第七章　　FIR数字滤波器设计 滤波器的设计师依据某种准则设计出一个频率特性去逼近于指标要求的滤波器系统函数 或频率响应 。 FIR滤波器的设计就在于寻找一个频率响应函数 去逼近所需要的指标，逼近方法主要有四种： 傅里叶级数展开 窗函数法 （时域逼近） 频率采样法 （频域逼近） 等波纹逼近 （最优化设计）  

7.1 傅里叶级数展开法设计FIR滤波器 设希望设计的滤波器频率响应函数为 ，用傅里 叶级数展开 是傅里叶系数: 设希望设计的滤波器频率响应函数为 ，用傅里 叶级数展开 是傅里叶系数: hd(n)是无限时宽，且为非因果，这样的系统不能实现。   对hd(n)截短，并移位 。

例7.1 用傅里叶级数展开法设计一个FIR滤波器，其理想频率特性为     要求: 给出理想冲激响应序列和可实现滤波器的h(n)； 构造长度分别为N＝17和39的线性相位滤波器。 解：(1)相应的单位脉冲响应序列hd(n)为   新·未来青年论坛暨2015微软学生夏令营 hd(n)是无限时宽，非因果序列 可实现滤波器的h(n)     以(N-1)/2对称(线性相位)。  

(2) 例7.1FIR低通数字滤波器取N=17冲激响应序列h(n)       滤波器的频率响应  

7.2 窗函数设计法 [**] 　　时域的突然截断，破坏了级数的收敛性，产生了吉布斯现象 。需要选择一个合适的窗序列w (n) 与hd(n)相乘，即 h(n)=hd(n)w (n) 频域卷积定理   例7.2 周期卷积      

窗函数设计法就是通过改变窗函数的形状，使h(n)逼近理想滤波器的冲激响应序列hd(n)。  

设计步骤：      

下面以一个截止频率为 ωc的线性相位理想低通滤波器为例,讨论FIR的设计问题。 加窗后的单位响应序列为 h(n)=hd(n)w (n) 频域卷积定理   下面以一个截止频率为 ωc的线性相位理想低通滤波器为例,讨论FIR的设计问题。 例7.2   给出理想滤波器的冲激响应序列　　　和可实现滤波器的h(n)  

结论：设计出来的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性Hd(ω)与矩形窗幅度特性Rd(ω)的卷积。     理想特性的|Hd(ejω)|和hd(n)   ωc -ωc ω |Hd(ejω)| 1 hd(n) n   结论：设计出来的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性Hd(ω)与矩形窗幅度特性Rd(ω)的卷积。

    b.计算 hd(n) n RN(n) n N-1 其中   h (n) n

c. 计算 设 为窗函数的频谱: 用幅频函数和相频函数来表示，则有 其线性相位部分 则是表示延时一半长度

对频响起作用的是它的幅度函数 矩形窗函数及其幅频函数

如果也以幅频函数 和相频函数来表示 H(ejω),     如果也以幅频函数 和相频函数来表示 H(ejω), 则实际FIR滤波器的幅度函数H(ω)为 正好是理想滤波器幅频函数与窗函数幅频函数的卷积。      

Hd(ω)与wR(ω)卷积形成H(ω)的过程              

4个特殊频率点的卷积结果：  

窗函数对理想特性的影响： ①改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为 ，等于WR(ω)的主瓣宽度。（决定于窗长） ②过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于WR(ω)的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰强，与 N无关。（决定于窗函数形状）

③N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。 因主瓣附近 其中x=Nω/2,所以N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改变WR(ω)的绝对值大小和起伏的密度，当N增加时，幅值变大，频率轴变密，而最大肩峰永远为8.95%，这种现象称为吉布斯（Gibbs）效应。

通带内的波动影响滤波器通带的平稳性；阻带内波动影响阻带的衰减，可使最小衰减不满足技术要求。 改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有许多种，但要满足以下两点要求： ① 窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带； ② 相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。 但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。

(1) 矩形窗 (Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 其频率响应为 几种常见的窗函数 (1) 矩形窗 (Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 其频率响应为   ω

(2) 三角窗 (巴特利特(Bartlett)窗)     ω

(3) 升余弦窗   利用傅里叶变换的移位特性，升余弦窗频率响应函数 可用矩形窗函数表示为：     幅度函数  

主瓣宽度为8/N，第一旁瓣比主瓣低33dB。   主瓣宽度为8/N，第一旁瓣比主瓣低33dB。   ω

    它是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度（对应第一零点的宽度）相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在窗谱的主瓣内。   ω

(4)布莱克曼 (Blackman )窗(二阶升余弦窗)             ω

五种常用窗函数的时间特性

      零阶修正贝塞尔函数  

凯塞窗参数对滤波器的性能影响 主瓣过渡带 最小阻带衰减(dB) 2.117 3.072 π/N -30 3.395 4.464 π/N -40 4.551 5.856 π/N -50 5.653 7.250 π/N -60 6.755 8.462 π/N -70 7.857 10.034 π/N -80 8.959 11.428 π/N -90 10.061 12.820 π/N -100

六种窗函数的基本参数

1．确定希望逼近的滤波器的频响函数Hd(ejω),根据 Hd(ejω)确定其对应的单位脉冲响应hd(n) 窗函数法的设计步骤 1．确定希望逼近的滤波器的频响函数Hd(ejω),根据 Hd(ejω)确定其对应的单位脉冲响应hd(n)   (1) Hd(ejω)可封闭求解，则：   IDFT    

(3) 如果已知通带(或阻带)衰减和边界截止频率ωc，选理 想滤波器作为逼近函数，对理想滤波器频响函数作 IFT ， 求出 hd(n)。     2、选择窗函数 根据过渡带与阻带衰减的要求，选择满足条件的窗函数形式，并估计窗口长度N。原则是保证阻带衰减的前提下，尽量选主瓣窄的窗函数。

3、计算所要设计的滤波器的单位采样响应h(n) 计算滤波器的单位取样响应 h(n)= hd(n)w(n)。其 中 w(n)是上面选择好的窗函数，hd(n)与w(n)都应满足 线性相位要求。 4、验证技术指标是否满足要求 验证设计出的滤波器的频率响应 是否满足设计要求，若不满足要求，重复上面2，3，4过程。  

满足设计要求，则设计完毕，不合格则修改窗函数 加窗截断 IFT FT Hd(ejω) hd(n) h(n) H (ejω) 比较 满足设计要求，则设计完毕，不合格则修改窗函数 窗函数法优点： 从时域出发的一种设计方法，设计简单，方便， 实用。 缺点是： N 需要足够大，边界频率不易控制。

    解：理想滤波器的频响为： 单位脉冲响应hd(n)为:    

加矩形窗：h(n)=hd(n).RN(n) 计算得： n=0 hd(n)＝{…，0，1/9π，0，－1/7π，0， 1/5π， 0，－1/3π， 0， 1/π， 0.5， 1/π， 0， -1/3π， 0， 1/5π，0， -1/7π，0， 1/9π，0 ，…} 加矩形窗：h(n)=hd(n).RN(n) h(n)＝{0，1/9π，0，－1/7π，0， 1/5π， 0，－1/3π， 0， 1/π， 0.5， 1/π， 0， -1/3π， 0， 1/5π，0， -1/7π，0， 1/9π，0 } h(n)＝{ 0，0.0354，0，-0.0455，0，0.0637，0，-0.1061，0，0.3183， 0.50， 0.3183，0， -0.1061，0，0.0637，0，-0.0455，0，0.0345，0 }

20lg|H(ω)/H(0)|曲线： 正肩峰A点：ωc- 2π/N＝0.5π- 2π/21 20lg(1.0895) = 0.74dB 临界频率B点：ωc＝0.5π 20lg(0.5) = -6dB 负肩峰C点：ωc＋2π/N＝0.5π＋2π/21 20lg(0.0895) = -21dB 过渡带A~C宽度为： ωc＋2π/N－ (ωc-2π/N) = 4π/N = 0.19π

= ？ 如何解决窗函数设计法存在的问题？ 可以对任意一个频率都可以用频率采样的方式去逼近它。 有限长序列的离散 时间傅立叶变换 M 点 单位圆上取N点（频率采样） = ？ N 点 离散傅立叶反变换 44

FIR滤波器的频域设计方法 — 频率采样法 给定频域上的技术指标，可以采用频域设计更直接。 频域采样 Hd(ejω) H (ejω)   45

7.3 频率采样法 [**] 一、基本思想 给定频域上的技术指标，可以采用频域设计更直接。 7.3 频率采样法 [**] 给定频域上的技术指标，可以采用频域设计更直接。 一、基本思想 使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频率点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值，在其它频率处的特性则有较好的逼近。 内插公式

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问题： H(z)经采样后，信息有无损失？ 能否由H(k)代替 ？ 由 H(k) 的傅里叶反变换得到的 是否能代表 ? 频域采样不失真的条件： 是否能代表 ? 频域采样不失真的条件： 当 为长度M, 只有NM时, 才能不失真的恢复信号, 即 48

逼近误差 由 得到了H(z) 或 。要讨论 与 的逼近程度，以及 与H（k）的关系？ 由 (讨论频域采样)

令 ，则

单位圆上的频响为： 这是内插公式。

式中 为内插函数 令 则

内插公式表明: 在每个采样点上, 逼近误差为零，频响 严格地与理想频响的采样值 H(k)相等； 在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭加而形成， 因而有一定的逼近误差，误差大小与理想频率响应的曲线形 状有关，理想特性平滑，则误差小；反之，误差大。在理想 频率响应的不连续点附近， 会产生肩峰和波纹。 N增大，则采样点变密，逼近误差减小。

二、 设计方法 等间隔采样 IDFT Hd(ejω) Hd(k) h(n) 内插函数 H(ejω) 是否满足指标

1）确定 2）计算 3）计算 并得到

三、 线性相位约束条件 为了设计线性相位的FIR滤波器，采样值 H(k)要满足一定的约束条件。 三、 线性相位约束条件 为了设计线性相位的FIR滤波器，采样值 H(k)要满足一定的约束条件。 前已指出,具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响应h(n)是实序列，且满足 ，由此得到的幅频和相频特性，就是对H(k)的约束。

用理想滤波器作为逼近滤波器，截止频率为ωc，采样点数为N，则Hk和θk 的计算公式为： 设计方法： 用理想滤波器作为逼近滤波器，截止频率为ωc，采样点数为N，则Hk和θk 的计算公式为： kc取小于等于 ωcN /2的最大整数 （1）h(n)偶对称，N为奇数时： Hk = HN-k = 1， k=0，1，…，kc； Hk = 0， k= kc+1，kc+2，…，N-kc-1； k=0，1，…，N-1； （2）h(n)偶对称，N为偶数时： Hk = 1， k=0，1，…，kc； Hk = 0， k= kc+1，kc+2，…，N-kc-1； k=0，1，…，N-1； HN-k = -1， k=0，1，…，kc；

由前面计算出的Hk和θk的值可构造出 H(k) k=0，1，…，N-1； 等效于在[0，2π] 上的N个采样值 对 H(k) 进行 IDFT变换，求出 h(n)； 由 h(n)可求出所设计滤波器的频响 H(ejw)

设待设计的滤波器为Hd(ejω)，对应的单位取样响应 为hd(n) 三、误差分析与改进措施 设待设计的滤波器为Hd(ejω)，对应的单位取样响应 为hd(n) 1、从时域分析误差 频域采样定理：在频域0~2π之间等间隔采样N点，利用IDFT得到的h(n)。 分析：如果Hd(ejω)有间断点，则hd(n)是无限长的，这样得到的h(n)产生时域的混迭，无法逼近hd(n)。 改进措施：增大N值，使设计出的滤波器愈逼近待设计Hd(ejω)。

频率域等间隔采样得到N个采样值H(k)，频响函数和H(k)的关系为 2、从频域分析误差 频率域等间隔采样得到N个采样值H(k)，频响函数和H(k)的关系为 内插公式 内插函数 误差分析： 在采样点ω =2k/N，k=0,1,…,N-1处，(ω -2k/N)=1，因此采样点H(ejωk)与H(k)相等，逼近误差为0。 在采样点间，H(ejω)由有限项H(k)与(ω -2k/N)之乘积和形成，其误差与Hd(ej ω)平滑度有关，越平滑，误差越小。 特性曲线间断点处，误差最大，表现形式为间断点用斜线取代，且间断点附近形成振荡特性，使阻带衰减减小，有可能满足不了技术要求。

减小误差措施 (1)增大N值，但间断点仍无法弥补，带来体积增大，成本增加。 (2) 在频响间断点附近区间内插一个或几个过渡采样点，使不连续点变成缓慢过渡，虽然增加了过渡带带宽(代价），但增加了阻带衰减(收获)。过渡带的优化要借助于计算机优化设计。

总结：频率采样法设计线性相位FIR滤波器步骤 1、根据ωc 及N的奇偶性，确定滤波器 Hk和 k及kC值； 2、由H(k) = Hkejk，求出 H (k)； 3、对 H (k) 进行 IDFT变换，求出 h(n)； 4、由 h(n) 求出所设计的滤波器的频率响应 H(ejw)，并 分析误差，优化设计。

由幅度和相位特性，得到FIR DF的采样值为 例：试用频率采样设计法设计一个FIR线性相位低通滤波 器，已知：ωc =0.5π，N=51。画出 |Hd(ejw)|， |H(k)|, 20lg|H(ejw)|曲线。 解：在0～0.5π和1.5π～2π处的幅度函数为1，其余为0 。采样频率为：2π/N＝ 2π/51， ωc×51/2π＝12.7，所以kc 取值12。 Hk＝ 1 0≤k≤12 和 39≤k≤50 13≤k≤38 (k) =  k(N-1)/N＝－50k/51 由幅度和相位特性，得到FIR DF的采样值为 H(k)＝ Hkejk ＝ e－j50K/51 0≤k≤12 和 39≤k≤50 13≤k≤38

画出 |Hd(ejw)|， |Hd (k)|的曲线如下图 所示

20lg|H(ejw)|曲线如下图所示 - －

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可以看出， H(ejω)过渡带宽为一个频率采样间隔 2π/33，而其最小阻带衰减略小于20dB。 70

1）加宽过渡带宽 以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。 增大阻带衰减三种方法： 1）加宽过渡带宽 以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。 k=9和k=24处各增加一个过渡带采样点H9=H24=0.5，使过渡带宽增加到二个频率采样间隔4π/33，重新计算的H(ejω) 阻带衰减增加到约 -40dB。 71

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红色为H9=0.3904 . .   30

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频率采样法特点： 优点： (1) 可以在频域直接进行设计，并且适合于最优化设计； (2) 特别适合于设计窄选频滤波器，因为只有少数几个非 零值的H(k)，因而设计计算量小。 缺点： 采样频率只能等于2π/N的整数倍，因而不能确保制 止频率的自由取值，要想实现自由地选择截止频率，必须 增加采样点数N，但这又使计算量加大。

７.4 　FIR滤波器的实现结构 １、直接型 77

２、级联型 ３、FFT变换型 78

４、频率采样型（递归结构） 79