九年一貫數學能力結構的文獻分析 師大數研所博士班 黃志賢 潘亭蓉 整理

前言 九年一貫課程總目標強調的是能力的開拓，是要為國民的終身學習奠下基礎，以因應社會的變遷。 不僅是知識的傳授，更重視與其他領域的連結。 九年一貫課程數學領域根據學生的學習方式與思考型態兩項特徵，將九年國民教育分成四階段：階段一(1~3年級)、階段二(4~5年級)、階段三(6~7年級)和階段四(8~9年級)。 將數學內容分為數與量、圖形與空間、統計與機率、代數及連結等五大主題。

前言 教育部於民國87年公佈的九年一貫課程認為國民教育階段的課程設計應以學生為主體，以生活經驗為中心，培養現代國民所需的十種基本能力，而基本能力與數學領域的主要關係為： 一、了解自我發展與潛能 二、欣賞、表現與創新 三、生涯規劃與終身學習 四、表達、溝通與分享

前言 五、尊重、關懷與團隊合作 六、文化學習與國際了解 七、規劃、組織與實踐 八、運用科技與資訊 九、主動探索與研究 十、獨立思考與解決問題

數學能力結構的文獻分析 國外許多數學教育研究者與數學家針對國內的數學教育目標，提出不同的數學能力結構 Krutetskii NAEP(全國性教育進展評量) NCTM(美國數學教師協會) 美國國家研究院(NRC) Niss

數學能力結構的文獻分析Krutetskii(1976) 從數學思考的基本特質中，提出九項數學能 力的因子： 一、形成問題的能力 二、一般化的能力 三、以數字與文字符 號運算的能力 四、邏輯推理的能力 五、簡捷思考的能力 六、逆向思考的能力 七、彈性思考的能力 八、數學記憶的能力 九、空間概念的能力

數學能力結構的文獻分析 NAEP(1999) 在1996年所進行的數學科評量中，將數學能力分為： 一、概念的瞭解 二、程序性的知識 三、解題 另包含三種數學力(Mathematical Power)：推理、連結及溝通

數學能力結構的文獻分析 NCTM(1989) 在“Principles and Standards for School Mathematics”的“Curriculum &Evaluation”中指出數學的學習應強調： 一、解題 二、溝通 三、推理與證明 四、連結

數學能力結構的文獻分析 美國國家研究院 (National Research Council，2001) 研究報告指出，數學能力包括： 一、概念的理解 二、流暢的運算能力 三、選擇策略的能力 四、適當的推理能力 五、具生產力的數學性向 不是獨立的，而是同等重要、相互依賴的

數學能力結構的文獻分析 Niss(丹麥數學家，2003) 將數學能力結構分成兩群：解題與工具的觀點 一、數學思維 二、擬題與解題 三、數學建模 四、數學推理 五、數學表徵 六、符號化與形式化 七、數學溝通 八、工具的使用

數學能力結構的文獻分析 Niss(丹麥數學家，2003) 分析個體所擁有的數學能力須考慮三個面向： 1.覆蓋的程度 2.行動的半徑 3.技術層次 四種數學能力結構間的包含關係

九年一貫數學能力結構 一、數學思維 1.能提問有數學意義的問題，並能辨識何種答 案為數學答案 從學校到車站 如何從學校到車站？(x) 學校到車站距離有多遠、要多少時間？(o)

九年一貫數學能力結構 一、數學思維 2.對於給定的概念，能清楚掌握其適用範疇 正比 父親的年齡與兒子的年齡 (x) 時間固定下，速度與距離 (o)

九年一貫數學能力結構 一、數學思維 3.透過抽象化與類化擴展數學概念的範圍 3個蘋果加上5個蘋果是8個蘋果， 能抽象化為3+5=8 3+□=8， 能類化為3+a=8，再類化為3+X=8

九年一貫數學能力結構 一、數學思維 4.辨識各類數學敘述 給多項式p(x)=ax2+bx+c及 Q(x)=cx2+bx+a，觀察方程式p(x)=0及 Q(x)=0的根的關係

九年一貫數學能力結構 二、擬題與解題 1.確認、提出極詳細說明不同類型的數學問題 佳佳旅行社舉辦旅遊活動，預定人數為30 人，每人收費4000元，但人數達到30人後， 每增加一人，每人可減收100元 增加幾人，旅行社可以收最多的錢？

九年一貫數學能力結構 二、擬題與解題 2.能解自己或別人提問的不同類型數學問題 3.如果適合，能以不同方法解題 能合適地選擇使用代入法或消去法解二元一 次聯立方程式 x-y=0 3x+4y=3 2x+y=6 2x-3y=6

九年一貫數學能力結構 三、分析與發展數學模式的能力 1.分析既存模式的基礎與屬性 2.轉化與解讀既存模式再現實世界中的意義， 並評估該模式適用的範疇 3.在給定情境中，發展適當的數學模式，並解 決情境中的問題 增加幾人，旅行社可以收最多的錢？ 設增加x人，旅行社的收入為y元 則y=(30+x)(4000-100x)

九年一貫數學能力結構 四、數學推理 1.能理解別人論證的條理，並能評估該論證是 否有效 2.知道什麼是數學證明，並能區分數學證明與 直觀的不同 6的倍數也是3的倍數 數學證明：6n=3x2n 直觀：∵6、12、18....都是3的倍數， ∴6的倍數也是3的倍數

九年一貫數學能力結構 四、數學推理 3.能從論證的條理中找到基本的想法 4.能將直觀論證轉化成有效的證明 6的倍數也是3的倍數 直觀：∵6、12、18....都是3的倍數， ∴6的倍數也是3的倍數 數學證明：6n=3x2n

九年一貫數學能力結構 五、數學表徵 1.能解讀、詮釋及辨識數學物件、現象、情境 的各類表徵 甲：乙=a：b，甲的a倍等於乙的b倍 2.瞭解相同數學物件不同表徵間的關係，並掌 握不同表徵的優勢與限制 170公分表徵為1.7公尺，表徵為1米7 直線的代數表徵與圖形表徵

九年一貫數學能力結構 五、數學表徵 3.可以在表徵之間進行選擇與轉化 設直線L為函數f(x)=ax+b的圖形，求f(0) 380 180 10 20

九年一貫數學能力結構 六、符號化和形式化 1.解讀與詮釋符號的形式數學語言，並瞭解他 們與日常語言的關係 瞭解日常語言的『一半』， 就是形式數學語言的1/2 2.瞭解數學語言的語意及語法 瞭解3X表示3xX或X+X+X，X2表示XxX

九年一貫數學能力結構 六、符號化和形式化 3.日常與言語數學正式/符號語言間的轉換 90分以上，數學語言為『≧90』 4.處理和操弄包含符號與公式的敘述與表示式 能化簡2(3X-1)-3(X+2)

九年一貫數學能力結構 七、數學溝通 1.瞭解別人以書寫、視覺及口語所傳達的數學 資訊 2.能使用精確的數學語言表達自己的意思(口語 的、視覺的或書寫的)

九年一貫數學能力結構 八、輔助工具的使用 1.知道已存的數學活動工具或輔具的性質，並 清楚其功能與限制 能利用圓規、量角器 2.能反思地使用這些工具或輔具 透過積木堆疊的活動，認識體積公式

參考文獻 中文部分 陳伯璋(民88)九年一貫的理念與理論分析。九年一貫課程研討會論文集(下)，10-18頁。 英文部分 Krutetskii,V.A.(1976).The psychology of mathematicas abilities in school children. Chicago：University of Chicago press National Assessment of Educational Progress(1999).http://nces.ed.gov/nationsreportcard/itmrls. National Council of Teachers of Mathematics(1989).http://standards-e.nctm.org/previous/CurrEvStds.

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表徵 簡單而言，表徵是用某一種型式（物理或心 理），將一種事、物、或想法，重新表現出 來，以達成溝通的目的 Bruner（1966）由運思方式的觀點，區分三 種被運思的材料（表徵）： - 動作的（enactive）表徵 - 圖像的（iconic）表徵 - 符號的（symbolic）表徵

表徵 Lesh（1979）則用溝通的觀點，重新描述了表徵的類別 - 實物情境（real-world situations） - 操作具體物（manipulative aids） - 圖像（pictures ） - 口語符號（spoken symbols） - 書寫符號（written symbols）

動作的（enactive）表徵 是指接受到刺激後，所引發的外在行動反應，透過 行動手段，來掌握概念或事物。 例如幼兒對於一個具體物件的瞭解，在於這個東西 可以怎麼被操弄，當這個物件消失時，不再能被操 作時，則此物件的意義亦不存在，而此種運思的材 料即為動作的表徵。 例如實物、或具體物教具（花片、積木），皆為概 念的動作表徵，它們可以被實際地外顯地操弄（如 點數）。

圖像的（iconic）表徵 是指用「心像」（image）來掌握概念，換 言之，即使具體物件已消失，在腦中仍留有 心像，運思活動是以心像為材料，進行內在 的活動 。

符號的（symbolic）表徵 是指用符號來掌握概念，對符號進行運思， 符號與心像不同，它本身是一個隨意選擇的 記號，它與實物之間並無任何類似之處，不 似心像是外在實物的影像，它代表了實物或 心像的某一種性質的抽象意義。