单位是伏特。

3.2.3 电源的路端电压 路端电压是静电场力把单位正电荷从正极移到负极所做的功，即: 这里积分路径是任意的。我们选择积分路径通过电源内部。根据式: 代入前式，得:

总结起来，电源的路端电压公式为: 放电： U=U+-U-= ε -Ir　 （1） 　　 　 充电： U=U+-U-= ε +Ir （2） 　 Ir称为电源内阻上的电位降。 （1）式表明放电时路端电压小于电动势； （2）式表明充电时路端电压大于电动势。 电动势与路端电压之差等于内阻电位降。当I=0时，内阻电位降为0，则U=ε 如果电源内阻r=0，则无论电流有无或电流沿什么方向，端电压U总等于ε，即电压是恒定的。这样的电源叫做理想电压源

§3.3简单电路和复杂电路 1.简单电路 2.复杂电路

3.3.1 简单电路 简单的直流电路包括串联电路、并联电路，以及平衡的桥路和补偿电路。实际常见的直流电路相当大一部分可以归结为这类简单电路或它们的组合。 1.串联电路 把多个电阻一个接一个地串联起来，使电流只有一条通路，这样的连接方式叫做串联。串联电路的基本特点是通过各电阻元件的电流强度I相同 2. 并联电路 把多个电路并排地接起来，使电路有两个公共联接点和多条通路，这样的联接方式叫做并联。并联的基本特点是各电阻两端有相同的电压

3.3.2复杂电路 复杂电路的定义 一个复杂电路是多个电源和多个电阻的复杂联接。 1.支路 通常把电源和电阻串联而构成的通路叫支路，在支路中电流强度处处相等。 2.节点 三条或更多条支路的联接点叫做节点或分支点。 3.回路 几条支路构成的闭合通路叫回路。 复杂电路中，各支路的联接形成多个节点和多个回路