第十二章 合作賽局的要素

本章大綱 12.1 要買我的腳踏車？ 12.2 可信的承諾 12.3 土地聯合開發 12.4 解集 12.5 核 12.6 通勤共載 12.7 政治結盟 12.8 國際聯盟賽局的另一個觀察

本章觀念預讀 合作賽局與合作解：若一賽局中的參賽者可以定出彼此約制的協同策略組合，即稱作合作賽局，合作賽局的解稱為合作解。 聯盟：一群參賽者聯合協調彼此的策略稱為一聯盟。 補償給付：為了使一聯盟中的成員不致因採取協同策略而獲利變差，乃將某成員的部分報酬移轉給另一成員，稱為補償給付。 解的概念：合作賽局的解有很多，但本章只介紹最常被用到的兩個概念：第一個是解集，其包含所有效率的組合；第二個是核，係指所有那些不存在於任何一個人或是群體有誘因傷害原組合穩定性的效率組合。

合作與非合作賽局以及對應的解 若一賽局中的參賽者可以定出彼此制約的協同策略組合，即稱之為合作賽局；否則，就是一非合作賽局。合作賽局的解稱為合作解，而非合作賽局的解則稱之為非合作解。

要買我的腳踏車？ (1/2) 以兩個小孩間的交易賽局為例。假設喬伊沒有錢，只有一輛對他而言價值80美元的腳踏車；而米奇則是只有錢（100美元），沒有腳踏車，而且他評估腳踏車的價值是100美元。 補償給付 為了使一聯盟中的成員不致因採取協同策略而獲利變差，乃將某成員的部分報酬移轉給另一成員，即稱之為補償給付。

要買我的腳踏車？(2/2) 解集 在一個存在補償給付的合作賽局中，解集係指一包括協同策略、報酬以及補償給付的組合，在此組合下，全體參與者的報酬總和將達到最大。

表12.1 交易賽局的報酬

圖12.1 喬伊與米奇的報酬

可信的承諾 新古典經濟學 新古典經濟學係一總體經濟思想的學派，主要論點在於重述與更新古典經濟學的主張，包括強調貨幣與市場效率在總體經濟的重要性。 在超過兩人的合作賽局中，參與者可能形成多個聯盟。但是，當欠缺可信的承諾時，將只有由納許均衡支撐的聯盟會被形成。

土地聯合開發(1/3) 聯盟結構 將所有參賽者分割為一個或數個聯盟，就是一聯盟結構。 大聯盟 包含所有參賽者的聯盟，稱為大聯盟。 單一聯盟 在一合作賽局中，一參賽者自成一聯盟，稱為一單一聯盟。

土地聯合開發(2/3) 合作賽局的核 所謂一合作賽局的核，係指某一聯盟結構，在此結構下，沒有個人或群體有誘因離開原來聯盟，組成新聯盟（包括單一聯盟）。 核與解集的關係 在任一合作賽局中，核是解集的子集合，亦即核可能等於解集，或被包含於解集，或者核是一空集合。

土地聯合開發(3/3) 效用可移轉 當我們說一個賽局是效用可移轉時，就是指若主觀報酬（效用）與貨幣報酬密切相關，則藉由貨幣的移轉，將可調整聯盟成員的主觀報酬。按此，補償給付在效用可移轉賽局中是可行的，而在效用不可移轉賽局中則是不可行的。

表12.2 土地開發賽局的報酬（第一例）

表12.3土地開發賽局的報酬（第二例）

重要觀念顯微鏡 若一個賽局具有補償給付機制，則此賽局的解集包括所有使聯盟獲得最大報酬的協同策略。而這隱含了相較於其他策略，使用解集中的策略，得以在不傷害其他人的情況下，使其中一人變得更好。按此，其他的策略不是效率的，而解集則是所有效率策略、聯盟與所對應的報酬的集合。 如果解集不是空集合，則理性與自利的賽局參與者不會採用不效率的協同策略，而將採取解集中的策略，以使每一個人都變得更好。

解集 馮紐曼與摩根斯坦於創立賽局理論時，曾引用新古典經濟理論，認為合作賽局的解必定是效率(efficient)解。 效率（柏拉圖最適） 在新古典經濟理論中，若指一配置是一個效率配置，意謂不存在任何其他分配方式，在不傷害其他人的情況下，可使其中一人變得更好。

重要觀念顯微鏡 在土地開發例中，傑的角色一直未被討論。但事實上，我們可以將傑看作是土地開發聯盟的設計者、協調者與掮客，而其角色的主要功能就是提出一個效率且穩定的聯盟結構。 讀者可能認為配置應該符合「公平」，但是，公平的概念有很多，而且大多是缺乏客觀，同時也是任意的。

核(1/2) 聯盟優勢 在某一聯盟結構A中，若個人或群體因離開原來聯盟而變得更好，我們即稱離開後所形成的新的聯盟結構B優於聯盟結構A。 如果賽局是一個效用可移轉賽局，那麼透過補償給付的安排，的確可使聯盟的成員變得更好。若不存在任何聯盟結構優於一聯盟結構C，我們即稱C是未被劣勢化的。

核(2/2) 一合作賽局的核 一合作賽局的核係指所有未被劣勢化的聯盟結構與所對應的配置。若一賽局不存在未被劣勢化的聯盟結構，此賽局的核即為空集合。 一個合作賽局的核可能包括多個聯盟結構。一個合作賽局的核可能是空集合，亦即在此一賽局中，不存在穩定的聯盟結構，換句話說，在此一賽局中的任一聯盟結構，都存在著個人或群體背離原來聯盟的誘因。 一個合作賽局的核若是空集合，稱之為空核賽局。

通勤共載(1/2) 安娜、包柏、卡羅以及唐任職於西費城大學，他們每天都必須從費城西郊開車至西費城大學。此時，他們正在考慮是否應該採取共載模式來通勤，以節省汽油以及減少汽車耗損。 如果共載，哩程數勢必會增加，這是共載通勤的缺點。 如果由卡羅開車載唐（距離最短），問題會比較簡單 如果輪到由唐開車載卡羅時，唐必須先往北開，載到卡羅後，再往南開到西費城大學。 另外一個共載聯盟（包柏, 安娜, 唐），難度更高。

通勤共載(2/2) 特點 與分析效用移轉賽局相同的是，當我們分析效用不可移轉賽局時，重點不在於探討各聯盟的協同策略（如何選擇共載通勤的路徑、如何輪流開車等），且在分析之前，須先假設已經算出各聯盟在最適協同策略下對應的報酬。 在此例中的報酬是主觀的，每個人的報酬是序列而非計數的。在經濟學中，採用「等價無異」的觀念是處理主觀偏好選擇的方法。 通勤共載賽局並不存在補償給付機制，因此，並不是一個效用可移轉賽局。而一個賽局若為效用可移轉，係指若主觀報酬（效用）與貨幣報酬密切相關，則藉由貨幣的移轉將可調整聯盟成員的主觀報酬。 一個優於另一個聯盟結構的結構，可能劣於其他聯盟結構，而未能存在於賽局的核中。

圖12.2 到西費城大學的通勤路線

表12.4 通勤共載賽局的報酬（以自己開車的負報酬作為標準單位）

政治結盟 以實施內閣制的中歐共和國為例 即使欠缺補償給付機制，遵循定義仍可解出效用不可移轉賽局的解集與核。但有趣的是，效用不可移轉賽局的解集可能比效用移轉賽局來得大。因此，就會有比較多符合柏拉圖效率的結構。 在效用不可移轉賽局中，不論是分析解集或是核，所考慮的都將是個別參與者的報酬而非聯盟的總報酬。

表12.5 中歐共和國國會的 政黨

表12.6 中歐共和國國會下個會期法案與政黨對法案的支持強度

表12.7 中歐共和國國會政黨聯盟與報酬

國際聯盟賽局的另一個觀察 臨灣國家如何結盟的例子 「核」這個概念的限制之一是：並不是所有賽局都存在核。但是，空集合則是賽局理論中諸多有關「解」的概念的共同缺陷。

表12.8 臨灣三國軍力部屬之結盟與報酬（複製自表6.1）

本章摘要 一個合作賽局，是指參與者得以做出可信的承諾，或是彼此制約，而採取協同策略。 合作賽局的解有很多，最常被使用的兩個概念 第一個解的概念是解集。 第二個解的概念：核。 「穩定的聯盟為何？」這樣的問題，核是一個相當理想的概念，但美中不足的是，有些賽局的核是空集合。 雖然解集與核並不能回答所有合作賽局的問題，這兩個概念是分析合作賽局的重要利器。