第四章 多样本分类数据模型 在参数检验中，我们常常对三个或三个以上的总体的均值进行相等性检验，使用的方法是方差分析，在非参数分析中也会遇到同样的问题，检验多个总体的分布是否相同。更严密的说，当几个总体的分布相同的条件下，讨论其位置参数是否相等。方差分析过程需要假定条件,F检验才有效。可有时候所采集的数据常常不能满足这些条件，像多样本比较时一样，我们不妨尝试将数据转化为秩统计量，因为秩统计量的分布与总体分布无关，可以摆脱总体分布的束缚。秩方法在方差分析中的应用。

Kruskal Wallis秩和检验 例：在一项健康试验中，三组人有三种生活方式，他们的减肥效果如下： 他们的减肥效果（位置参数）是否一样？ 1 2 3 一个月后减少的重量（单位500克） Ni 3.7 7.3 9.0 3.7 5.2 4.9 3.0 5.3 7.1 3.9 5.7 8.7 2.7 6.5 5 5 4 他们的减肥效果（位置参数）是否一样？

Kruskal Wallis秩和检验思想 在比较两个以上的总体时广泛使用的Kruskal-Wallis检验，就是对两个以上的秩样本进行比较的非参数方法，实质上它是两样本比较时的Wilcoxon方法在多于两个样本时的推广。 在该测验中，首先计算全体样本中的秩，遇到数据出现相等，即存在“结”的情况时，采用“平均秩”手段让它们分享它们理应所得的秩和，再对数据(秩)进行方差分析，但构造的统计量并不是组间平均平方和除以组内平均平方和，而是KW=组间平方和/总平方和的平均数，KW表示Kruskal-Wallis统计量。

假设： KW统计量的观察值是我们判定各组之间是否存在差异的有力依据。因为我们需要检验的原假设是各组之间不存在差异，或者说各组样本来自的总体具有相同的中心(均值或中位数)。Kruskal-Wallis统计量的计算步骤为： 将 k 组数据混合，并从小到大排列，列出等级，如有相同数据则取平均等级，如果原假设为不真，某个总体的位置参数太大，则其观测值也倾向于取较大的值，则该总体的观测值的秩和也会偏大，因而导致

偏大 其中， Sn的含义： 在原假设为真的条件下，只要k大于3， KW很快地依分布趋于自由度为(k-1)的卡方分布。

检验方法 计算第j组的样本平均秩： 对秩仿照方差分析原理：得到Kruskal-Wallis的H统计量：

对比其中每两组差异: 对比其中每两组差异的时候，用Dunn(1964)年提出用： 其中 如果 那么表示i和j两组之间存在差异， ， 为标准正态分布分位数。

例：从我国上市公司中分别随机抽取了工业、商业、建筑业、交通运输业等四个行业，其在1999年的总资产报酬率如下，问四个行业资产报酬率是否有显著性差异.

要检验这四个组数据的差异性，也可以利用方差分析，但方差分析需要假定观测值服从正态分布。所以用Kruskal-Wallis检验。首先将四个组的数据混合，然后按升序排列的下表：

SPSS演示 输入数据，如图所示

按照Analyze→Nonparametric →k Independent Samples，出现以下对话框

单击Define Range按钮，出现分组变量范围确定对话框，如下图：

结果： 卡方统计量为17.053，相伴概率为0.001<0.05,说明四组样本分布存在显著差异.

Jonckheere-Terpstra检验 检验原理以及方法 假设k个独立的样本： 分别来自于k个形状相同的分布： . 假设检验问题： 至少有一不等式严格成立。

计算步骤 1. 计算 2. 计算Jonckheere-Terpstra统计量： 3. 当J取大值的时候，考虑拒绝零假设，J精确分布可以查零分布表，对于大样本，可以考虑正态近似。 1. 计算 打结的情况时，采用变形的公式：

例题：为了测试不同促销策略是否成功，某快餐连锁公司从全国连锁店中随机抽取18家连锁店，将这些连锁店随机分为三组，每组实施不同的促销策略。实行一个月后，每组中各个连锁店销售额增长率如表所示 组别1 组别2 组别3 7 13 12 1 8 20 5 9 6 3 11 17

SPSS演示 输入数据，如图所示

按照Analyze→Nonparametric →k Independent Samples，出现以下对话框

单击Define Range按钮，出现分组变量范围确定对话框，如下图：

结果： J统计量为86，相伴概率为0.01<0.05,说明三组样本观察值呈现上升趋势。

区组设计概述

BIB例： 区组 处理 I II III IV A 34 28 36 B 30 45 C 40 48 60 D 44 54 59

完全区组设计：Friedman秩和检验 Friedman检验也称Friedman 检验，是1937年Friedman提出的检验方法。它是检验K个总体的分布中心是否有差异。Friedman提出的检验方法是独立地在每一个区组内各自对数据进行排秩。 例如美国通用、福特与克莱斯勒汽车公司5种不同车型的某年产品油耗情况如表所列，数据分析关心的问题之一是三个公司汽车耗油有无差异

例：3个汽车公司5种不同车型某年产品油耗情况 如果三个汽车公司不同车型的油耗没有差异，则每种公司的排序是随机的。否则每个公司的排序会有倾向。

Friedman秩和检验 假设检验问题：

Friedman秩和检验-基本方法 1、每一区组中计算各处理的秩 2、处理在各区组中的秩相加， 倘若k种处理不存在差异，那么无论从哪一个区组去观察，每一种处理所得到的数据在该区组内可能地排秩为1至k中的任何一个数。因此，假如原假设为真的话，对每一个i， 应与 相距不远，或者其秩平均 =Ri/n应与(k+1)/2相距不远。仿照方差分析的讲法，由处理产生的“秩变异平方和”:

当原假设为真， 应该比较小。反之，若该平方和较大的话，则为拒绝原假设提供有力证据。 2、统计量 这个平方和究竟怎样算大怎样又算小，统计学的常规处理手法之一还是将它与另外的z平方和或平均平方和来比较，Friedman检验统计量就是将这个平方和除以秩的整体平均平方和，得

例：企业邀请广告公司拍了4个广告片，分别为A,B,C,D,并邀请4名专家对广告片的创意水平进行评分，具体评分结果如下表所示： 编号 广告A 广告B 广告C 广告D 1 86 89 91 2 87 93 3 85 95 4 84 92 分析通过专家对4个广告片创意水平的评分，企业应当选择哪个广告片进行广告投放？

H0：广告片A,B,C,D创意水平的评分没有显著差异 H1:广告片A,B,C,D创意水平的评分存在显著差异 构造每个样本各个指标观察值的秩以及秩和Rj,j=1,2,3,4,如下表所示： 编号 广告A 广告B 广告C 广告D 1 1.5 3 4 2 2.5 秩和 R1=6 R2=15 R3=12 R4=7

SPSS演示 输入数据，如图所示

按照Analyze→Nonparametric →k Related Sample顺序选中多个相关样本非参数计算模块，出现以下对话框

结果： 卡方值为8.757，相伴概率为0.033小于0.05，所以4个广告作品创意水平的评分存在显著差异。

多元变量协同系数检验 在实际生活中，经常需要按照某些特别的性质来多次(m次)对n个个体进行评估或排序，比如m个裁判者对于n种品牌酒类的排队，m个选民对n个候选人的评价，m个咨询机构对一系列(n个)企业的评估以及体操裁判员对运动员的打分等等。人们往往想知道，这m个结果是否多少一致。如果很不一致，则这个评估多少有些随机，没有多大意义。令零假设H0为：“这些评估(对于不同个体)是不相关的或者是随机的”。而备择假设H1为：“它们(对各个个体是正相关的或者是多少一致的。”这里完全有理由用前面的Friedman方法来检验，Kendall一开始也是这样做的，后来，Kendall和Slith提出了协同系数。

这里S是个体的总秩与平均秩的偏差的平方和，每个评估者(共m个)对于所有参加排序的个体有一个从1到n的排列(秩)，而每个个体有m个打分(秩)，记Ri为第i个个体的秩的和，(i=l，…，n)，则

因为总的秩为m(l＋…＋n)=mn(n＋1)／2，平均秩为m(n＋l)／2， Kendall协同系数W还可以写成下面的形式： 上面右边的表达式计算起来较方便，W的取值范围是从0到1，对W和S都有表可查，当n大时，可以利用大样本性质：在零假设下，对固定的m，当n→∞时，

下面是4个独立的环境研究单位对 10个城市空气等级排序： W的值大(显著)，意味着各个个体在评估中有明显不同，这样所产生的评估结果是有道理的；而如果W不显著，意味着评估者对于诸位个体的意见很不一致，则没有理由认为能够产生一个共同的评估结果。 下面是4个独立的环境研究单位对 10个城市空气等级排序： 计算结果为W=0.8530，卡方值等于30.709。在零假设下，利用卡方近似的p值为0.0003，因此，可以对大于或等于该值的水平拒绝零假设，也就是说，这个评估是有道理的。

练习：在某次自由体操的比赛上，6名国际裁判对10名参赛选手的评分等级如下表： 裁判A 裁判B 裁判C 裁判D 裁判E 裁判F 1 5 2 3 7 8 4 6 9 10 问：裁判的打分是否一致？

关于二元响应的Cochran检验 社会经济中的有些数据经常以序数面目出现，尤其是民意调查或市场调查中，需要被调查者在某个问题中圈定等级，回答“是”或“否”。不管怎样，只要使获得的数据能以两种方式归类就可以。本节只考虑完全区组设计的一个极重要的特殊情况—观察值仅取两个值之一。例如，“是”与“否”，“+”与“-”，“成功”与“失败”等。通常以1表示成功，0表示失败，于是每一个区组由k个0或1构成。我们以Lj表示第j个区组内成功的次数(1的个数)而以Bi表示第i种处理中成功的次数(1的个数)，若想检验各种处理的反应是否有差异，用类似于Friedman检验这样的方法将这些0、1数据转换为秩统计量的话，相当于几乎每个区组内排秩时都存在着“结”。

Cochran为此引进如下统计量：

练习：设有A,B,C三种榨汁机分别给10位家庭主妇使用，用以比较三种榨汁机喜爱程度是否相同。对于喜欢的品牌给1分，否则给0分，调查结果如下表所示： 主 妇 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 和 A B C 17

完全区组设计：Page 检验

检验统计量：

>

Durbin不完全区组分析 原理：可能存在处理非常多，但是每个区组中允许的样本量有限的时候，每一个区组中不可能包含所有的处理，比如重要的均衡不完全区组BIB设计。Durbin检验便是针对这种问题。 表示第i个区组第j个处理中的观测值， Rij 为在第i个区组中第j个处理的秩，计算：

构造统计量： 当D值较大的时候，可以考虑拒绝零假设，认为处理之间存在差异。在零假设成立时，大样本情况下，D近似服从分布 。打结的时候，只要长度不大，对结果影响不太大。

解答：

不完全秩评定的Kendall协和系数