管理运筹学-管理科学方法 谢家平 编著 中国人民大学出版社

第5 章 目标规划 学习要点 Sub title 了解目标规划与线性规划的异同 理解目标约束中的正负偏差变量 思考目标约束与系统约束的差异 第5 章 目标规划 学习要点 Sub title 了解目标规划与线性规划的异同 理解目标约束中的正负偏差变量 思考目标约束与系统约束的差异 理解目标的优先级和目标权系数 了解目标规划图解法和单纯形法

第一节 多目标规划问题 一、线性规划的局限性 线性规划的局限性 实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标 只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一个目标的最大或最小值的问题 实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标 生产计划决策，通常考虑产值、利润、满足市场需求等 生产布局决策，考虑运费、投资、供应、市场、污染等 这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的，有最小的；有定量的，有定性的；有互相补充的，有互相对立的，LP则无能为力 目标规划（Goal Programming） 多目标线性规划 含有多个优化目标的线性规划

第一节 多目标规划问题 二、多目标规划的提出 例：甲乙产品的最优生产计划。 maxZ2=x1 minZ3=x2 又增加二个目标： 解：线规划模型： maxZ=3x1+5x2 2x1 ≤16 2x2 ≤10 3x1+4x2 ≤32 x1，x2 ≥0 产品 资源 甲 乙 现有资源 设备A 2 16 设备B 10 设备C 3 4 32 单位利润 5 这些目标之间相互矛盾，一般的线性规划方法不能求解 maxZ1=3x1+5x2 maxZ2=x1 minZ3=x2 2x1 ≤16 2x2 ≤10 3x1+4x2 ≤32 x1，x2 ≥0 根据市场需求/合同规定： 希望尽量扩大甲产品 减少乙产品产量。 又增加二个目标：

第一节 多目标规划问题 二、多目标规划的提出 多目标线性规划模型的原始一般形式如下： n个决策变量，m个约束条件，L个目标函数。

第一节 多目标规划问题 三、多目标规划的解法 加权系数法： 优先等级法： 有效解法： 目标规划法： 为每一目标赋一权数，把多目标转化成单目标。 但权系数难以科学确定。 优先等级法： 各目标按重要性归不同优先级而化为单目标。 有效解法： 寻求能照顾到各目标而使决策者感到满意的解。 但可行域大时难以列出所有有效解的组合。 目标规划法： 对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量； 引入目标的优先等级和加权系数。

第二节 目标规划的数学模型 一、目标期望值 二、偏差变量 每一个目标希望达到的期望值(或目标值、理想值)。 根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。 二、偏差变量 目标的实际值和期望值之间可能存在正的或负的偏差。 正偏差变量dk+ 表示第k个目标超过期望值的数值； 负偏差变量dk- 表示第k个目标未达到期望值的数值。 同一目标的dk+ 和dk- 中至少有一个必须为零。 目标约束 引入正负偏差变量，对各个目标建立目标约束(软约束)

第二节 目标规划的数学模型 上例中要求： 目标一是利润最大，拟定利润目标是30； 目标二是减少乙产品产量但希望不低于4件； 目标三是甲产品产量希望不少于6件 ； 对各目标引入正、负偏差变量： 3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30 x2 +d2- - d2+ =4 x1 +d3– -d3+ = 6

第二节 目标规划的数学模型 三、目标达成函数 四、优先等级权数 目标达成函数：偏差变量之和为最小值。 若要求尽可能达到规定的目标值 正负偏差变量dk+ , dk- 都尽可能小，即minSk=dk++dk- 若希望尽可能不低于期望值(允许超过) 负偏差变量dk- 尽可能小,不关心超出量dk+ ：minSk= dk- 若允许某个目标低于期望值，但希望不超过 正偏差变量dk+尽可能小,不关心低于量dk- ：minSk= dk+ 四、优先等级权数 目标重要度不同，用优先等级因子Pk 表示第k等级目标。 优先等级因子Pk 是正的常数， Pk >> Pk+1 。 同一优先等级下目标的相对重要性赋以不同权数w。

第二节 目标规划的数学模型 P1 级目标实现利润至少30元； P2级目标是甲乙产品的产量 例如 P1 级目标实现利润至少30元； P2级目标是甲乙产品的产量 假设：乙产品产量不少于4件比甲产品产量不少于6件更重要，取其权重为2 minG= P1 d1- + P2(2d2- + d3+ ) 3x1+5x2 +d1-- d1+ = 30 x2 +d2- - d2+ = 4 x1 + d3- - d3+ = 6 x1 , x2 ,dk- , dk+ ≥0(k=1,2,3)

第二节 目标规划的数学模型 建立目标规划的模型： 例：装配两种型号的笔记本，每台需装备时间1小时，每周工作5天，计划开动8小时/天。 预计每周销售型号I24台,利润80元/台，型号II30台,利润40元/台。该厂目标如下： 充分利用装配线，避免开工不足 允许装配线加班，但加班时间尽可能短 尽量满足市场需求 每周的利润尽可能大 请合理安排工作任务 建立目标规划的模型：

第三节 目标规划的图解法 目标规划的图解法 首先，按照绝对约束画出可行域， 其次，不考虑正负偏差变量，画出目标约束的边界线， 最后。按优先级别和权重依次分析各级目标。 2x1 =16 2x2 =10 B C x1 4 A 10 3x1 +4 x2 =32 6 x2 D 2 E H G F 满意解：x1=5, x2=4

第四节 目标规划的单纯形法 目标规划与线性规划的数学模型的结构相似 可用前述单纯形算法求解目标规划模型： 将优先等级Pk视为正常数(大Ｍ法 ) 正负偏差变量dk+、dk-视为松弛变量 以负偏差变量dk-为初始基变量，建立初始单纯形表 检验数的计算与LP单纯形法相同，即j= cj - CBi Pj 最优性判别准则类似于LP的单纯形算法： 检验数一般是各优先等级因子的代数和 判断检验数的正负和大小

第五节 目标规划的应用案例 一、无穷多满意解 计划生产两种产品，首先要充分利用设备工时而不加班；然后考虑利润不低于100元。问应如何制定产品A、B的产量。 解：设x1,x2表示A、B产品的产量。两个等级的目标： P1：充分利用电量限额，正负偏差之和为最小 目标达成函数 目标约束条件 P2 ：利润额希望不能低于100元，负偏差最小

第五节 目标规划的应用案例 一、无穷多满意解 由于材料供应限量为8单位，所以有系统约束条件，如下 该问题的目标规划模型如下，图解法求解如图 2 A 4 B D x2 6 8 10 x1 G C

第五节 目标规划的应用案例 二、加班时间问题 例：某音像店有5名全职售货员和4名兼职售货员，全职售货员每月工作160小时，兼职售货员每月工作80小时。根据记录，全职每小时销售CD25张，平均每小时工资15元，加班工资每小时22.5元。兼职售货员每小时销售CD10张，平均工资每小时10元，加班工资每小时10元。现在预测下月CD销售量为27500张，商店每周开门营业6天，所以可能要加班。每出售一张CD盈利1.5元。 商店经理认为，保持稳定的就业水平加上必要的加班，比不加班就业水平要好，但全职销售员如果加班过多，就会因为疲劳过度而造成效率下降，因此不允许每月加班超过100小时，建立相应的目标规划模型。

第五节 目标规划的应用案例 二、加班时间问题 首先，确定目标约束的优先级。如下： P1：下月的CD销售量达到27500张； 其次，建立目标约束函数 （1）销售目标约束，设全体全职售货员下月的工作时间x1，全体兼职售货员下月的工作时间 x2；达不到销售目标的偏差d1-，超过销售目标的偏差 d1+。

第五节 目标规划的应用案例 二、加班时间问题 （2）正常工作时间约束。设全体全职售货员下月的停工时间d2-，加班时间d2+ ；全体兼职售货员下月的停工时间d3-，加班时间d3+。 （3）加班时间的限制。设全体全职售货员下月的加班不足100小时的偏差d4-，加班超过100小时的偏差 d4+ 。 两类售货员区别对待，权重比d2+:d3+ =1:3，另一加班目标约束为

第五节 目标规划的应用案例 二、加班时间问题 第三，按目标的优先级，写出相应的目标规划模型： 运用LINGO软件求解得 x1=900,x2=500，下月共销售CD盘27500张，获利27500×1.5-800×15-100×22.5-500×10=22000。

第五节 目标规划的应用案例 三、目标管理方案 例：某公司准备生产甲、乙产品，据市场调查：甲产品的最大市场需求3台，乙产品的最大市场需求2台。 在满足现有电力资源严格供给约束的前提下，该厂长考虑两个目标：一是总利润不低于3600元；二是充分利用设备台时，但尽量少加班。问应如何制定产品甲、乙的产量，试建立其目标规划的数学模型。

第五节 目标规划的应用案例 三、目标管理方案 1. 利润期望优先 目标规划数学模型： 运用图解法进行求解 x1 =8, x2 = 3 C x1 2 4 10 12 6 A B x2 8 D E x1 =8, x2 = 3 F G

第五节 目标规划的应用案例 1. 利润期望优先 满意解：x1 =8, x2 = 3 设备能力：需求：308+60 3=420，实际：360 实现目标P1和P2，降低甲乙产品的设备消耗:降低率(420-360)/360=17%， 甲产品的设备消耗降为30 (1-17%)=25, 乙产品的设备消耗降为60 (1-17%)=50。 总利润：3600 单位甲：300 单位乙：400 生产部目标 甲产品的产量：8，成本：900 乙产品的产量：3，成本：1400 技术部目标 甲的设备单耗25，需降低5工时 乙的设备单耗50，需降低10工时 销售部目标 甲产品的销量：8，单价：1200 乙产品的销量：3，单价：1800

第五节 目标规划的应用案例 三、目标管理方案 2. 设备工时优先 目标规划数学模型： 运用图解法进行求解 x1 =8, x2 = 2 C x1 2 4 10 12 6 A B x2 8 D E x1 =8, x2 = 2 F G

第五节 目标规划的应用案例 2. 设备工时优先 满意解：x1 =8, x2 = 2 利润总额3008+4002=3200，目标：3600 不能提价，就必须降低成本以增加利润，利润增长率为12.5% 甲产品的成本需要降为1200-300(1+12.5%)=862.5元/台，降低幅度4.2% 乙产品的成本需要降为1800-400(1+12.5%)=1350元/台，降低幅度3.6% 总利润：3600 单位甲：337.5 单位乙：450 生产部目标 甲产品的产量：8，成本：862.5 乙产品的产量：2 ，成本：1350 技术部目标 保证设备的正常运行 甲的设备单耗30 ，乙的单耗60 销售部目标 甲产品的销量：8，单价：1200 乙产品的销量：2 ，单价：1800