3.3 力的合成與分解

對抗 為甚麼小狗沒有移動？ 作用於小狗的力怎樣相加在一起？ 因為不同的力互相抵銷了，所以沒有淨力 作用於小狗上。

1 力的合成 合力 – 兩個或以上作用於物體的力相加起來， 當作一個單一的力 – 合力對物體的影響，相等於原本的力對 物體影響的總和 – 可以大於或小於原本每個力的量值

大於原本每個力的量值 小於原本每個力的量值

如位移，力 未必可直接相加。 i.e. 2 N + 5 N = ??? N 未必等如 7 N 可能等如 3 N, 3.1 N, 3.2 N ……………... ……………… 6.8 N, 6.9 N, 7 N

力可用「首尾連接法」相加起來。 例：把 F1 和 F2 相加 F2 F1 F1 + F2

力亦可用「平行四邊法」相加起來。 F2 F1 + F2 F1

用作圖法找出合力時，應按照正確的方向和比例，在圖表紙或方格紙上繪畫代表力的箭號。 a 用作圖法找出合力 用作圖法找出合力時，應按照正確的方向和比例，在圖表紙或方格紙上繪畫代表力的箭號。 例 1 5 N 2 N 7 N 比例：1 cm = 1 N

例 2 2 N 5 N 53o 比例：1 cm = 1 N 6.4 N 39

5 N 3 N 合力 R = ??? N 比例 1 cm = 1 N 3 cm R = 5.8 cm R = 5.8 N  = 31o  5 cm

合力 R = ??? N 5 N 3 N 45o 5 N 3 N 150o 合力 R = ??? N

例題 3 弓弦的張力 = 34 N 作用於箭的力的總和 = ？ 合力矢量的長度 = 4.8 cm 合力 = 4.8  10 = 48 N （與水平方向成 45 傾角。）

b 用代數法 找出合力 兩個互相平行的力的合力 情況 1： 兩個相同方向的力 量值：兩者量值的總和 方向：與兩者的方向相同

情況 2： 兩個相反方向的力 量值：兩者量值的差 方向：與量值較大的力相同

e.g. 5N 3N 8N 8N 5N 3N 2 N 6 N 5 N 2 N 13 N 6 N 5 N 2 N 1 N

兩個互相垂直的力，可藉畢氏定理用代數法相加起來。 兩個互相垂直的力的合力 兩個互相垂直的力，可藉畢氏定理用代數法相加起來。 例：把 F1 和 F2 相加 F1 + F2 F2 F1 模擬程式

例題 4 作用於小魚的合力的量值和方向 = ？ 繪畫一個長方形。 合力的量值 = 53.9 N  = 68.2o

繪畫並找出合力。 合力： 量值 = ________ 角度 = _______________ 進度評估 3 – Q1 4.1 N 1 cm = 1 N 76 4.1 N 合力： 量值 = ________ 角度 = _______________ 與水平成 76.0 角

每根繩索的張力 = 120 N 合力的量值 = ？ 根據畢氏定理， 合力的量值 = ____________ = ________ 進度評估 3 – Q2 每根繩索的張力 = 120 N 合力的量值 = ？ 根據畢氏定理， 合力的量值 = ____________ = ________ 2 120 + 170 N

如不是 90o ，如何計算 ? F1 40o F2 FR = ?? 餘弦和正弦定律(Cosine and Sine law)(超出範圍) 分解力

c a b    c2 = a2 + b2 – 2ab cos() b2 = a2 + c2 – 2ac cos() 餘弦和正弦定律： c a b    c2 = a2 + b2 – 2ab cos() b2 = a2 + c2 – 2ac cos() a2 = c2 + b2 – 2cb cos() c b a sin() sin() sin() = =

挑戰： FR=160 N  =24.2o FR=?? 80 N 125o =?? 100 N

反之,亦可把一個力分拆成兩個力，這兩個力對物體的整體影響，相等於原本的力對物體的影響 2 力的分解 二個力可合併為一個力 3 N 4 N 5 N =36.9 反之,亦可把一個力分拆成兩個力，這兩個力對物體的整體影響，相等於原本的力對物體的影響

如何分拆?? 我們通常會把力分解成互相垂直的分量。

a 用作圖法把力分解 例：沿 x 軸和 y 軸分解 F 為長方形的對角線。 Fx 和 Fy 的長度可以直接量度出來。

例 比例: 1 cm = 1 N 5 N =36.9 Fy = 3 cm = 3 N Fx = 4 cm = 4 N

b 用代數法把力分解  Fx = F cosθ  Fy = F sinθ

例 Fy = 3 N Fx = 5 cos 36.9o Fx = 4 = 4 N Fy = 5 sin 36.9o = 3 5 N =36.9 Fy = 3 N Fx = 5 cos 36.9o Fx = 4 = 4 N (粗畧繪圖一個長方形) Fy = 5 sin 36.9o = 3

例題 5 一個 20 N 的力拉動行李箱。 拉力沿水平方向的分量 = ？ Fx = F cos 30 = 20  cos 30 = 17.3 N

加： 拉力沿垂直方向的分量 = ？ Fy = F sin 30 = 20  sin 30 = 10 N

如何應用於合併二個或多個力 若兩個力不是互相垂直： - 先把每個力分解成分量， - 再利用各分量計算合力。

找出合力。 進度評估 3 – Q1 Fx = 3.009 – 2 = 1.009 Fy = 3.993 F F = 4.12 N Fy 5 cos53o = 3.009 5 sin53o = 3.993 5 N Fx = 3.009 – 2 = 1.009 Fy = 3.993 53o 2 N F F = 4.12 N Fy Fx F  tan  = Fy Fx 1.009 3.993 =  = 75.8o

例題 6 作用於小魚的合力 = ？ 把 50 N 力分解成兩個互相垂直的分量： x 軸： Fx = 50 cos 53 – 20 = 10.1 N y 軸： Fy = 50 sin 53 = 39.9 N

= 41.2 N 合力的量值是 41.2 N ，與小魚右方水平成75.8 傾角。

例題 7 繩子的兩端 A 和 B 在同一水平。 C 是繩子的中點。 衣服連掛衣架的總重量= 5 N 繩子的張力 = ？

沿垂直方向， 淨力 = 0 T cos 80 + T cos 80 – 5 = 0 2T cos 80 = 5 T = 14.4 N 繩子的張力是 14.4 N。

更多：找出各繩子的張力(習題與思考 3.3 Q.14) 30o 30o 30o 45o 45o 60o 10 N 10 N 10 N

例題 8 一架重量為 150 N 的單車在斜坡上靜止不動，斜坡與水平的夾角是 30。 (a) 求重量沿路面方向，以及沿垂直路面方向 的分量。

沿路面方向： W 的分量 = W sinθ = 150  sin 30 = 75 N 沿垂直路面方向： W 的分量 = W cosθ = 150  cos 30 = 129.9 N

(b) 求摩擦力 f 和法向力 R。 單車是靜止的  淨力 = 0 沿路面方向： f = W sinθ  f = 75 N 沿垂直路面方向： R = W cosθ  R = 129.9 N

例題 8b 一架重量為 180 N 的單車在斜坡上靜止不動，斜坡與水平的夾角是 20。 (a) 求重量沿路面方向，以及沿垂直路面方向 的分量。 (b) 求摩擦力 f 和法向力 R。

進度評估 4 – Q1 綁在欄杆的小狗嘗試逃走。 以下哪個小狗的隔離體圖 是正確的？ A B C

平行於桌面的 分量 F = ____  _______ cosθ 進度評估 4 – Q2 釋放砝碼後，會有甚麼事情發生？ F=W cosθ θ 張力= W 摩擦力 繩子的張力是 ____。 W W 平行於桌面的 分量 F = ____  _______ cosθ

若 F 比作用於玩具的 ________ 大，玩具會滑向桌邊。 進度評估 4 – Q2 摩擦力 若 F 比作用於玩具的 ________ 大，玩具會滑向桌邊。 玩具滑近桌邊時，角度 （增大 / 減小）。 因此，分量 F（增大 / 減小）。

摩擦力 = 20 N 推力的量值 = ？ 進度評估 4 – Q3 一名工人剛好能夠將 500 N 的重物推上與水平面成 20 角的斜坡。 F 推力的量值 = ？ 500 N 20o 20 N 假設：推力與斜坡平行 推力的量值 = ？

推力的量值 F = W sin  + f = 500 sin 20 + 20 = 191 N F 20 N 500 sin 20 20o 20 N 500 sin 20

習題與思考 3.3 xx/xx/2014 交

完